saveliev1 (797913), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Поэтому плотность, с которой распределены точки на различных участках оси и, будет для всех моментов времени одна и та же. Если взять несколько порций газа, находящихся в идентичных условиях (при одинаковых р и Т), то распределеш!е молекул по скоростям в них бу- ль дет также идентично. Однако плопюсть точек на оси о при одинаковом характере распределения нх по оси, очевндпо, пропорциональна рассматриваемому количеству моле- и«. гза кул Л' и, следовательно, для различных порций газа будет различна.
Одинаковым для различных порций будет отношение м л л р (о) ! ЛУа Определенная таким образом функция 1(о) характеризует распределение молекул газа по скоростям и называется функцией распределения. Зная вид )(и), можно найти количество молекул Лй)„из числа даш!ых молекул Л', скорости которых попадают внутрь интервапа Лп, т.
е. имеют значения, заклгоченные в пределах от о до и + Лп. Лйг„= Лг! (о) Ло: (106.2) Сумма ~ ЛЖ, = ~2~ Л7 (о,) Л о, =,'К~ р, Л он взятая по всем интервалам Лоь па которые можно разбить ось о, должна, очевидно, равняться полному числу молекул М. Отсюда вытекает следующее свойство функции распределения: 2',((о;)Ло,=1. (106.
4) Последний результат можно пояснить также следующим образом. Выражение з~т~ ЛЛ' предстанляет собой вероятность того, что скорость молекулы будет иметь одно из значений в пределах от 0 до со. Поскольку скорость молекулы непременно имеет какое-то значение, указанная вероятность есть вероятность достоверного события и, следовательно, равна единице. Строго говоря, условие (1064) должно бьггь написано следующим образом: ) 1'(п)до=!. о (106.5) Соотношения (106.2) — (106.6) вытекают из общего определения функции распределения и ие зависят от ее конкретного вида.
Функция распределения была найдена теоретически Максвеллом и носят его имя. Она имеет следующий вид: мм 1(п) =Ле "то' (106.6) где А — мнохкитель, не зависящий от о, гп — масса молекулы, й — постоянная Больцмана. Характерно для функции распределения Максвелла то обстоятельство, что в показателе степени при е стоит взятое со знаком ч †» отношение кинетической энергии молекулы ~пп92, отвечающей рассматриваемой скорости гр, к ЛТ, т, е. величине, характернзуюШей среднюю знергию молекулы. Поскольку множитель вида е '* при возрастании о убывает быстрее, чем растет множитель оз, функция, 356 начинаясь в нуле (из-за о'), достигает максимума и затем асимптотнчески стремится к нулю (рис.
239). Плошадь, охнатываемая кривой 1(о), в соответствии с (106.5) равна единице. Условие (106.5) позволяет вычислить множитель А в (106.6): /ВВ' А ~ е ыт отсЬ= 1. о Это условие носит название условия нормировки функции, А называется нормировочным множителем. >'гп Рнс. 339. (' гн 3'А Вычисления дают для А значение 4н1 —.) . Таким ~ 2лзт ) образом, функция распределения Максвелла имеет вид гпту~ 1(о) = 4н~ —,. ) с зм о-'.
(106.7) Как н можно было ожидать, конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состоянии (от температуры Т). Отметим, что давление н объем газа иа распределение молекул по скоростям не влияют. Может показаться, что функция (106.7) неправильно описывает распределение в связи с тем, что она обрашается в нуль только иа бесконечности, в то время как реализуемые значения скорости ограничены конечным 339 пределом. Однако при достаточно больших о функция (106.7) столь мало отличается от нуля, что отмеченное несоответствие практически не имеет никакого значения. Скорость, отвечающая максимальному значению функции распределении, будет, очевидно, наиболее вероятной.
Действительно, если сравнить числа молекул Ьй1„скорости которых лежат в пределах различным образом выбранных, но равных по величине интервалов Ьп, то наибольшим будет Ьй!„соответствующее интервалу, расположенному в окрестности максимума. Таким образом, решив задачу на нахождение максимума 1(о), мы найдем наиболее вероятную скорость и„„. Продифференцировав (106.6) по о и приравняв полученное выражение нулю, будем иметь: — = Ае ыт о!2 — —.~ =О. Ф~ (О) — — / 02 ~ йч — ь 3= Удовлетворяющие этому уравнению значения п =0 и п = со соответствуют минимумам 1(с). Значение о, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой искомое о„р. /2ИТ (106.8) Подставив в (106.7) наиболее вероятную скорость, найдем максимальное значение 1(п): Исследуем, как изменяется кривая распределения а зависимости от температуры газа и массы молекулы, Из (106.8» и (106.9) следует, что при увеличении температуры (или уменьшении массы молекулы) максимум кривой смещается вправо и становится ниже, причем, как мы знаем, площадь, охватываемая кривой, остается неизменной.
На рис. 240 сопоставлены две кривые распределения, которые можно трактовать либо как отно. сящиеся к различным температурам Т, и Т, (при одинаковой т), либо как отноаящиеся к различным массам молекул т~ н тз (при одинаковой Т). 360 Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение оа, определяетсн выраже- нием ) )(о) др. На графике этому интегралу соответствует лежашая справа от ра часть площади, ограниченной кривой. Как видно из рис.
