saveliev1 (797913), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(73. 12) Последнюю величину обычно используют для характеристики затухания колебаний. Выразив () через ), и Т в соответствии с (73.12), закон убывания амплитуды можно записать в виде х а=аае Я ) п)1е~ (73.13) называемая добротность1о колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорцио- нальна числу колебаний №, совершаемых системой за 251 За время т, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить № = т/Т колебаний.
х — Х— Из условия а г =е получается, что ).— =Х№=1. Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина то время т, за которое амплитуда колебаний увгеньшается в е раз. Найдем импульс системы, совершающеп затухающие колебания. Продифференцировав функцию (73.10) по времени и умножив полученный г результат на массу пг, получим р = глх = — пг а е "г((1 сов (ы1+ а) + + ы згп (ы1 + В)). Это выражение может быть преобразовано к виду р р е вг сов(ы(+ а+ гр), (73.14) где рр — — огас )г'ы'+ йг пга„ыс, а гр удовлетворяет условию Рис. ! ЗЗ.
в 1ЯФ= — —. (Р ' Если бы не множитель е — аг, то, исключив г из уравнений (73.03) и (73.14), подобно тому как это было осуществлено в $71, мы получили бы в координатах х и р уравнение эллипса, повернутого по отношеггво к координатным осям. Наличие экспоненциального множителя е вг приводит и таму, что эллипс превращается в скручивагощукгся спираль (рнс. 133), Эта спираль н представляет собой фазовуго траекторию г затухающего колебания.
Она будет накло- Рис. !ЕЬ непа по отношению к координатным осям тем сильнее, чем больше коэффициент затухания р. Из формулы (73.11) следует, что при ыз — рг = 0 период колебаний обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. Соответствугопггггг математический анализ дает, что при ы' — г)з (О дан- о жение носит апериодический (непериодичеекнй) харак. тер — выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, ие совершая колебаний.
На рис. 184 показано два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апернодическом движении. Каким нз этих способов приходит система в поло>кение равновесия, зависит от начальных условий. движение, изобра>каемое кривой 2, полу» чается в том случае, когда система начинает двигаться из поло>кения, характеризуемого смещеннел» х„к положению равновесия с начальной скоростью оа, опредсляемой условием ! ! !х.!(Р+'Г'Р -"~) ф 74. Автоколебания При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление'сопротивления среды. Если восполнять эту убыль энергии, колебания станут незатухающими. Пополнение энергии системы может осуществляться за счет толчков извне, одпако эти толчки должны сообщаться системе в такт с ее колеба- в!.',:.
ниямп, в противном случае онн могут ослабить колебания и даже прекратить нх совсем. .„'Р й Можно сделать так, чтобы колеблющаяся Рас, 185. система сама управля.ча внешним воздействием, обеспечивая согласованность сообщаемых ей толчков со своим движением. Такач система называется авто колебательной, а совершаемые ею незатухающие колебания — а в т о к о л е б аииямн. В качестве одной из простейших автоколебательных систем рассмотрим устройство, изображенное нз рис. 185.
Гибкая упругая линейка зажата одним концом неподвижно. Если оттянуть свободный конец линейки вниз и затем отпустить, линейка начнет соаерша>ь 2Я затухающие колебания. Колебания можно сделать иеза. тухающими, направив на конец линейки струйку воды так, чтобы струйка задевала линейку в тот момент, когда оиа находится в верхнем крайнем положении.
Удары струйки о конец линейки восполняют убыль энергии колебаний, обусловленную трением. В качестве второго примера автоколебательной си. стены рассмотрим часовой механизм. Маятник часов насажен на одну ось с изогнутым рычагом — анкером (рис. 186). На концах анкера имеются выступы специальной формы„на. зываемые палеттами. Зубчатое ходовое колесо находится под воздействием цепочки с гирей или закрученной пружины, которые стремятся повернуть его по часовой стрелке. Однако большую часть Рас, 186. времени колесо упирается одним из зубьев в боковую поверхность той либо иной палетты, скользящей при качании маятника по поверхности зуба. Только в моменты,когда маятник находится вблизи среднего положения, палетты перестают преграждать путь зубьям и ходовое колесо проворачивается, толкая анкер зубом, скользящим своей вершиной по скошенному торцу палетты.
