saveliev1 (797913), страница 51
Текст из файла (страница 51)
личина, пропорциональная давлению идеального газа при постоянном объеме. Отсюда следует вывод, что тем» пература Т пропорциональна е. Чтобы найти коэффициент пропорциональности между абсолютной температурой Т и г, сопоставим уравнение (99.10) с уравнением состояния идеального газа (98.13). Для этого умно'ким уравнение (99.!О) па объем кнломоля К,,: р) яи = . (паяя) е 2 Замечая, что произведение числа молекул в единице объема на объем одного киломоля равно числу Авогад. ро, последяее равенство можно написать в виде: 3 рГ„„= —., Уке.
Сопоставляя это уравнение с уравнением состояния идеального газа для одного кнломоля рт', =ЙТ, мы заключаем, что 3 =Жкй= КТ, 3 откуда в=т йТ, 3 (99. 1! ) где буквой й обозначена величина Р/!Уж называемая по. сто ниной Вол ьцм а на. Ее значение равно й = — ' = 1,38. 10 — = ! 38. 10 а,З! !О' и дж -<г врг Ф,~ 6,02 1сгг ' град ' град ' Итак, ыы пришли к важному выводу: абсолютная температура есть величина, пропорциональная средней энергии движения одной молекулы. Этот вывод справедлив не только для газов, но и для вещества в любом состоянии.
Выражение (99.11) замечательно в том отношении, что средняя энергия е оказывается зависящей только от температуры н не зависит от массы молекулы. Заменив в уравнении состояния идеального газа Й через й<г<й и учитывая, что Л'„/Ггв равно и, можно получить важную формулу: (99.!2) р = пйТ. Если имеется смесь нескольких газов, разные по массе молекулы будут иметь различную среднюю скорость, но средняя энергия молекул будет одна н та л<е. Давление в этом случае будет равно р=-пН =(и<+па+...)йТ, (99.13) где пь пг и т. и. обозначают количество молекул первого, второго и т. д.
сорта, содержащееся в единице объема, Выражение (99.!3) может быть представлено в виде р=п<йт+,йт+ ... 11о п<йТ вЂ” это то давление р<, которое было бы в сосуде, если в нем находились бы только молекулы первогб сорта, нгйТ вЂ” то давление рг, которое было бы при наличии в сосуде только молекул второго сорта, и т. д. Давление, обусловленное молекуламн какого-либо одного сорта, при условии, что они одни присутствуют в сосуде в том количестве, в каком опи содержатся в смеси, называется парциальным давлением соответствующей компоненты газовой смеси. Введя парциальные давления, на основании (99.!3) можно написать, что Таким образом, мы пришли к закону Дальтона, который гласит, что давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений газов, образуюв4их смесь.
$ !06. Строгий учет распределения скоростей молекул по направлениям В этом параграфе мы произведем точный подсчет числа ударов молекул о стенку, не прибегая к упро. и~епноыу представлению о движении только вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. Кроме ~ого, мы покажем, что указанное упрощение не отражается на полученном нами в пре- р" 6~ ! дыдущем параграфе выражении (99.4) для давления. Д Любое направление в простран- ! стае можно задать в виде отложен- ! ного из некоторой точки О направ- ( ленного отрезка ОА (рис. 223).
Про- в ведем через точку О ось 2 и про- ~' ходящую через эту ось плоскость Рь. Проходящая через ось ОХ пло- .ь скость Р, в которой лежит направ- Рьс 223. ление ОА, образует с выбранной за начало отсчета плоскостью Р„угол ~р. Направление ОА образует с осью Ос угол 6. Очевидно, что задание углов 6 и ср полностью определяет направление ОА. Для различных направлений угол гь изменяется в пределах от О до 2и, угол 6 — от О до и. Таким образом, направление движения молекул газа можно охарактеризовать, задав дчя каждой молекулы значения углов 6 н <у, отсчитываемых от некоторого фиксированного направления 02 (в качестве такою направления можно взять, например, направление нормали к площадке) и проведенной через него плоскости Р„.
Однако можно применить иной, более наглядный способ. Окружим точку О сферой произвольного радиуса )г (рис. 224). Л|обая точка А на этой сфере будет определять некоторое направление от О к А. Следовательно, направления, в которых движутся молекулы газа, могут быть заданы точками на сфере. зз~ Равновероятность всех направлений приводит к тому, что точки, изображающие направления движения молекул, распределяются по сфере с постоянной плотностью р, равной числу рассматриваемых молекул Ф, деленному на поверхность сферы: (100.1) Соударепия приводят к изменению направлений движения молекул, в результате чего положения Ф точек на сфере непрерывно меняются.
! Однако вследствие хаотичности движс>>ия плотность точек остает1 ся все время постоянной. Число возможных направлений в пространстве, как легко видеть. бесконечно велико. Реал Л/ лизуется же в каждый момент времени конечное число направлений, равное рассматриваемому количеству молекул 1У.
Отсюда следует, что постановка вопроса о числе молекул, имеющих заРвс. 224. данное (изображаеа>ое точкой А иа сфере нли определяемое значениями углов б и Ч) направление движения, лишена смысла. Б самом деле, поскольку число возможных направлений бесконечно велико, а число молекул конечно, вероятность того, что в строго определеннЬм направлении летит хотя бы одна молекула, равна пул>о. Правомерной будет постановка вопроса о том, какое количество молекул движется в направлениях, близких к данному (определяелюму углами д и Ч>). Таким направлениям соответствуют все точки элемента поверхности сферы Ьг", взятого в окрестности точки А (рис. 224).
