1589803487-0876d3197a29278cfb9dacc2b305b032 (804028), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

При этом, так как FL v , сохраняется полнаяэнергия W  W const , где W mv 22. Значит при возрастании W должна убыватьпродольная энергия W , то есть частица будет тормозится в нарастающем магнитном поле.В момент, когда W обратится в нуль, произойдет отражение частицы от области сильногомагнитного поля. Поэтому в физике плазмы такие области называют магнитными зеркалами, или магнитными пробками.

Это явление используется для удержания горячей плазмы вмагнитных ловушках (пробкотронах). Аналогичный характер имеет движение заряженныхчастиц в магнитном поле Земли. В этом случае, частицы отражаются от областей болеесильного поля в области полюсов.ЛЕКЦИЯ 15Колебательные системы со многими степенями свободы. Связанные колебания.Колебания одной материальной точки с двумя степенями свободы.Рассмотрим шарик, прикрепленный к прямоугольной рамке четырьмя взаимно перпендикулярными натянутыми пружинами как показано на рис.

1.1. Пружины одинаковы.Траектория движения шарика определяется начальнымиусловиями.1) x 0  0, y 0  0, v x 0  0, v y 0  0 .x  x 0 cos ωt , y  y 0 cos ωt , y y0x.x0Шарик движется по прямой линии, проходящей черезначало координат.2) x 0  0, y 0  0, v x 0  0, v y 0  0 .x  x 0 cos ωt , y v y0ωsin ωt ,x2x 02ω2 y 2v 021.Шарик движется по эллипсу с полуосями x 0 иv0.ω2. Пружины разные.Пусть, например, ω x  2ω y . В этом случае за однополное колебание по оси y шарик совершит дваколебания по оси x (рис. 2).

Такие траектории прикратных частотах по осям x и y называютсяфигурами Лиссажу. Их можно визуально наблюдать наэкране осциллографа при соответствующем выборечастот напряжений, подаваемых на вертикальные игоризонтальные пластины.Связанные колебания большого числа материальных точек.Мы рассмотрели колебания одной материальной точки с двумя степенями свободы.Перейдем к рассмотрению колебательных систем из большого числа материальных точек,связанных между собой посредством упругих сил. Примером такой системы является натянутая струна, в которой колебания каждого ее элементаопределяется колебаниями соседних элементов.

Длявыяснения физической сущности таких процессоврассмотрим простую систему из двух шариков,способных двигаться по вертикальным стержням исвязанных с помощью пружин между собой и состенками (рис. 3). Такая система имеет две степенисвободы - y1 и y 2 . При этом сила, действующая накаждый шарик зависит от эти двух координат. Дляпростоты шарики и пружины будем считать одинаковыми. Будем также предполагать, что пружины сильнонатянуты, а колебания являются малыми. При этих условиях будет обеспечена пропорциональнось возвращающей силы смещению шариков вдоль стержней.Для описания движения такой системы удобно выделить два важных типа колебаний.Парциальные колебания: один из шариков закреплен в положении равновесия.

В общемслучае частоты таких колебаний ω1 и ω2 разные. Они называются парциальнымичастотами. В нашем частном случае ω1  ω2  ω .Нормальные колебания: все точки системы совершают колебания с одинаковой частотой.Такие частоты называются нормальными частотами. В нашей системе нормальные колебания с частотами Ω1 и Ω 2 возникают придвух типах начальных условий: 1) обашарика отклонены от положения равновесияв одну сторону; 2) шарики отклонены наодинаковое расстояние в разные стороны(рис. 4).

В первом случае колебанияпроисходят в одинаковой фазе, а во втором –в противоположных фазах. При этомΩ1  ω , так как средняя пружина не деформируется в таких колебаниях. Во втором типеначальных условий средняя пружина деформирована сильнее, чем при парциальных колебаниях, поэтому Ω 2  ω . Произвольные начальные отклонения шариков y1 , y 2 можновсегда представить в виде суммы начальных отклонений этих двух типов с амплитудамиa1 y  y2y1  y 2, a2  1.22Этот простой факт является отражением более общего утверждения: любое сложное движение связанной колебательной системы есть сумма нормальных колебаний с различнымичастотами и начальными отклонениями.Таким образом, движение при любых начальных условиях в нашей системе с двумя степенями свободы является суммой гармонических колебаний с частотами Ω1 и Ω 2 .

Такиедвижения называются биениями. Рассмотрим сумму двух колебаний с одинаковыми амплитудами с близкими частотами и нулевыми начальными фазами:y  A cos Ω1t  A cos Ω 2 t  2 A cosΩ1  Ω 2Ω  Ω2t cos 1t.22При Ω1  Ω 2 можно рассматриватьтакое движение (биение) как колебаниес медленно изменяющейся амплитудой(рис. 5).~2π2πA(t )  2 A cost , где τ τΩ1  Ω 2период биений.ЛЕКЦИЯ 16Волны в упругих средах.Волна – процесс распространения колебаний в пространстве.В волне в упругой среде (газ, жидкость, твердое тело) происходят колебания малых частицсреды. Продольные волны – частицы среды совершают колебания вдоль направления распространения волны (звуковые волны). Поперечные волны – направление колебаний перпендикулярно направлению распространения волны (волна в струне).Обозначим через ξ смещение частиц среды в волнеотносительно их положения равновесия.