За полный цикл качаний маятника (за период) ходовое колесо проворачивается на два зуба, причем каждая из палетт получает по толчку. Через посредство этих толчков за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины и восполняется убыль энергии маятника, возникающая вследствие трения. ф 75, Вынунгденные колебания Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (мы будем называть ее вынуждаюшей силой). Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону ) = Ра соз га1.
(75.1) Прн составлении уравнения движения нужно учесть, кроме вынуждающей силы, также те силы, которые действуют в системе при свободных колебаниях, т. е. квази- упругую силу и силу сопротивления среды. Предполагая колебания достаточно малыми, будем по-прежнему считать силу сопротивления пропорциональной скорое~и. Тогда уравнение движения запишется следующим образом: тх = — йх — гх+ г соз ь|. Разделив это уравнение на т и перенеся члены с х и й в левую часть, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка: х+ 25х+м~тх =1 сов м1, (75.2) ~'о где (о = — . р = — — коэффициент затухания, ые = ю' 2м ГХ ='1гу — — собственная частота колебаний системы. аФ Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнсния.
Общее решение однородного уравнения мы уже знаем (см. функцию (73.10), являющуюся общим решением уравнения (73.2)). Оно имеет вид к = псе-м сов(со'(+а'), (75.3) где в'= )/ь"- — йт, а ач и а' — произвольные постоянные. Остается найти частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения (75.2). Предположим, что это решение имеет вид х = а соз (е( — <р) (75 4) (в данном случае удобно обозначить начальную фазу вместо а через — 1г), С помощью векторной диаграммы (см. % б8 и 69) легко убедиться в том, что наше предположение справедливо, а также определить значения а и гг, при которых функция (75.4) удовлетворяет уравнению (75.2). Дифференцируя (75.4) по времени, первые два члена уравнения (75.2) можно представить в зав следующем виде: 2рх= — 2р!ваз1п(ы( — !р)=2рыасоз(ь| — <р+ ~), (755) х = — в'а соз (ы! — <р) = оРа соз (в! — !р + и).
(75.6) Как следует из (75,2), гармоническое колебание 1асозь| является суммой трек гармонических колебаний той же частоты: колебания (75.6), колебания (75.5) и к злебания а~~х - ыза соз (в! — <р). Если изобразить последнее колебание вектором длины в,',а, направленным а~~а ! гш, -м~/и Гю -м-')а а Ф Ркс. !Зт, вправо (рис.
!87), то колебание (75.5) изобразптся вектором длины 2рь!а, повернутым относительно вектора в'х против часовой стрелки на угол п72, а колебание (75.6) — вектором длины ьга, повернутым относительно вектора а'х на угол и. Чтобы уравнение (75,2) было удовлетворено, векторная сумма перечисленнык трех векторов должна совпадать с вектором, изображающим колебание ),сов ый Такое совпадение возможно лишь при значении амплитуды а, которое определяется условием (см. рис. 187, а) (е2 2)2 е чрз 22 2 откуда (з а= (75.7) У(а'- е')'+4Фш' Рис. 187,а отвечает случаю м < во.
Из рис. 187,5, еоответству!ощего случаю ы > ым получается такое же значение а. Рис. 187 позволяет получить также и значение 9, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания (75.4) от обусловившей его вынуждающей силы (75,1). Из рисунка следует, что 1п,у=,~х 2йа (75.8) Подставив в (75.4) значения а и гр, определяемые формулами (75.7) н (75.8), получим частное решение неоднородного уравнения (75.2): ы ~~ - ч~).
(76.9) 1о / 2йм у'Я вЂ”.Р)в+45' ' Функция (75.9) в сумме с (75.3) дает общее решение уравнения (75.2), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (75.3) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис.
188), полебаний Рве. 1зз. С течением времени из-за экспоненциального множителя е-а' роль слагаемого (75.3) все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно ирене. бречь, сохраняя в решении лишь слагаемое (75.9). Таким образом. функция (75.9) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной часто ге вынуждающей силы. Амплитуда (75.7) вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей 17 и.
В, савельев, т. ! 267 (75.11) Подставив это значение частоты в (75.7), получим выражение для амплитуды при резонансе: 12 2Р )/ ~2 ру (75.12) Из (75.12) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Согласно (?5.11) резонансная частота при тех же условиях (при р 0) совпадает с собственной частотой колебаний системы «>«. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынужда>ошей силы (или, что то же самое, от 2ЗЗ силы. Для данной колебательной системы (определенных «>«и р) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы.
Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания ур также зависит от частоты вынуждающей силы 1см. (75.8)1. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой ча. стоте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