Поскольку тачки, изображающие направления движения молекул, распределены по сфере равномерно, в пределах ЛГ окажется количество точек, равное бй>,,,=рб1>= 1У вЂ”,„„„. лд (100.2) Индексы 6, Ч> при Ь1У указывают на то, что имеются в виду молекулы, направления движения которых близки 332 направлению, определяемому углами б и ~. Введя телесный угол Л() = ЬЦ)тх, в пределах которого заключены направления, проходящие через ЛГ, формулу (100.2) можно записать следующим образом: Лй(в,ч=й1 4„.
ап Условия соударення молекул со стенкой (в частности, импульс, сообщаемый стенке прн ударе) зависят только от угла 6 между направлением движения молекул и нормалью Надумал к элементу с~сики ЬЗ и не зависят от угла ~р. Найдем, какое количество молекул Нпв ли Рама из а молекул, находящихся в единице объема, имеют направления, образующие с пор- а,э малью углы, заключенные в пределах от б до б + ~(б. Пля Ж этого согласно (100.2) нужно найти элемент поверхности сферы г(Е, соответствующий таким значениям б. Этот элемент поверхности, как видно Рка 225.
из рис. 225, представляет собой шаровой пояс с длиной основания, равной 2п)та(п б, н шириной ЙЮ. Поверхность такого пояса равна г1Е = 2п)1 з(л 6Рг(б =2пут з1п 6Щ~. Следовательно, в соответствии с ° (100.2) получаем: сакэ — п, — — и юп бйб. (!00.4) ! Множитель — з(п б карактернзует распределение мо- 2 лекул по значениям угла б. Если сравнивать количества молекул г(нв, приходящиеся на один и тот же интервал углов с(б, но от,качающиеся значением б, то такие Ива изменяются как з)пб.
Теперь найдем число ударов молекул о площадку Ь5 за время Ж. Нз числа молекул, направления двимсения котовых образуют с нормалью к ЛЯ углы в пределах от 6 до б+ дб, до ЬЗ долетят за время й( все г(Ьв ззз молекул, находящиеся в объеме Ь)т показанного иа рис. 226 наклонного цилиндра '); объем Л)« равен Мт =Л5о«ь)сонб, где о — скорость, предполагаемая одинаковой для всех молекул. Рнс, 22Ц Число интересующих нас молекул, содержащихся в единице объема, определяется формулой (160.4), Понтону йКе= «)леЬ)« = — л н)пб«16Л5оЯсовд.
(100.6) Отсюда для числа ударов об единичную площадну в единицу времени получим следующее выражение: л)р — ° — Оо, ЬЯот 4 (100.6) ') Все ««вправленна с данным и мы мысленно сводам в одну плоскость, отвечающую провзволыюму значению угла «р. т) значениям о от я12 до и соответствуют молекулы, летящне в яаяравленяях от ЬЯ. Проинтегрировав это выражение по 6 в пределах от 0 до л/2 '), получим полное число ударов о площадку Ы аа время 61: 2 Ь«««= ) «1)те=в моЬЯИ ) н)пбсоаб«16 = — поЛЯИ. « ) 2,) 4 которое отличается от полученного нами в предыдущем параграфе выражения (99.3) только числовым множителем, раиным 3/2.
Перейдем к вычислению давления газа на стенку. Каждая молекула, ударяющаяся о стенку под углом О, сообщает ей направленный по нормали импульс, равный 2то сов О (рис. 227). За время Л( об элемент стенки Л5 ударяется под углом О количество молекул ИЬе определяемое формулой (100.5). Следовательно, импульс, сообщаемый Л5 этими молекулами, ранен дК4 = 2 то соз О Мв = птах Л5 Л( созт О з(п О г(О. Полный импульс ЛК, сообщаемый Л5 молекулами всех направлений, получим путем интегрирования: ЛК = ~ ЙКв= пппб Л5Л( ~ соззб ейп Ос(О= —.пто'Л5ЛЛ = 3 о Отсюда давление р = — — пито, лК 1 ЛЗЛ~ З Выражение (100.7) совпадает с выражением для давления (99.4), полученным нами на основании предположения о движении молекул только в трех взаимно-перпендику- 1ч4=)о~=и ляриых направлениях.
Совпадение уча объясняется тем, что указанное предположение приводит, с одной Ю стороны, к занижению числа ударов молекул остенку1сравни(100.6) н (99.3)), а с другой,— к завышению импульса, передаваемого стенке прн каждом ударе. При выводе формулы (99.4) мы принимали, что при каждом ударе стенке сообщается импульс, равный 2 ти. В действительности же величина сообщаемого стенке импульса зависит от угла О, вследствие чего средний импульс, сообщаемый при одном ударе, равен 4 — то. В итоге обе неточности взаимно компенсируют з друг друга и даже при упрощенном рассмотрении получается точное выражение для давления. 333 9 101. Равнораспределеине энергии по степеням свободы Получещюе нами в 3 99 выражение для средней энергии молекулы а= — ЙТ з (101.1) учитывает только энергию поступательного движения молекулы.
Однако наряду с поступательным движением возможны такм<е вращение молекулы и колебания атомов, входящих в состав молекулы. Оба эти вида движения связаны с некоторым запасом энергии, определить который позволяет устанавливаемое статистической физикой положение о равнораспределении энергии по степеням свободы молекулы. Числом степсней свободы механической системы назьщается количество независимых величин, с помощью которых может быть задино иолозкение системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