Тогдараспределение смещений частиц вдоль направленияраспространения волны имеет вид, представленный нарис. 1. Длина волны λ – расстояние междуближайшими точками среды, в которых колебаниячастиц происходят в одинаковой фазе (например,расстояние между двумя “горбами”). Скорость волныv – скорость перемещения фазы колебаний частиц(скорость движения “горба”). Поэтому такую скоростьназывают фазовой скоростью. Из этих определений следует соотношениеλ  vT , где T - период колебаний частиц.Уравнением волны называют зависимостьξ  ξ ( x, y , z , t ) .Волновая поверхность – геометрическое место точек, в которых колебания частиц в волнепроисходят в одинаковой фазе. В простейшем случае плоской волны волновая поверхностьпредставляет собой плоскость.Получим уравнение плоской волны.

Пусть в плоскости x  0 колебания частиц происходятпо закону ξ (0, t )  a cos ωt , где ω  2π / T . Через время τ  x / v фаза колебаний в точкеx  0 достигнет точки x . Следовательно для смещений в точке x получимxξ  a cos ω(t  ) .vЭто соотношение называется уравнением плоской волны.

Для записи уравнения волныудобно ввести волновое число - k  2π / λ . Тогда v ωи выражение для ξ принимаетkвид:ξ  a cos(ωt  kx) .(1)Такая форма уравнения обычно и используется при рассмотрении волновых процессов.Уравнение (1) описывает волну, распространяющуюся в положительном направленииоси x .

Для волны в противоположном направленииξ  a cos(ωt  kx) .Мы будем рассматривать волны малой амплитуды. Для таких волн выполняется принципсуперпозицииξ  ξ1  ξ 2 .Он означает, что результатом взаимодействия двух или большего числа волн малой амплитуды является сумма смещений частиц в каждой волне.

Поэтому волны малой амплитудыназывают линейными волнами. Волны большой амплитуды являются нелинейными. Ихвзаимодействие происходит по более сложным законам.Уравнение (1) соответствует случаю монохроматической волны ( ω  const ). Этот терминсначала возник в оптике, но в дальнейшем стал использоваться и для волн в упругих средах.Монохроматическая волна является некоторой идеализацией. На практике мы обычно имеемдело с ограниченными волновыми возмущениями (волновыми пакетами). Именно такиепроцессы переносят энергию и импульс в пространстве. При этом пакет волн можно представить в виде суммы (или группы) монохроматических волн. Он движется как целое сгрупповой скоростью. Для выяснения физического смысла этих понятий рассмотрим простейший пример группы волн – две волны с одинаковыми амплитудами и близкими частотами и длинами волн:ξ1  a cos[(ω  Δω)t  (k  Δk ) x] , ξ 2  a cos[(ω  Δω)t  (k  Δk ) x] ,где Δω  ω , Δk  k .

По принципу суперпозиции суммарное смещение частиц в пакетеξ  ξ1  ξ 2  2a cos(Δωt  Δkx) cos(ωt  kx) .Такой процесс называется биением волн. Вэтом случае основная волна модулируетсяпо амплитуде огибающей волной с малойчастотой и большой длиной волны (рис. 2).Очевидно, групповая скорость в нашемслучае равна фазовой скорости огибающейволныvg Δω.ΔkВ пределе при Δk  0 получимvg dω.dkЗначит, чтобы найти групповую скорость нужно знать зависимость ω  ω(k ) .

Такаязависимость называется дисперсионным уравнением. В частности, для звука в газе ω  vk(нет дисперсии) и в этом случае v g  v , то есть групповая скорость совпадает с фазовой.Например, для волн на поверхности воды имеет место дисперсия и v g  v .ЛЕКЦИЯ 17Упругие деформации твердого тела.Упругая деформации – после прекращения внешнего воздействия тело принимает первоначальную форму. Если форма тела при этом изменяется, то деформация называетсяпластической.

Рассмотрим различные типы упругих деформаций.1. Деформации растяжения и сжатия.Рассмотрим растяжение (сжатие) под действием силыF упругого стержня, закрепленного на одном конце(рис. 1). Начальная длина стержня равна l ,изменение длины - Δl ,а площадь поперечногосечения - S . Для описания упругой деформациистержня вводятся следующие величины.Относительное удлинение: ε Δl( ε  0 - растяжеlнее, ε  0 - сжатие).FННормальное напряжение: σ , [σ ] = 1 2 = 1 Па.SмДля малых ( ε  1 ) упругих деформаций растяжения и сжатия выполняется закон Гука:σ  Eε .Коэффициент E называется модулем Юнга.

Характеристики

Список файлов книги