saveliev1 (797913), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Полнтропическнм называется тат а б и и и а б кой процесс, при котором давление и объем идеального газа связаны соотноше- нием Процесс р)с" = сопз(, (104.1) Иаобарический Иаотерчнческий Ллиабатическнгс Изокорачсский где л может принимать значения от — оо до +со, В таблице 6 указаны со значения л, прп которых политропический процесс оказывается тождественным с одним из уже известных нам процессов. Первые три стром!О Таким образом, тангенс угла наклона адиабаты в у раз больше, чем у изотермы.
Во всех рассуждениях мы предполагали, что состояние газа в каждый момент времени характеризуется определенными значениями параметров р и Т, т. е., иными словами, что рассматриваемый адиабатический процесс является равновесным. Как мы знаем, равновесным может быть только процесс, протекающий очень медленно. Вместе с тем, поскольку совершенно не проводящих тепло веществ в природе не существует, количество тепла, которым обменивается система с ее окружением, будет тем меньше, чем меньшее время длится процесс.
Таким образом, близкими к адиабатическому могут быть только бь(стро протекающие процессы. Примером такого процесса люгут служить сжатие и расширение, происходящие в каждой точке газа, в котором распространяется звуковая волна. Неси!отря на то, что в пределах большого объема состояние газа при этом отнюдь не является равновесным (р и Т в разных точ. ках различны). поведение газа в пределах каждого, достаточно малого объема вполне удовлетворительно описывается уравнением адиабаты (103.4). ки таблицы очевидны.
Чтобы убедиться в справедливо сти четвертой строки, напишем уравнение политропы (104.!) в следующем виде: (104.2) р р~ где индексы 1 и 2 относятся к двум произвольно взятым состояниям. Извлечем нз (104.2) корень степени вк 1 ! рйр" — рй ~/ е г' Устремив теперь а к +во или — ео, мы придем к условию Г, $'м которое характеризует изохорический процесс. Из уравнения состояния идеального газа, написанного для одного киломоля, следует, что г р=й —. к' (104.3) Подставив это значение р в уравнение (104.1) и учтя, что 1с — постоянная величина, получим уравнение поли- тропы в переменных Т и К Т'г'" ' =сопз1.
(! 04.4) Найдем теплоемкость киломоля идеального газа при политропическом процессе. Согласно (96.4) и (102.8) гП~ = С„г! Т + р Л'. Следовательно, С= — =С +р —. сГЮ ~ЛГ лт = лг (104.5) откуда в"г' аг т!и — !) р(а-11 [мы воспользовались соотношением (104.3)). ай! сП' Чтобы найти †„„, будем исходить из уравнения политропы в виде (104.4). Дифференцирование этого уравнения дает: Ь'" 'г!Т+Т(и — 1)Р" "д$'=О, ну Подстановка найденного нами значения — в фор. аг мулу (104.5) дает для теплоемкости киломоля идеаль. ного газа при гюлитропическом процессе следующее выражение: (104.6) Рекомендуем проделать этот вывод в порядке упраж- нения. й 105.
Работа, совершаемая идеальным газом при различных процессах Работа, которая совершается при переходе из состояния ! в состояние 2 каким-либо телом над внешними телами, равна, как известно (см. (96.3)): Ь'ю Ам= ) рЛ'. (105.! ) Чтобы произвести интегрирование, нужно выразить р через !'. Для это~о воспользуемся связью между р н 1~ при различных процессах. Уравнение политропы идеального газа (104.1) можно написать следующим образом: р~,л — ррах рр~ ! ! 2 а' 362 Это выражение ие содержит параметров состояния р, У и Т. Таким образом, теплоемкость (104.6) есть величияз постоянная.
В соответствии с этим политропические пропессы можно определить как такие процессы, при которых теплоемкость остается постоянной. Такое определение является более общим, чем определение (104.!),— оио применимо к ~елам и системам тел любой природы, в то время как определение (104.1) справедливо только для идеального газа. Исходя из предположения, что С = С„ = сонэ!, можно показать, что идеальный газ при этих условиях следует уравнению (104.!), где (104.7) к п «г у'" (105.2) Подставляя (105.2) в (105.1), получаем: (105.3) Рассмотрим сначала случай и+ 1; тогда интеграл в (105.3) равен г'и Подставив это значение интеграла в (105.3) и произведя несложные преобразования, получаем: «грг ~! (~ ) Полученное выражение можно преобразовать, воспользовавшись тем, что, какой бы процесс ни происходил с идеальным газом, его параметры связаны уравнением состояния (Ж!4).
В частности, это справедливо и для начального состояния: (105.4) ргр = — „!%. (105.5) Подстав.чяя (105.5) в (105.4), получаем: иг Ю' ! /у~г" г1 (105.6) Гг и — !), Выражения (105.4) и (105.6) дагот работу, совершаемую идеальным газом при любом политропическом ') С таким же успехом можно выразить давление через параметры конечного еосгояиия, 23 и, в. Савельев, т. 1 звз где рь 1гг н рм )'з — значения давления и объема газа соответственно в первом (начальном) и втором (конечном) состояниях, р и )г — давление н объем в любом промежуточном состоянии.
