saveliev1 (797913), страница 57
Текст из файла (страница 57)
С учетом (109.2) формулу (109.1) можно записать следующим образом: е, в=псе ег. (109 Л) где ла — число молекул в единице объема в том месте„ где потенциальная энергия молекулы равна нулю, а зто число молекул в единице объема, соответствующее тем точкам пространства, где потенциальная энергия молекулы равна в„. Из (109.3) следует, что молекулы располагаюгся с большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия, и, наоборт, с меньшей плотностью в местах, ~де их потенциальная энергия больше. В соответствии с (109.3) отношение н, к и, в точках, где потенциальная энергия молекулы имеет значения схч и агм равно Вр~ Ргт ег гм (109.4) гам е +— Р 2 Е г(пе,, = по4п~ — ) в ьг изми е ат ог гЬ (109 5) где н,— число молекул в единице объема в той точке, в которой ег = О, а Š— полная энергия молекулы, равная сумме ее кинетической и потенциальной энергий.
24~ 271 Больцман доказал, что распределение (109.3), как и вытекающая из него формула (109.4), справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. В соотве.гствии с этим распределение (109.3) называют р а сп ределением Больцмана.
В то время как закон Максвелла дает распределение частиц по значениям кинетической энергии, закон Больцмана дает распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Для обоих распределений характерно наличие экспоненциального множителя, в показателе которого стоит отношение кинетической илн соответст'венно потенциальной энергии одной молекулы к величине, определяющей среднюю энергию теплового движения молекулы.
Распределения (106.14) и '(109.3) можно об.ьединить в один закон Максвелла — Боп ьц и а н а, согласно которому содержащееся в единице объема количество молекул, скорость которых лежит между о и н+ г(о, равно В соответствии с условием (106.5) интегрирование (109:5) по о в пределах от 0 до оь приводит к выражению е, ЯТ совпадающему с распределением (!09.3). В распределении (109.5) погенциальиая энергия е„ и кинетическая энергия глоз72, а следовательно и полная энергия Е, могут принимать непрерывный ряд значений. Гели полная энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений: Еь Еь ..., как зто имеет место, например, для внутренней энергии атома, то распределение Больцмана имеет вид: Я~ 1У Л , ьг (1 09.6) где И; — число частиц, находящихся в состоянии с энергией Еь А — коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию ~с ~(у л~, ю у ()у — полное число частш! в рассматриваемой системе).
Подставив найденное из последнего соотношения значение А в формулу (109.6), получим окончательное выражение распределения Больцмана для случая диск. ретпых значений энергия: Е~ У;= 1Га ~ч',е (! 09.7) 9 110. Определение Перреиом числа Авогадро Распределение (109.4) было положено Перреном (1909 г.) в основу опытов по определению числа Авогадро.
Взвешенные в жидкости очень мелкие твердые частицы находятся в состоянии непрестанного беспорядочного движения, называемого броуновским движением (см. $ 9!). Причина его заключается в том, что при достаточно малых размерах частиц импульсы, сооб- 372 щаемые частице ударяющимися о нее с разных сторон молекулами, оказываьотся нескомпенснрованными. О частицу заметных размеров ударяется одновременно большое число молекул, так что суммарный результат ударов молекул достаточно хорошо усредняется. Прн малых размерах частицы начинают проявляться отклонения скорое~ей о~дельных молекул н числа ударяющихся молекул от средних значений.
Если скорость нли число молекул, ударяющихся о частицу с одной стороны, окажется иной, чем для молекул, ударяющихся с другой стороны, то результнруьощий импульс, сообщаемый частице, будет отличен от нуля и частица начнет двигаться в соответствующем направлении. В следующий момент результирующий импульс имеет иное направление.
Следовательно„частица будет все время перемещаться беспорядочным образом. Броуновское движение указывает на то, что достаточно малые частицы вовлекаьотся в совершаемое молекулами тепловое движение. Принимая участие в тепловом движении, такие частицы должны вести себя подобно гигантским молекулам, и на них должны распространяться закономерности кинетической теории, в частности закон (109.4) .
о т руги-.... ирр.- на составляло приготовления одьшаковььх рнс. йчд частиц и определение их массы. Применив многократно метод центрифугирования, Перрену удалось приготовить весьма однородную эмульсию из практически одинаковых шариков гуммигута') с радиусами порядка нескольких десятых долей микрона. Эмульсия помеьналась в плоскую стекляннуьо кьовету глубиной О,! мм и рассматривалась с помощью микроскопа (рис. 247). Микроскоп имел столь малую глубину поля зрения, что в него были видны только частицы, находящиеся в горизонтальном слое толщиной примерно 1 льгс Перемещая микроскоп в вертикальном направлении, можно было исследовать распределение броуновских частиц по высоте.
