saveliev1 (797913), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Как показывает соответствующий расчет, средняя скорость относительно движения молекул в )У2 раз больше скорости р молекул относительно стенок сосуда. Поэтому среднее число столкновений за секунду будет равно ч= у'2 псРба. (111.3) Подставив это число в (111.2), получим для средней длины свободного пробега следующее выражение: 1 й= 1г2 лУа 376 Заменив эффективный диаметр д эффективным сечением молекулы о, получим следующую формулу: Л= (111.5) г*2 ап Поскольку при постоянной температуре п изменяется пропорционально давлению р, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению: Л (1 1 1.5) Р Эффективный диаметр молекул, как уже отмечалось, убывает с ростом температуры.
Поэтому средняя длина И й РУд (Г'К) Ппг Рис. 250. свободного пробега с повышением температуры растет. Зависимость Л от Т дается формулой Сезерлеида: ""Т С' (111.7) где С вЂ” характерная для каждого газа постоянная величина, имеющая размерность температуры и носящая название постоянной Сезерленда, Л,— средняя длина свободного пробега при Т = с . Из (111.7) следует, что при температуре Т = С значение Л составляет 0,5Л .
На рис. 250 показана зависимость Л от температуры для кислорода (С = 125'), 377 Оценим по порядку величины среднюю длину свободного пробега и среднее число столкновений в секунду. В 5 92 мы установили, что молекулы имеют размеры порядка нескольких ангстрем. Примем эффективный радиус л1олекулы равным 1 А, т.
е. 10-!" м, При нормальных условиях и равно числу Лошмидта, т. е. 2,68 ° 10" м-'. Подставив эти данные в формулу 1111,4), получим: 7, ! ае а — 2 ° 10 м= 2 ° 10 см. )'2 3,14 4. 1О " 3,08 1оэа При давлении 10-' мм рт. ст, (что соответствует примерно 10-' аг) х будет порядка 10 см. Следовательно, если сосуд имеет линейные размеры порядка нескольких сантиметров„то при таком давлении молекулы будут двигаться от стенки к стенке практически без столкновений друг с другом. При давлении 10 ' мм рт. ст. )п достигает величины порядка десятков метров.
В таблице 8.приведены значения Х при нормальных условиях и эффекгивные диаметры молекул ддя некоторых газов. Таблица 8 Х, м прп е си Уае мм рм ст. Х, м прп !рсп 760 мм рт. пр. газ Гпа 1ДО 1О ' 175 ° 10 1 ООЗ 1О ' 0,89 1О ' 3,75 0,00 ° 10 ' 3,74 0,39 1О Р 4,08 м2 Виадук со, Н Не о, Число столкновений в секунду мокино получить, разделив среднюю скорость молекул р на 7.. В 9 106 мы получили для кислорода и порядка 500 и/сск. Разделив эту величину на взятое из таблицы 8 значение Х = = 0,63 ° 10 ' м, получим, что число столкновений в секунду равно примерно 8 10э сек-'. Таким образом, при нормальных условиях число столкновений составляет несколько миллиардов в секунду. С уменьшением давления число столкновений убывает, изменяясь пропорционально р.
378 5 112. Явления переноса. Вязкость газов До сих пор мы рассматривали газ, находящийся в равновесном состоянии. Такое состояние характеризуется одинаковостью во всех точках занимаемого газом объема таких величин, как температура, давление, относительное количество молекул разного сорта и т. п.
Теперь мы рассмотрим явления, возникающие прн отклонениях газа от равновесия, причем ограничимся случаями, когда эти отклонения невелики. Подобные явленйя по причинам„ которые выяснятся в дальнейшем, получили название явлений переноса. Мы рассхютрим только три таких явления — внутреннее трение или вязкость, теплопроводность и диффузию. Отметим, что статистическая физика имеет дело только с равновесными состояниями тел; Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушениях равновесия, носит название ф и з и ч еской кинетики. Рассмотрение явлений пере- И носа мы начнем с вязкости газов.
Если скорость и в потоке газа меняется от слоя к слою, то на границе между двумя смежными словамн Рлс. 25к (рис, 251) действует сила внутреннего трения, величина которой, как известно из механики, определяется эмпирической формулой: (112.1) где т1 — коэффициент вязкости плн коэффициент вну- дв треннего трения, †„ — градиент скорости, т. е. величина, показывающая, как быстро изменяется скорость движения газа и в направлении г, перпендикулярном к поверхности, разделяющей слои, 5 — величина поверхности, по которой действует сила 1. Чтобы понять происхождение силы внутреннего трения, рассмотрим два соприкасающихся слоя газа некоторой толщины Лз.
Предположим, что слои движутся с различными скоростями и, и цз (рис. 252). Каждая молекула газа участвует в двух движениях: хаотическом 379 Л/У = — пбЯ Лг 1 6 (1! 2.2) (мало существенным влиянием упорядоченного движения на величину скорости молекул можно пренебречь). тепловом, средняя скорость которого равна а, и упорядоченном движении со скоростью и, которая значительно меньше, чем р-(р — 1бз м/сек, скорость ветра при самом сильном урагане — 10~ м/сек). Пусть в какой-то момент времени слои обладаютимпульсами К, и Кь Эти импульсы не могут оставаться неизменными, так как вследствие теплового движения происходит непрерывный переход молекул из одного слоя в другой. За время Л 1 через поверхность 5 переходит в обоих направлениях одинаковое количество молекул, равное Рис 252.