Выразим в соответствии с этим соотношением давление газа через его объем и значения параметров в начальном состоянии '): процессе, кроме изотермического (соответству)ошего и = 1) '). В частности, при адиабатическом процессе А,е = — '' ' (г — (+) ~ (105.7) или А,е — — — — ' ( ) — ( —,' ) 1. (105.8) Итак, работа, совершаемая идеальным газом прн изотермическом процессе, равна А = — ТтТ!и —. м ) 2 !2 и р'~ ' (!05.9) При изобарическом процессе работа, совершаемая любым телом, в том числе и идеальным газом, равна, как следует из (105Л), Ага = Р Ь'е — У,).
(105.10) Тог же результат получается, если положить в (105А) п равным нулю. В заключение отметим, что при изохорическом процессе работа равна нулю, что справедливо для любых тел. ф 106. Распределение молекул газа по скоростям Молекулы газа движутся с самыми различными скоростями, причем как величина, так и направление скорости каждой отдельно взятой молекулы непрерывно меняются из-за соударений (как мы увидим в дальнейшем, при нормальных условиях каждая молекула претерпевает в секунду примерно 10' соударений).
') Отметим, что при н 1 выражения 1!0ЗЛ) и (105.6) становится неопределенными. 354 Чтобы вычислить работу идеального газа при изотер. мическом процессе, заменим давление в формуле (105.1) его выражением через другие величины в соответствии с уравнением состояния. В результате получим (Т можно вынести за знак интеграла, поскольку она постоянна): тн кТ ( ~Л' !Р3 Так как все направления движения равновероятны, распределение молекул по направлениям будет равномерным: в пределах любым образом ориентированного, но постоянного по величине телесного угла ЛР лежат в каждый момент времени направления движения в сред. нем одинакового числа молекул Лйк .
Иначе обстоит дело с численными значениями скорости молекул и. Возможные значения и, заключенные в пределах от нуля до бесконечности, отнюдь не равновероятны. Это вытекает из следующих соображений. Изменение скоростей молекул при столкновениях происходит случайным образом. Может случиться, что какая-то молекула в целом ряде последовательных соударений будет получать энергию от своих партнеров по столкновениям, в результате чего ее энергия значительно превзойдет среднее значение й.
Однако, даже если представить себе такой совершенно фантастический слу* чай, при котором все молекулы газа остановятся, пере. дав свою энергию одной-единственной молекуле, то и тогда энергия этой молекулы, а следовательно, и ее скорость, будет конечна. Таким образом, скорость молекул газа вообще пе может иметь значений, начиная с некоторого и„..„. до са. Учитывая, что пропессы, которые привели бы к сосредоточению па одной молекуле заметной доли суммарной энергии всех молекул, маловероятны, можно утверждать, что слишком большие по сравнению со средним значением скорости могут реализоваться крайне редко.
Точно так же практически исключено, что в результате соударений скорость молекулы станет равной точно нулю. Следовательно, очень малые и очень большие по сравнению со средним значением скорости маловероятны, причем вероятпбсть данного значения и стремится к нулю как при и - О, так и при и -+ 00. Из сказанного следует, что скорости молекул группируются в основном вблизи некоторого наиболее вероятного значения. Для выяснения способа, которым можяо количест.
венно описать распределение молекул по значениям и, воспользуемся следующим наглядным приемом, Будем отмечать значения скоростей точками на оси ш Тогда каждой молекуле иа этой оси будет соответствовать точка, расстояние которой от точки О, принятой за начало Юэ зчб „- — и =!Ли ') Отметим, что, затрачивая на нанесение кюкдой точни только одну секунду, иад нанесением 2,7 ° !Ои точек ориииось бы трудитьси !О" лет. 356 отсчета, численно равно величине скорости данной молекулы (рис. 236) Предположим, что аы располагаем способом одновременного определения скоростей всех !т' молекул некоторого количества газа. Изобразив полученные результаты в виде точек') на оси о, мы получим «моментальную фотографию» скоростей молекул для некоторого момента времени ! (рис.
237). Если бы все значения и были одинаково верор у-«ма»а«у«о ятны, точки распредео лились бы по оси и равномерно. Однако, как мы видели выше, скорости группируются в основном вблизи не.й~и которого наиболее ве((! роятного значения. Близкие же к нулю и очень большие значения скорости встречаРнс. 237. !отея сравнительно ред- ко. Поэтому распределение точек на оси о будет неравномерным, с плотностью, различной на разных участках оси. Определив плотность точек как отношение числа точек Ь(т'«, попадающих в пределы интервала Лв (рис.
237), к величине этого интервала: ~ЪФ» аи ' можно сказать, что эта величина является функцией и (р = р(о)). В самом деле, ее значение зависит от того, в каком месте на осн о взят интервал Ло, т, е. от о. Каждый акт соудареиия между двумя молекулами изменяет случайным образом положение соответству!ощих точек на оси о. Поэтому, если сопоставить ряд «фотографий» для разных моментов времени: и т. д. (рис. 238), то на этих «фотографиях», вообще говоря, не будет совпадающих точек. Однако если газ находится в равновесном состоянии (т.
е, в состоянии (106. 1) Отношение — „" =)(о)Ло (106.3) дает вероятность того, что скорость молекулы будет иметь значение в пределах данного (лежащего между о и и+ Лп) интервала скоростей Ло (о при ЛЛ) служит индексом для обозначения интервала Ло) '). '! Вероятность того, что скорость какогмто молекулы имеет произвольно взятое определенное значение о, равна нулю. Это объясняется тем, что число возне>нных значений о аескы!ечно, количестю же молекул )Ч хоть и велико, но конвою (сравни с й !00, текст от (!00.!) ло (!00.2)). 357 с неизменяющимися параметрами), то распределение молекул по скоростям оказывается неизменным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
