saveliev1 (797913), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Так, положение, в пространстве материальной точки полное ью определяется заданием значений трех ее координат (напрнмер, декартовых координат х, р, х или сферических координат т, О, и т. д.), В соответствии с этим материальная точка имеет три степени свободы.. Положение абсолютно твердого тела ногино определить, задав три координаты его центра инерции -В (х,у, х), два угла 6 и йч указывакпцих направление Рис. 228. какой-либо оси, связанной с телом и проходящей через его центр инерция (рис 228], и, наконец, угол ф, определяющий направление второй связанной с телом оси, перпендикулярной к первой. Таким образом, абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы. Изменение координат центра инерции при неизменных углах О, 9 и ф обусловливается поступательным движением твердого тела.
Поэтому соответствующие степени свободы называются поступательными. Изменение любого из углов О, тг, ф при неизменном положении центра инерции обусловливается вращением тела, в связи с чем соответ- 336 ствующне степени свободы называются вращательныхш. Следовательно, из шести степеней свободы абсол1отпо твердого тела три являются поступательными и три— вращате.пьными. Система нз Ф материальных точек, между которыми нет жестких связей, имеет З)и'степеней свободы (положение каждой из Ф точек должно быть задано тремя координатамн). Любая жесткая связь, устанавливающая неизменное ,гью га взаимное расположение двух точек, уменьшает число степеней свободы на единицу.
Так, напри- ю У~ " мер, если система состоит из двух материальных точек, расстояние 1 Рис. 229. между которыми остается постоянным (рис. 229), то число степеней свободы системы равно пяти. В самом деле, в атом случае между координатами точек имеется соотношение (хи — х,)с+(Рв — Р,)с + (аи — а,)х = (и, (101.2) вследствие чего координаты не будут независимыми: достаточно задать любые пять координат, шестая определится условием (101.2). Чтобы классифицировать эти о и — -с- Х вЂ” ~~- — у л" ! и' Рис.
230. Рис. 230 пять степеней свободы, заметим, что положение системы, состоящей из двух жестко связанных материальных точек, можно определить следующим образом: задать три координаты центра инерции системы (рис. 230) и два угла 0 и сс, которыми определяется направление в пространстве оси системы (т. е. прямой, проходящей через обе точки). Отсюда следует, что три степени свободы 22 и. в. Саисиьеи, т. $ 337 будут поступательными и две — вращательными. Вращательные степени свободы соответствуют вращениям вокруг двух взаимно-перпендикулярных осей 0'0' и О"0", перпендикулярных к оси системы 00 (рис. 23!). Вра щение вокруг оси 00 для материальных точек лишено смысла.
Если две материальные точки связаны не жесткой связью, а упругой (т. е. так, что всякое изменение равно. весного расстояния гч между точками влечет за собой возникновение сил, стремящихся установить между точкамн первоначальное расстояние), то число степеней свободы будет равно шести. Положение системы в атом слу- „'Ъ чае можно определить, ты центра инерции г задав три коорднна(рис.
232), два угла 6, <р и расстояние между точками к Изменения г соответствуют колебаниям в системе, Ряс. 232. вследствие чего эту степень свободы называют колебательной. Итак, рассмотренная система имеет три поступагельные, две вращательные и одну колебательную степень свободы. Рассмотрим систему, состоящую из Л' упруго связанных друг с другом материальных точек. Такая система имеет ЗМ степеней свободы. Существует равновесная конфигурация точек, отвечающая минимуму потенциаль. ной энергии системы. Равновесная конфигурация характеризуется вполне определенными взаимными расстояниями между точками.
Если точки вывести из положений, соответствующих равновесной конфигурации, в системе возникнут колебания, Положение системы можно определить, задав положение равновесной конфигурации и величины, характеризующие смещения точек из равновесных полом<ений. Последние величины соответствуют колебательным степеням свободы. Положение равновесной конфигурации, как и поло. жение абсолютно твердого тела, определяется шестью величинами, которым соответству1от трн поступательные и три вращательные степени свободы. Таким образом, количество колебательных степеней сврбоды равно ЗФ вЂ” 6').
Р!3 опытов по измерению теплоемкостн газов вытекает, что при определении числа степеней свободы молекулы атомы следует рассматривать как материальные точки. Следовательно, одноатомной молекуле нужно приписывать три поступательные степени свободм, двух- атомной молекуле, в зависимости от характера связи между атомами, следует приписывать либо три поступательные и две вращательные степени свободы (прн жесткой связи), либо, кроме этих пяти, еще одну, коле- бате,тьпую степень свободы (при упругой связи), трехатомпой молекуле с жесткой связью — трн поступательные и три вращательные степени свободы и т. д.
Заметим, что, сколько бы степеней свободы ни имела молекула, трн пз них — поступательные. Поскольку ни одна нз поступательных степеней свободы молекулы ие имеет преимущества перед остальными, ма каждую пз них должна приходиться в среднем одинаковая энергия, равная одной трети значения ()О!.!), т. е.
йТ!2. Естественно предполонснть, что ии один нз видов движения пе имеет преимущества перед другими и, следовательно, на любую степень свободы — поступательную, вращательную и колебательную — должна приходиться в среднем одинаковая энергия (точнес говоря, кинетическая энергия), равная АТ/2. Это утверждение и представляет собой содержание положения о равнораспределвнни энергии по степеням свободы. Насколько справедливо это положение, будет выяснено в следующем параграфе.
