saveliev1 (797913), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Длинам волн (85.!) соответствуют частоты = — = — а (в = 1, 2, 3, ...) л (о — фазовая скорость волны, определяемая силой натяжения струны и массой единицы длины, т. е. линейной плотностью струны). Частоты т„называются собственными частот а и и колебаний струны. Собственные частоты оказываются кратными частоте О У~ = у ~ которая нааывается основной частотой. Частоты, отве- Рис. 206. чающие и = 2, 3, ..., носят название обертонов (первый обертон соответствует и = 2, второй а = 3 и т.
д.). В общем случае колебания струны могут представлять собой наложение нескольких стоячих волн с различнымк собственными частотами. й 86. Эффект Допплера Пусть в упругой среде на некотором расстоянии от источника волн располагается воспринимающее колебания среды устройство, которое мы будем называть приемником. Когда источник н приемник волн неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний, воспринимаемых приемником, будет равна частоте та колебаний источника. Если же источник нли приемник либо оба они движутся относительно среды, то частота ч, воспринимаемая прнемни. ком, может оказаться отличной от чм Это явление называется эффектом Допплера.
Для простоты предположим, что приемник и источник движутся вдоль соединяющей нх прямой. Скороств источника о„„будем считать положительной, если источник движется по направлению к приемнику, и отри. цательной, если источник удаляется от приемника. Аналогично скорость приемника о,р будем считать положи. тельной, если приемник приближается к источнику, и 287 Рвс 207. (рис. 207). Следовательно, т» <гребней» и «впадин» вол пы уложатся на длине о — о„... так что длина волны будет равна »нет (86.
1) то аппо неподвижного приемника пройдут за секунду «гребни» и «впадины», укладывающиеся на длине о. Если приемник движется со скоростью о,р, то в конце секундного промежутка времени он будет воспринимать «впадину», которая в начале этого промежутка отстояла от его теперешнего положения на ш Таким образом, приемник воспримет за секунду колебания, отвечающие «гребням» и «впадинам», укладывающимся на длине и + о„р (рис.
208), и будет колебаться с частотой 6+ »<» т= —. А (86.2) Подставив в (36.2) выражение (86.1) для г,, получаем: я=то "" ° (86.3) отрицательной, если приемник удаляется от источника. Если источник неподвижен и колеблется с частотой т«, то к моменту, когда источник будет завершать то-е колебание, порожденный первым колебанием «гребень» волны успеет пройти в среде путь о (о — скорость рас. пространепия волны относительно среды).
Следовательно, порождаемые источником за секунду та «гребней» и «впадия» волны уложатся на длине ш Если же источник движется относительно среды со скоростью о»сп то в момент, когда источник будет завершать т»-е ьолеба) ние, «гребень», порожденный первым колебанием, будет находиться от источника на расстоянии о — и»«» Согласно формуле (86.3) прп таком движении прием ника и источника, что расстояние между ними сокра* щается, воспринимаемая приемником частота т оказывается больше частоты источника рть Если расстояние между источником н приемником растет, т будет меньше, чем то Когда направление движения источника и приемника не совпадает с направлением соединяющей ях прямой, р еееееаеед Рнс. 9ОВ. в формуле (86.3) под пв„и п„р следует понимать проек» ции скоростей источника и приемника па направление указанной прямой.
9 87. Звуковые волны Если упругие волны, распространяющиеся в воздухе, имеют частоту в пределах примерно от 20 до 20000 ец, то, достигнув человеческого уха, они вызывают ощущение звука. В соответствии с этим упругие волны в любой среде, имеющие частоту, лежащую в указанных пределах, называют звуковыми волнамн илн просто звуком. Упругие волны с частотой, меньшей 20 гц, называют инфра звуком; волны с частотамн, превышающими 20000 гц, называют ул ьт р а з в у к о м.
Инфра- и ультразвуки человеческое ухо не слышит. Звуковая волна в газах и жидкостях может быть только продольной и состоит из чередующихся сжатий и разрежений среды. В твердых телах могут распространяться как продольные, так и поперечные волны. Воспринимаемые звуки люди различают по высоте, тембру и громкости.
Каждой из этих субъективных оценок соответствует определенная физическая характеристика звуковой волны. Всякий реальный звук представляет собой не простое гармоническое колебание, а является наложением гармоническпх колебаний с определенным набором частот. 19 и. В. Савельев, е. ! Ы9 Набор частот колебаний, присутствующих в данном звуке, называется его акустическим спектром.
Если в звуке присутствуют колебания всех частот в некотором интервале от т' до т", то спектр называется сплошным. Если звук состои~ нз колебаний дискретных (т. е. отделенных друг от друга конечнымн интервалами) частот ть тм та и т. д., то спектр называется лннейчатым.
г!а рис. 209 показан сплошной (вверху) и лнпейчатый (внизу) спектр. По осн абсцисс отлонсена частота колебания т, по оси ординат — его интенсивность !. Сплошным акустическим спектром обладают шумы. Колебания с линейчатым спектром выг зывают ощущение звука с более нлн менее определенной высотой. Такой звук называется тональным. Высота тонального звука ъ~ " Рй « ( шей) частотой (см. частоту т, на Рас. 209. рис. 209). Относительная интенсивность обертонов (т. е. колебаний с частотами тм та и т. д.) определяет окраску, илн тембр, звука. Различный спектральный состав звуков, возбуждаемых разными музыкальными инструментами, позволяет отличить на слух, например, флейту от скрипки или рояли.
