1589803487-0876d3197a29278cfb9dacc2b305b032 (804028), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Проводяаналогичное суммирование, получаемdp  вн  вн n  вн F , F   Fi .dti 1(1)Введем понятие центра масс системы материальных точек1rцм Mn ri ,i 1nгде M   mi - полная масса системы, ri - радиус-вектор i -ой точки.i 1Тогда уравнение (1) можно записать в видеMd 2 rцм F вн .dt 24.

Импульс силы. Движение тела с переменной массой.Удобно использовать еще одну форму записи второго закона Ньютонаd (mv )  Fdt .(2)Величина Fdt называется импульсом силы.Рассмотрим реактивное движение ракеты сучетом изменения ее массы из-за сгораниятоплива. На рис. 1 представлены величины дляракеты и продуктов сгорания (индекс “г”) вмомент времени t  dt .

Пусть в момент t  0масса ракеты равна m 0 , а скорость v 0  0 . Вмомент t скорость ракеты равна v , а масса - m .Тогда уравнение (2) для ракеты можно представить в виде:Fdt  (m  dm г )(v  dv )  (m  dm г )v .Отсюда, с точностью до величин первого порядка малости, получимFdt  mdv .(3)Уравнение (2) для продуктов сгорания: Fdt  dm г u  dm г v  dm г w ,(4)где w  u  v - скорость продуктов сгорания относительно ракеты.

Так как dm г  dm , тоиз уравнений (3), (4) следует, что dv  dmmdv  wdm или mw.dtdtПоследнее уравнение называется уравнением Мещерского. В проекции на направлениедвижения ракеты получимmdv   wdm или dv   wdm.mПосле интегрирования приходим к формуле Циолковскогоv  w lnm0.m(5)Эта формула сыграла очень важную роль в истории космонавтики.

Она позволяет оценитьколичество топлива необходимого для космических полетов. Можно, например, провеститакую оценку для полета за пределы солнечной системы. Минимальное значение скорости,которую должна в этом случае развить ракета равно v3  16.7 км / сек (третья космическаяскорость). Современное химическое топливо дает значение w  4км / сек . Тогда изформулы (5) получимm0 exp(v3 / w)  64 .mДля полета туда и обратно необходимо значение m 0 / m  3600 . Однако, скорости v3недостаточно для полета к другим звездам за разумные промежутки времени. От ближайшейк нам звезды α-Центавра свет доходит до Земли за 4 года.

Следовательно, ракета должнаразвивать скорость сравнимую со скоростью света. С учетом прогресса в области разработкиновых видов топлива возьмем завышенное значение w  10км / сек . Тогда при v  0.25cполучимm0 1.6  10 3257 .mНереальность такой величины очевидна по той причине, что масса всей нашей Галактикисоставляет ≈ 1041 кг.

Один из гипотетических вариантов осуществления межзвездныхполетов предполагает использование фотонных ракетных двигателей со значением w  c .Однако, до практической реализации таких идей еще далеко.ЛЕКЦИЯ 5Работа и энергия. Закон сохранения энергии.Работа силы F на пути ds :dA  Fds cos θ  Fs ds , Fs - проекция F на ds ,ππ, dA  0 при θ  ,22πdA  0 при θ  .2dA  0 при θ ab  ab cos θ , θ - угол между векторами.Скалярное произведение можно выразить через проекции: a b  a x b x  a y b y  a z b z .Скалярное произведение векторов a и b :Тогда элементарную работу можно записать в виде: dA  Fds  Fx dx  F y dy  Fz dz .Работа силы на конечном путиРазбивая траекторию движения материальной точки на последовательность малых перемещений ds i , можно представить работу силы F на конечном пути l от точки 1 до точки 2в виде:n   A12   Fi ds i или в пределе при ds i  0 A12   Fds .i 1Мощность: N ldA(работа в единицу времени). Часто бывает удобно выражать работуdtчерез силу и скорость: ds NFили N  F  v .dtСиловое поле – совокупность всех сил, действующих на данную материальную точку влюбой точке пространства.Потенциальное силовое поле – работа сил в таком поле при перемещении материальнойточки не зависит от формы пути.

Примеры: гравитационное поле, электростатическое поле.Консервативные силы – силы, действующие в потенциальном силовом поле.Неконсервативные силы – работа зависит от формы пути (например, сила трения).Работа консервативных сил при перемещении материальной точки по замкнутому контуру равна нулю. Для консервативных сил A12   A21 (см. рис. 2), следовательно,Aполн  A12  A21  0 .Потенциальная энергия U – функция, изменение которой при перемещении материальнойточки равно работе консервативной силы F , взятой с обратным знакомΔU   A12 .(1)Из этого определения видно, что потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. Например, в выражении для потенциальной энергии тела в поле тяжестивблизи поверхности Земли U  mgh по этой причине высоту h можно отсчитывать отлюбого уровня.

При вычислении работы по формуле (1) произвольная константа сокращается. Для того чтобы вычислять значение самой потенциальной энергии удобно зафиксироватьзначение соответствующей константы. Это можно сделать по разному. Например, в электростатике потенциал поля точечного заряда на бесконечности считается равным нулю. Можно,задать равным нулю значение U в начале координат. Тогда определение потенциальнойэнергии можно сформулировать следующим образом.Потенциальная энергия равна работе сил потенциальногополя при перемещении материальной точки из началакоординат в данную точку, взятой с обратным знаком.ТогдаU 1   AO1 , U 2   AO 2 , AO1  A12  A2O  0 ,A12   AO1  A2O  U 1  U 2 , значитA12  ΔU .(2)Рассмотрим бесконечно малое перемещение ds между двумя близкими точками M и M  .AMM   dA  dU , Fs ds  dU .Тогда Fs  dU.ds(3)dU- производная по направлению (градиент ).dsДля проекций F имеем:Fx  UUU, Fy  , Fz  .xyzВ качестве примера использования этих формул вычислим потенциальную энергиюматериальной точки под действием упругой силы.