'1 Гуммигут — сгутдеииый млечный сок, иолучаемый нз надрезов в коре некоторых видов деревьев, расгутлих в Ост-Индии и на Цейлоне Обозначим высоту слоя, видимого в микроскоп, над дном кюветы буквой Ь. Число частиц, попадающих в поле зрения микроскопа, определяется формулой Л14 =и(Ь)ЯЛЬ, где п(Ь) — число броуновских частиц в единице объема на высоте Ь, Я вЂ” площадь, а ЛЬ вЂ” глубина поля зрения микроскопа. Применив к броуновским частицам формулу (!09.3), можно написать: рм и (Ь) — Рт где ир — число частиц в единице объема при Ь = О, р'— вес броуновской частицы в эмульсии, т. е. вес, взятый с учетом поправки на закон Архимеда.
Написав выражение числа частиц ЛУ для двух разных высот 1ц и Ьь получаем: р'м ЛЛ',=и,е тг ЗЛЬ, Лу 1 иг сЛЬ Наконец, логарифмируя отношение ЛУ1ИФь приходим к следующему выражению: ЛФ~ р' (٠— р,) и л~ч ьт С помощью этой формулы по измеренным р, Т. (Ьз — Ь,), Л(Ч1 и ЛЬ1з можно определить постоянную Больцмана Ь. Далее, разделив универсальную газовую постоянную 1с на Ь, можно было найти число Авогадро. Полученное Перреном на различнь1х эмульсиях значение 1т'А лежало в пределах от 6,5 ° 10'з до 7,2.10м кмоль-'.
Определенное другими, более точными методами значение №, равно 6,02 ° 10'Р кмоль-'. Таким образом, значение, полученное Перреном, находится в хорошем согласии со значениями, полученными другими методами, что доказывает применимость к броуновским частицам распределения (109.4). И4 5 111.
Средняя длина свободного пробега Мочекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Минимальное расстояние, иа которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективны м д н а м е т р о м молекулы д (рис. 248), Как мы увидим в дальнейшем (см. 5 117), эффективный диаметр несколько уменьшается с увеличением скорости молекул, т. е. с повышением температуры. Величина а = пР называется эффективн ы м с е ч е н и е и молекулы. За время между двумя последовательнымн соударениями молекула газа проходит некоторый путь 1, который называется длиной свободного пробе- 1 д 1 га.
Длина свободного пробега — слу- Рнс. 248. чайная величина. Иной раз молекуле удается пролететь между соударениями довольно большой путь, в другой раз этот путь может оказаться весьма малым. Как можно показать, вероятность в(1) того, что молекула пролетит без столкновений путь 1, определяется формулой 1 ц~(1)=е х, (ЕИ.1) где Х вЂ” средний путь 1, проходимый молекулой между двумя последовательными соударениями, называемый средней длиной свободного пробега, В соответствии с (111.1) вероятность того, что молекула пролетит без столкновений некоторый путь 1, убывает экспоненциальио с увеличением 1. За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости и. Если за секунду она претерпевает в среднем т столкновений, то средняя длина свободного пробега, очевидно, будет равна (111.2) Для того чтобы подсчитать среднее число столкновений т, предположим вначале, что все молекулы кроме даняой, застыли неподвижно на своих местах.
Проследим за движением выделенной нами молекулы. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет 375 лететь прямолинейно до тех пор, пока не столкнется с какой-либо другой неподвижной молекулой (рис. 249). Это соударение произойдет в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра молекулы д.
В результаэе столкновения молекула изменит направление своего движения, после чего некоторое время опять будет двигаться прямолинейно, пока на ее пути снова не встретится молекула, центр которой будет находиться в 4.! Г ~, пределах показашюго на рис. 249, цилиндра радиуса д. За секунду молекула пройдет путь, равный р.
Очевидно, что Ряс. 24ц число происходящих за это время соударений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра длины р и радиуса д, объем которого равен яРа. Умножив этот объем на число молекул в единице объема л, получим среднее число столкиовешш за секунду движущейся молекулы с неподвижными: т =лп Ёп. В действительности все молекулы двп'кутся, вследствие чего число соударений определяется средней скоростью движения молекул по опюшепию друг к другу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