Согласно положению о равнораспределеннн среднее значение энергии одной молекулы е будет (при той же температуре) тем больше, чем сложнее молекула, чем больше у нее степеней' свободы. При определении в нужно учесть, что колебательная степень свободы должна обладать 'вдвое большей энергетической емкостью по сравнению с поступательной или вращательной. Это объясняется тем, что поступательное и вращательное движение молекулы связано с наличием только кинетической '! Предполагается, что равновеснь|с положения точек ме лежат на одной прямой. В противном случае аран~атсльных степеней свободь1 будет только две, а колебательных ЗМ вЂ” 5.
С таким случаем мы имели дело прн рассмотренна спсхеми, состоящей иа дауа точек. йаа 339 й= — йт 2 (101.3) где 1 — сумма числа поступательных, чпслч вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободьс мо,пекулы: 1 = ища~ + Лььащ + 2пкььвя (101.4) Для молекул с жесткой связью между атомами совпадает с числом степеней свободы молекулы. й 102. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа Вследствие того, что молекулы идеального газа на расстоянии не взаимодействуют, внутренняя энергия такого газа будет складываться из энергий отдельных молекул.
Следовательно, внутренняя энергия одного кило. моля идеального газа будет равна произведению числа Авогадро на среднюю энергию одной молекулы: С/ьь=й'лз= с И„!гТ г ЛТ. (102.1) Внутренняя энергия произвольной массы газа т будет равна вн)тренней энергии одного моли, умнонсенной на число киломолей газа, содержащихся в массе пп (102. 2) Теилоелкостью какого-либо тела называется велиисна, ровная количеству тепла, которое нузкно сообщить телу, чтобы повысить его телспературу на один градус.
Если сообщение телу коЛичества тепла д'С,1 повышает его 340 энергии, в то время как колебательное двннсенне связано с наличием и кинетической, и потенциальной энергии„причем для гармонического осцнллятора среднее значение кинетической и потенциальной энергии оказывается одинаковым. Поэтому на каждую колебательную степень свободы должны приходиться в среднем две половинки йТ вЂ” одна в виде кинетической энергии н одна в виде потенциальной. Таким образом, средняя энергия мсглскулы должна равняться: температуру на дТ, то теплоемкость по определению равна С„„,= — „ (102.3) Величина (102.3) имеет размерность дж/град.
Теплоемкость киломоля вещества мы Г>удел> обозначать буквой С. Размерность С равна дж/град кмопек Теплоемкость единицы массы ве>цествз называется удельной теплое м костью. Ее мы будем обозначать буквой с. Размерность с равна дж/град ° кг. Между теплоемкостью киломоля вещества и удельной теплоемкостыо того же вещества имеется очевидное соотношение: С с= —. и Величина теплоемкости зависит от условий, при которых происходит нагревание тела. Наибольший интерес представляет теплоемкость для случаев, когда нагревание происходит при постоянном объеме или при постоянном давлении, В первом случае теплоемкость называется теплоемкостыо при постоянном объеме (обозначается С>), во втором — теплоемкостью прн постоянном давлении (Ср).
Если иагревание происходит при постоянном объеме, тело ие совершает работы над внешними телами и, следовательно, согласно первому началу термодинамики (см. (95.4)), все тепло идет на приращение внутренней эпе гпи тела: (! 02Л) дД,=ди. (! 02.5) Из (!02.5) вытекает, что теплоемкость любого тела прп постоянном объеме равна (!02.6) Следовательно, чтобы получить теплоемкость кило- моля идеального газа при постоянном объеме, нужно /аг> ! '! Точнее вто выражение ааппсывается и вике С,-> —. (аг! ' Такая вались подчеркивает то обстоятельство, что прп дифференцировании выражения лли с> по Т объем следует считать постояипым.
Н случае идеального сава Г> пвляется фуикипей .ол ьо от Г 1>м. (>02.>)1, так что выражение (!026) окакь>веется вполис строгим. продифференцировать по температуре выражение (102.1) для внутренней энергии газа. Произведя днфференциро« ванне, получим: (102.7) Как следует из этого выражения, теплоемкость иде ального газа прн постоянном объеме оказывается постоянной величиной, не зависящей от параметров состояния газа, в частности от температуры.
Заметим, что с учетом (102.7) выражение для внутренней энергии идеального газа мокнет быть записано в следующем виде: (102.8) Если нагреванпе газа происходит при постоянном давлении, то газ будет расширяться, совершая над внешними телами положительную работу. Следовательно, для повышения температуры газа на один градус в этом случае понадобься больше тепла, чем при нагревании при постоянном объеме, — часть тепла будет затрачиваться на совершение газом работы. Поэтому теплоемкосгь при постоянном давлении должна быть больше, чем теплоемкость прн постоянном объеме.
Напин)ем уравнение (96.4) первого начала термодинамики для киломоля газа: ~('д = ~7(7,„+ р~'„.„. (! 02.9) В этом выражении индекс р при д'Я указывает на то, что тепло сообщается газу в условиях, когда р постоянно. Разделив (102.9) на г(Т, получим выражение для теплоемкостн кнломоля газа прн постоянном давлении: ~~«ч + 1 неокл~ ) (102 10) Слагаемое —. дает, как мы видели, теплоемкость кп- ~Ш„„ ломоля прн постоянном объеме. Поэтому формула (102.10) может быть записана следующим образом: С =С +р(~~'") . (102.11) Величина ( — ) представляет собой приращение ! дркч 1 '1 иг), объема киломоля при повышении температуры на одни 342 градус, получающееся в случае, если р постоянно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