По закону Гука Fx  kx  kx 2Отсюда U .2dU.dxКинетическая энергия материальной точкиРассмотрим движение материальной точки под действием произвольной силы F . Повторому закону Ньютона mv 2dv dvm F . Тогда dA  Fs ds  m ds  mvdv или dA  d dtdt 2Величина W .mv 2называется кинетической энергией тела.

Значит2dA  dW ,то есть работа силы F равна изменению кинетической энергии тела. Для консервативнойсилыdA   dU .Величина E  W  U называется полной энергией материальной точки. Тогда в потенциальном поле имеет место закон сохранения энергииdE  dW  dU  0 или E  const .Закон сохранения энергии выполняется и для замкнутой системы материальных точек:n E   Wi  U (r1 , r2 ,..., rn )  const ,i 1 где Wi - кинетическая энергия i -ой точки, U (r1 , r2 ,...rn ) - потенциальная энергия взаимодействия материальных точек системы.Изменение энергии под действием неконсервативных силРассмотрим движение материальной точки под действием двух сил: консервативной силыF и неконсервативной силы F н .

Тогда работа суммарной силы ( Fs  Fsн )ds  dW . Дляконсервативной силы Fs ds  dU . Значит Fsн ds  dW  dU  dE . Для работы наконечном пути получимA н  ΔE .Таким образом, работа неконсервативной силы равна изменению полной энергии материальной точки.Единицы измерения работы энергии и мощностиСИ: E    A = 1 Нּм = 1 Джоуль, N  = 1 Джоуль/сек = 1 Ватт.СГС: E  = 1динаּсм = 1 эрг, 1 Джоуль = 107 эрг, N  = 1 эрг/сек.ЛЕКЦИЯ 6Упругие и неупругие столкновения.Рассмотрим столкновение двух шаров, скорости которых направлены вдоль линии, соединяющей их центры (центральный удар). Будем считать систему шаров замкнутой и полнуюэнергию шаров до и после удара одинаковой.

Такой удар называется абсолютно упругим.Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось х , проходящую через центрышаров, и закон сохранения энергии:m1 v1  m 2 v 2  m1 v1  m 2 v 2 ,m1v12 m 2 v 22 m1v1 m 2 v 2.2222Считая проекции скоростей v1 , v 2 до удара заданными, из этой системы уравнений находимпроекции скоростей шаров v1 , v 2 после удараv1 (m1  m 2 )v1  2m 2 v 2(m 2  m1 )v 2  2m1v1, v 2 .m1  m 2m1  m 2Рассмотрим различные частные случаи.1) Массы шаров одинаковы: m1  m 2 . В этом случае v1  v 2 , v 2  v1 , то есть шарыобмениваются скоростями.2m1m1  m2v1 , v 2 v1 .m1  m2m1  m 2При m1  m 2 и v1  0 шары после удара движутся в одну сторону: v1  0, v 2  0 .При m1  m 2 более легкий шар отражается в противоположном направлении, то естьv1  0, v 2  0 .

При m 2  m1 v1  v1 , v 2  0 (отражение от неподвижной стенки).2) Второй шар покоился до удара: v 2  0 . Тогда v1 Перейдем к рассмотрению неупругих ударов. В этом случае часть кинетической энергиишаров переходит в тепловую энергию Q :m1v12 m 2 v 22 m1v1 m 2 v 2Q.2222Если величина Q неизвестна, то решить задачу о столкновении в общем случае невозможно. Однако, есть один очень важный частный случай, когда задача решается до конца.Абсолютно упругий удар – тела после удара движутся с одинаковой скоростью(“слипаются”).В этом случае закон сохранения импульса принимает вид:m1v1  m 2 v 2  (m1  m 2 )u .

Отсюда u m1v1  m 2 v 2.m1  m 2Из закона сохранения полной энергии с учетом количества тепла находимQ1 m1 m 2(v12  2v1v 2  v 22 ) .2 m1  m 2Удобно записать это выражение в следующем виде:Qm1 m 2μV 2, где μ - приведенная масса , V  v1  v 2 - относительная скорость2m1  m 2сталкивающихся тел.Нецентральный ударРазложим скорости шаров в момент столкновения нанормальную и тангенциальную составляющие поотношению к плоскости касания шаров.

В этом случаезаконы сохранения импульса и энергии для абсолютноупругого удара можно представить в следующем видеm1v1n  m2 v 2 n  m1v1n  m 2 v 2 n ,m1v1t  m 2 v 2t  m1v1t  m 2 v 2 t ,1111m1 (v12n  v12t )  m 2 (v 22n  v 22t )  m1 (v1n2  v1t2 )  m 2 (v 22n  v 22t ) .2222Итак, имеем три уравнения для четырех неизвестных. Поэтому задача не имеет однозначного решения. Такое решение существует в случае идеально гладких шаров (нет сил трения), когда v1t  v1t , v 2t  v 2t . При этом одно уравнение исключается и остается двенеизвестные величины.Описание столкновений в системе центра массЦентр масс двух сталкивающихся тел движется со скоростьюm1v1  m 2 v 2Vцм .m1  m 2Если система тел является замкнутой, то Vцм  const .

Характеристики

Список файлов книги