240, относительное количество молекул, Рас. 2В. имеющих скорости, превышающие па, сильно растет с повышением температуры. Таблица 7 а нар 2 — 3 «з «3 8,! 1б,о о — о,з 1,5 — 2 8'!о " В таблице 7 приведевы соответствующие фущ1ции (106.7) относительные количества молекул ЛИ/И для различных интервалов скоростей. Как видно из таблицы, более чем у 707р всех молекул скорость отличается ог наиболее вероятной не больше чем на 50%.
Скоростью, более чем в 3 раза превышающей о..р, обладает в среднем только 0,04% молекул. Скорости же, превышающие бр„,р, наблюдаются в среднем лишь у одной из !2 миллиардов молекул. 361 Зная распределение молекул по скоростнм, можно найти среднее значение скорости, а также любой величины, являющейся функцией скорости, например о'.
Разобьем ось скоростей на малые интервалы Лоь Каждому интервалу согласно (106.2) соответствует количество молекул: ЛЛ',т = 1У! (ьч) Лоь (106. 10) Поскольку интервал Лп; мал, скорость каждой из ЛМ„, молекул можно приближенно считать равной в;— одному из значении скорости, принадлежащих интервалу Лов Тогда сумму значений скоростей всех Ю молекул можно представить в виде о~Л!У,, Разделив эту У, сумму на число молекул У, получим (с учетом (106.10)) выражение для средней скорости а: б = ~~'.~ о;! (гч) Лиь Переходя от суммы к интегралу, находим, что б= ~ о!(о) и'ю е (1 06.1 1) (106.12) Аналогичньпч образом для среднего значения квадрата скорости о' получается выражение ,г ~ пт) (о),1 о которое после подстановки !(о) и вычислений дает о' = ЗИТ гп. Корень квадратный из о' называется средней квадратичной скоростью.
Таким образом, оиь „, = )' ое = ~/ — . (106.13) Если подставить в (106.11) выражение (106.7) для )(о) и произвести вычисления, получится; Этот результат согласуется с полученным ранее выражением (99,11) для в. Чтобы в этом убедиться, нужно заменить в (99.11) й через то92. Следует обратить внимание на то, что б Ф. о,р„и б чь Оэ. Сопоставляя (!06.8), (106.12) н (!06.13), можно заметить, что о р, э и о,р „„одинаковым образом зависят от температуры и массй молекулы, отличаясь лишь чис. ловым множителем. Если принять о р за 1, то э = 1,13, пср.
Нв = 1.22 (рис. 241). Йеобходнмо подчеркнуть еще раз, что установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и все вытекающие нз него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесном состоянии. Закон справедлив для любого числа й(, если только это число достаточно велико. Закон Максвелла †статистический, а законы статистики выполняются тем точнее, чем к большему числу одннако- амг в амм вых объектов они при- Ркс. 241.
меняются. При малом числе объектов могут наблюдаться значительные отклонения от предсказаний статистики. Если имеется смесь газов, находящаяся в равновесии, то в пределах молекул каждого сорта имеет место распределение (!06.7) со своим значением ьь Более тяжелые молекулы будут двигаться в среднем с меньшей скоростью, чем более легкие. Исходя из распределения молекул по скоростям РЛ " г!г7 = 1У4я! —," ! е '"г оз г(о (106.14) ~ злат) можно найти распределение молекул по значениям кинетической энергии поступательного движения.
Для этого нужно перейти от переменной и к переменной е, равной тпхг2. Произведя в (106.14) подстановку в = ~/ — „, и Но= = — 11а, 1 $~2те получим 2 1 (й1,=й(= —,„. е г 1'. !/я (И)"ь (106.15) где !(Ж, означает число молекул, энергия которых имеет значения„заключенные в пределах от е до е + с(е. Таким образом, распределение молекул по значениям а характеризуется функцией е 1(в) А,- лг )Ге (106.16) 2 ! где А' — нормировочный множитель, равный (ат)ч ' В заключение произведем оценку средней скорости молекул, например, кислорода. Вычисления удобнее производить, заменив в (106.12) отношение й/и! равным ему отнонгеннем !7/р. Тогда выражение для средней скорости примет вид / вот (106.17) Молекулярный вес кислорода равен 32.
Следовательно, масса киломоля и = 32 кг/кмоль, Комнатная температура равна примерно 300'К. Подставляя в формулу (106.!7» численные значения входящих в нее величин, получаем: в= у = 600 м/сгь. ГВ В,З1 1О'.3ОО 3,14 32 Таким образом. каждая молекула кислорода проходит за секунду путь, равный в среднем 0,5 клс Поскольку молекула претерпевает очень частые соударения с другими молекулами, этот путь состоит из большого числа коротких прямолинейных отрезков, образующих ломаную линию. Молекулы водорода имеют массу, в !6 раз меныпую, чем молекулы кислорода, вследствие чего их скорость при той >ке температуре будет в 4 раза больше и составит при комнатной температуре я среднем цоч1и 2 кл11сек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