Попав в другов слой, молекула претерпевает соудареиия с молекулами этого слоя, в результате чего она либо отдает избыток своего импульса другим молекулам (если она прилетела из слоя, движущегося с большей скоростью), либо увеличивает свой импульс за счет других молекул (если она йрилетела из слоя, движущегося с меньшей скоростью). В итоге импульс более быстро движущегося слоя убывает, а более медленно движущегося — возрастает. Например, из первого слоя уносится молекулами за время Л/ импульс, равный ЛК', = Л№пин где Л/У определяется формулой (!12,2), Рл — масса молекулы. Одновременно в этот слой привносится импульс '% ЛЛ 'и на Следовательно, за время Л1 импульс первого слоя получает приращение, равное ЛК, =ЛК, -ЛК;=Л/Ущ(иа — и,/= — пбгп(и — и,) 5ЛЛ Путем аналогичных рассуждений легко найти, что импульс второго слоя получает при этом приращение Основываясь на связи между изменением импульса и силой, можно утверждать, что движение слоев происходит таким образом, как если бы по поверхности Я на первый слой действовала сила ак, ! = — ' = —.
пйп (из — и,) 5, и а (112.3) а на второй слой — сила 1 1, =- — 1, = — и бт (и, — и,) 5. Из формулы (112.3) следует, что сила, с которой взаимодействуют два смежных слоя, равна импульсу, переносимому молекулами через поверхность разе а=агат дела за секунду. Чтобы получить окончательную форму. лу для силы трения, '+" нужно учесть, что ско рость не может, как мы ,,Х предполагали, изменятьеч скачком на границе двух слоев, а изменяется непрерывно в с-А— перпендикулярном к слоям направлении а [и=и(з), см.
рис.2531 Каждая молекула,пролетаюгцая через по- Рнс 253. верхность 3, переносит импульс, опредечяемый значением скорости и в том месте, где произошло последнее столкновение молекулы. Через поверхность 3 будут пролетать молекулы, претерпевшие соударение на самых различных расстояниях 1 от 5, причем вероятность различных 1 определяется формулой (111.!). В среднем последнее соударение происходит на расстоянии от Я, равном средней длине свободного пробега Х (рис.
253). Поэтому молекулам, ЗЗ1 пролетающим через 3 в направлении сверху вниз (на рисунке), нужно приписать значение скорости в сечении с координатой г+ Л, а молекулам, пролетающим в направлении снизу вверх, — значение скорости в сечении с координатой г — Л ').
Поскольку Л очень мала, эти скорости можно представить следующим образом: и (г + Л) = и (г) + — „Л, пп и (г — Л) = и (г1 — — Л, и» (112.4) где и(г) — скорость газа в том сечении, где мы мысленпи но расположили поверхность раздела 5, — — значение производной в том же сечении. Теперь силу трения можно вычислить по формуле (112.3), подставив вместо и, и иэ значения (112.4): 1= —. пйт! — 2Л) 5.
кли =б 1л» Учитывая, что ппт равно плотности газа р, последнюю формулу можно написать в аиде (ЬрпЛ) (112.5) Сравнение (112.5) с эмпирической формулой (1121) показывает, что, исходя из газокинетических представлений, нам удалось не только прийти к правильной залп висимости 1 от — и 3, но и получить выражение для и» коэффициента вязкости т1. Действительно, из их сопоставления вытекает, что ! т1= з РбЛ. (112.6) Ьолее строгий расчет, учитывающий ряд факторов, которыми мы пренебрегли, приводит к такой же формуле, но с несколько отличным числовым коэффициентом. Исследуем полученное нами выра>кение (!12.6) для коэффициента вязкости газов.
Заменяя р на пт и учитывая, что средняя скорость О пропорциональна у'Т)т, ') Это подтверждается точным расчетом. пронзведенпым с учетом распределення молекул по длинам свободного пробега Д Ззв а средняя длина свободного пробега Х пропорциональна ЧлтР, можно написать: т! п!и )у — — — ~/Т. (112.7) Гт ! )тз з~п о Прежде всего обращает на себя внимание, что т! не зависит от числа молекул в единице объема, а следовательно, и от давления (р = пйТ). Этот, на первый взгляд, удивительный результат имеет следующее объяснение.
С понижением давления уменьшается и, т. е. число молекул, участву1ощих в переносе импульса. Одновременно растет 1., а значит, и различие в ив!пульсах, переносимых одной молекулой в противоположных направлениях. В итоге получается, что суммарный импульс, переносия1ый молекулами при данном градиенте ди скорости †„ , не зависит от давления. Это справедливо лишь до тех пор, пока Х остается малой по сравнению с размерами зазора, в котором течет газ (например, по сравнению с диаметром трубы).
По мере того как перестает выполняться это условие, вязкость начинает все больше зависеть от давления, уменьшаясь с его понижением. Когда средняя длина пробега становится сравнимой с размерами зазора, в котором течет газ, пробег молекул будет определяться величиной зазора и 7, пере- стает зависеть от давления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