$88. Скорость звуковых волн в газах Упругая волна в газе представляет собой распространяющуюся в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разрежения газа. Следовательно, давление в каждой точке пространства испытывает периодически изменяющееся отклонение Лр от среднего значении р, совпадающего с давлением, которое существует в газе в отсутствие волн. Таким образом, мгновенное значение давления в некоторой точке просгран- ') К этому параграфу следует вернуться после того, как будут научены $102 н 103, й99 ства можно представить в виде р'= р+ Лр Пусть звуковая волна распространяется вдоль осих. Подобно тому, как мы поступили в 8 8! при нахожде« нпп скорости упругих волн в твердои среде, рассмотрим объем газа в виде цилиндра высоты Лх с площадью 4 4'44 основания 5 (рис. 2Ю).
Масса газа, заключенного в этом объеме, равна рЗЛх, ах ' где р — плотность невазму- 1 1 щенного волной газа. Ввиду малости Лх ускорение во всех точках цилиндра мож. но считать одинаковым и д28 равным —. дР ' 1 Для нахождения силы ), действующей па рассматриваемый объем газа, нужно взять произведение площади основания цилиндра 5 иа нас. ыо. разность давлений в сечении (х+ ~) и в сечении (х+Лх+ ~+ Л$). Повторив рассуждения, приведшие нас к формуле (81.5), получим: = — — 8Л. др' дх 1напомннм, что при выводе формулы (81.5) использовалось предположение: Л5 ~ Лх).
Йтак, мы нашли массу выделенного объема газа, его ускорение и действующую на него силу. Теперь напишем для этого объема газа уравнение второго закона Ньютона: (рЗ Лх) — ', = — — 3 Лх. д "й дл' После сокращения на Я Лх получим: д-з др' Р дР дх ' В полученном нами дифференциальном уравнении содержатся две неизвестные функции: $ и р'. Для того чтобы уравнение можно было решить, нужно выразить И* 291 одну из этих функций через другую.
Для этого найдем связь между давлением газа Р' и относительным изменением его объема —. Эта связь зависит от характера д$ дх процесса сжатгя (пли расширения) газа. В звуковой волне снсатня н разрежения газа следуют друг за другом так часто, что смежные участки среды не успевают обмениваться теплом, н процесс можно считать адиабатнческнм. Прн адиабатическом процессе связь между давлением и объемом данной массы газа дается уравнением (103.4).
Поэтому можно написать, что Р (5 Лх)т = Р' (5 (Лх + ЛИГ = Р' ~5 ~бх + — Ьх)~ = - Р'Р лх)т (1+ — «), где у — отношение теплоемкостн газа прн постоянном давлении к теплоемкости прн постоянном объеме. Со- кратив на (Збх)т, получим: Р( дх) (88.2) Из найденного нами соотношения легко получить выражение для Ьр: ЬР Р' — Р = — УР—. (88.3) Воспользовавшись тем, что по предположению д: дй )т — "- ~1, разложим выражение 11+ — 1 в ряд по стедх дх пеням — и пренебрежем членами высших порядков д$ дх малости. В результате мы придем к формуле: Р=Р (1+У ~.) ° Решим это уравнение относительно Р': '.
= (1- ЙГ)- 1+т —" дх 1 ') Мн восвольвовеллсь формулой — ~ 1-х, спреведли1+х вой еле х К 1. Поскольку у — величина порядка единицы, из (88.3) вытекает, что ~ — ~ = ~ — ~. Таким образом, условие дт Р— <(1 физически означает, что отклонение давления д$ ах от среднего значения много меньше самого давления. Это действительно так: для самых громких звуков амплитуда колебаний давления воздуха не превышает 1 мм рт, ст., в то время как атмосферное давление р имеет величину порядка 10з мм рт. ст. Проднфференцировав выражение (88.2) по х, найдем, что др' д~й УР дх дх' ' Наконец, подставив найденное значение — в формуар' дк лу (88.1), получим дифференциальное уравнение дЪ р д~5 дх' тр д~ (88.4) Сопоставление (88.4) с волновым уравнением (80.4) дает для скорости звуковых волн в газе следующее выражение: (88.6) Р (иапомннм, что р и р — давление и плотность невозмущенного волной газа).
На первый взгляд может показаться, что скорость звука в газе зависит от давления, Однако это не так, потому что изменение давления сопровождается изменением плотности газа. При обычных давлениях поведение газов хорошо описывается уравнением р1 = — йт (88.6) Р (~и — масса газа, заключенного в объеме г'; р — масса моля, численно равная молекулярному весу газа). Разделив массу газа гн на его объем Ъ; можно получить плотность р. Разрешив уравнение (88.6) относительно гн/К находим: р Р= = г ° у кг' Подставив это выражение для плотности в (88.8), полу- чим для скорости звука в газе следующую формулу: ~ тяг (88.7) Р Отсюда следует, что скорость звука в газе зависит ог температуры и от значений характеризующих газ вели- чин у и р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
