saveliev1 (797913), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Это явление называется резонансом, а соответствующая частота — резонансной частотой. Чтобы определить резонансную частоту «>р«„нужно найти максимум функции (75.7) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по «> и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее ыр„> — 4 («у' — «>') «> + 8(1«гэ = О. (75.10) Уравнение (75 10) имеет три решения: «у = 0 и — гя-2~'.
Р р у ю у максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно бь>ть отброшено, как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение: мр-=)'«~«-Ф' частоты колебаний) показана графически па рис. 189.
Отдельные кривые на графике соответствуют различным значениям параметра (1. В соответствии с (75.11) и (75.12), чем меньше 5, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. При очень большом затухании (таком, что ф'>ь',) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (см. нижнюю кривую па рис. 189). Изображенная на Рис.
189. рис. 189 совокупность графиков функции (75.7), соответствующих различным значениям параметра 5, называется резонансными кр и в ы м и. По поводу резонансных кривых можно сделать еще следующие замечания. При стремлении ы к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному Яь', т. е. Ра7й, Это значение представляет собой смещение из поло-. жения равновесия, которое получает система под дей~ станем постоянной силы величины Га При стремлении м к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия. Наконец, отметим, что чем меньше 5, тем сильнее изменяется в частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «остреез получается максимум.
17~ 259 Из формулы (75.!2) вытекает, что при малом затухании (т. е. при р' « соо) амплитуда при резонансе приближенно равна 1о и ооэ = 2йсоо ° Разделим зто выражение на смещение хо из положения равновесия под действием постоянной силы Гсо равное, как мы выяснилн, 1„/сз~з. В результате получим: аз ос ео 2сс я хо 2Р 2РТ Х " [см. формулу (73.13)). Таким образом, добротность О показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы нз положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что н амплитуда вынуждающей силы (зто справедливо лишь при небольшом затухании). о Фl/ее Рис.
190. 1',ак видно из рис. 137, вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждакнцей силы, причем величина отставания са лежит в пределах от 0 до и. Зависимость ср от со при разных значениях [1 показана графически иа рпс. 190. Частоте соо соответствует ср = и!2. Резонансная частота меньше собственной [см. (75.11)). Следовательно. в момент резонанса ср <и/2. При слабом затухании 260 ырм = ыо, и значсяпе ~р прп резонансе .; ио считать равным л/2. С явлением резонанса приходится считаться при коп.
струировании машин и различного рода сооружений. Собственная частота колебаний зтпх устройств нн в коем случае не должна быть близка к частоте возможныт внешних воздействий. Так, например, собственная частота вибраций корпуса корабля плп крыльев самолета должна сильно отличаться от частоты колебаний, которые могут быть возбуждены вра~цснпсм гребного винта нли пропеллера. В противном случае возникают вибрации, которые могут вызвать катастрофу.
11звестны слу« чан, когда обрушивались мосты при прохождении по ним марширующих колонн солдат. Это происходило потому, что собственная частота колебаний моста оказывалась близкой к частоте, с которой шагала колонна. Вместе с тем явление резонанса часто оказывается весьма полезным, особенно в акустике, радиотехнике и т. д. $76.
Параметрический резонанс В рассмотренном в предыдушем параграфе случае приложенная извне вынуждаюшая сила обусловливала непосредственно смегценпе системы из положения равновесия. Оказывается, су. шествует иной вид воздействия извне, с помошью которого можно сильно раскачать систему. Этот вид воздействия заключается в совершаемом в такт с ко- / лебаппячп периодическом изменении ка.
кого-либо параметра систсяы, вследствии ( чего само явление называется парамет- / рнческпм резонансом. Возьмем для примера простейший маятник †шар на нитке. Если перно- г дпческп изменять длину маятника 1, увеличивая ее в моменты, когда маятник находится в крайних положениях, и уменьшая в моменты, когда маятник находится в среднем полон~енин (рис. 191), то маятник сильно раскачается.
гы Увеличение энергии маятника при этом происходит за счет работы, которую совершает сила, действующая на нить. Сила натяжения нити при колебаниях маятника непостоянна: она меньше в крайних положениях, когда скорость обращается в нуль, и больше в среднем положения, когда скорость маятника максимальна. Поэтому отрицательная работа внешней силы при удлинении маятника оказывается меньше по величине, чем положительная работа, совершаемая прн укорочении маятника.
В итоге работа внешней силы за период оказывается больше нуля. гллвл х волны ф 77. Распространение волн в упругой среде Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой илн газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью о.
Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Частицы среды, в которой распространяется волна. не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.
В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газо. образной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.
На рис. 192 показано движение частиц прн распространении в среде поперечной волны. Номерами 7, 2, 3 и т. д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном '/, оТ, т. е. на расстоянии, проходимом волноп за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый на схеме 263 за н7 !евон, волна, распространяясь вдоль осп слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица на« чала сь!ещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2.
'Спуская еще четверть периода первая частица будет проходйть положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая часмща достигает крайнего верхнего положения, а третья частица ! г Э а 5 — г l 8 1 — — — — — нг Рнс И!2. начинает смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный 7', первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь оТ, достигнет частицы 5. На рпс.
193 показано движение част!щ при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Как видно нз рис. 193, прп прохот!.дениц продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (сгущения частиц отмечены на рисунке пунктнроы), перемещающиеся в направлещщ расйрострапеиня волны со скоростью о. 2вт Все время, пока существует волна, частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия, причем, как видно из рис.
192 и 193, различные частицы колеблются со сдвигом по фазе. Частицы, отстоянгпе друг ог друга па расстоянии оТ')„колеблются в > г Л а р Х 4 > ' и — г у -- ',т г /; г г - — -иг Рпс. 193. одинаковой фазе (добавлеиие к фазе 2л не оказывает па нее никакого влияния). Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися одинаковым образом (в одинаковой азе, ф ) называется дл и ной в о л п ы Х (си. рис. 194, иа котором изображено смещение 5 частиц нз поло'кения равновесия, как функция рас- стояния я, отсчнтывае- Рис.
194. мого вдоль направления распространения волны). Длина волны, очевидно, равна тому расстоянию, иа которое распространяется волна за период: А = оТ. (77. 1) Заменяя в атом соотношении Т через 1/е [см (б29)' т — частота колеГ>аний], получим, что йч= и. (77.2) Последнее соотношение вюжно получить также пз сле- ') Имостсв в виду, >то отстоят пруг ог друга на от положе. впя раиновесия соотвстствуюгппх частиц.
дующих соображений. За одну секунду источник волн совершает т колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, как источник будет завершать т-е колебание, первый «гребень» успеет пройти путь и. Следовательно, е «гребней» и «впадин» волны долткньг уложиться на длине о. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х (как это изображено на рис. !92 и 193), а совокупность частиц, заключенных в некотором обьеме. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые н новые части пространства.
Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени г, называется фронтом волны (нлн волновым фронтом),фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в «оторой колебания еще не возникли., Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе,называется волновой поз е р хи остью. Волновую поверхность можно провести череа лгобую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинако.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
