saveliev1 (797913), страница 41
Текст из файла (страница 41)
вой фазе). Волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейгиих случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна и этих случаях назынается плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне — систему концентрических сфер. $78. Уравнения плоской и сферической воли Уравнениелг волны называется выражение, которое дает смещение, колеблющейся точки, как функцию ее координат '), х, у, г и времени й $=з(х, у, г; 1).
(78.1) ') Вне~отея н виду координаты равновесного положения точки, Функция (78.!) должна быть периодической как относи. тельно времени Г, так п относительно координат х, у и х. Периодичность по ! следует из того, что в описывает колебания точки с коордннатамп х, р, ю Периодичность по координатам вытекает из того, что точки, нтстоящие друг от друга на расстоянии Х, колеблются одинаковым образом, Найдем внд функции $ в случае плоской волны, пред- полагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением распространения волны, Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смешение $ будет зависеть только от х и Г: ~=в(х, г).
Пусть колебания точек, лежа. ших в плоскости х=0 (рис. !95), имеют внд $(0, Г) = асовег Найдем внд колебания частиц Рис. !95. в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до втой плоскости, волне тре.
буется время к т=— Р где о — скорость распространения волны. Следователь- но, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на т от колебаний частиц в пло. скости х = О, т. е. будут иметь вид В(х, М)=а сове(! — т) =асане(! — — 1. к! $ = а сов е (! — — ) Величина 5 в (78.2) представляет собой смещение лю. бой из точек с координатой х в момент времени й При 267 Итак, уравнение плоской волны запишется следующим образом: (78. 2) выводе формулы (78.2) мы предполагали, что амплитуда колебаний во всех точках одна и та же.
В случае плоской волны это наблюдается, если энергия волны не поглощается средой. Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (78.2), положив: ы(1 — — )=сонэ(. (78.3) Выражение (78.3) дает связь между временем (1) и тем местом (х), в котором зафиксированное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив вы- Ф» тека!ошее пз него значение —, мы найдем скорость,с которой перемешается данное значение фазы.
Продифференцировав выражение (78.3), получим: !Й вЂ” — „!тх = О, ! откуда $= п созе~1+ — ). (78.5) Действительно, приравняв константе фазу волны (78.5) и продифференцпровав, получим; и» г9 откуда и следует, что волна (78.5) распространяется в сто ону убывания х. равнению плоской волны можно придать симметричный относительно 1 и х впд. Для этого введем так называемое волновое число /г: й Зк А ' (78.6) ш — =в (78.4) Таким образом, скорость распространения волны о в уравнении (78.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чезг ее называют ф а з о в о й с ! о р о с т ь ю. 11з (78.4) следует, что скорость волны (78.2) положительна. Следовательно, уравнение (78,2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространявшаяся в противоположном направлении, имеет впд Из (77.1) н (78.8) вытекает, что между волповык числом й, круговой частотой ы и фазовой скоростью волны и имеется соотношение (78.7) Заменив в уравнении (78.2) и его значением (78.7) и внеся в скобки ы, получим уравнение плоской волны в виде $ = п сов(е( — йх).
(78.8) Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, будет отличаться от (78.8) только знаком при члене йх. Теперь найдем уравнение сферической волны: Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значителыю превышающих его размеры, то источник можно считать точечным.
В случае, когда скорость распространения волны во всех направлениях одна н та же, порождаемая точечным источником волна будет сферической. Предположим,что фаза колебаний источника равна ый Тогда точки, лежащие на Волновой поверхности радиуса «, будут колебаться с фазой «в(« — «/о) (чтобы пройти путь «, волне требуется время т- «/в). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — оиа убывает с расстоянием от источника по закону 1/«(см. $ 82).
Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид (78.9) где а — постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Разм~ерность а равна размерности амплитуды, умноженной на размерность длины (размерность «). Напомним, что в силу сделанных вначале предположений уравнение (?8.9) справедливо только при «, значительно превышающих размеры источника. При стремлении «к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется пепрпменимостыо уравнения для малых «. й 79. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении В предыду<цех< параграфе мы получили уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси х.
Найдем уравнение плоской волны. распространяющейся в направлении, образующем с осями координат х, у, а углы а, (~ и у. Пусть колебания в плоскости, про- ходящей через начало коорди- У нат (рис. 196), нме<от вид $е = а соз <э1. (79.1) Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала координат на расстоянии 1. Колебания в этой ,т плоскости будут отставать от колебаний (79.1) иа время т = = 1<о; 5 = а соз <0 (1 — — ). (79.2) Выразим 1 через радиусРис <96.
вектор г точек рассматривае- мой поверхности. Для этого введем единичный век<ор и нормали к волновой поверхности. Легко видеть, что скалярное произведение п на радиус-вектор г любой из точек поверхности имеет одно н то же значение, равное 1: пг = г соз <р =1. (79.3) Подставим выражение (79.3) для 1 в уравнение (79.2), внеся одновременно в скобки ен $ = а соз (<эт — — '„' пг) . (79.4) Отношение <о/о равно волновом> числу й (см. (78.7Ц. Вектор й=йп, (79 6) равный по модулю волновому числу А = 2л/й и имеющий направление нормали к волновой< поверхности, называется волновым вектором.
Введя й в (79.4), полу. чнм: 5 (г, 1) = а соз (<01 — йг). (79.6) Функция (79.6) дает отклонение от положения рав. иовесия точки с радиусом-вектором г') в момент времени й Чтобы перейти от радиуса-вектора точки к ее координатам х, у, н, выразим скалярное произведение кг через проекции векторов на координатные осн Мг = й„х+ Агу+ й,ю Тогда уравнение плоской волны принимает вид ~(х, у, х; т) =асоз(со1 — й с — 'агу — й,а), (79.7) 2п 2п 2я где й„= — сова, Йг —— — сон 8„й, =. —,„сову. Функция (79.7) дает отклонение точки с координатами х, у, х в момент времени й В случае, когда и совпадает с осью х, А = й, й„й, = 0 и уравнение (79.7) переходит в уравнение (78.8).
Уравнение плоскон волны иногда пишут в виде а=пепе''"" "'>, (79.8) причем часто опускают знак Ке и пишут просто гь — аес ея — гг) (79.9) подразумевая, что берется только вещественная часть этого выражения. % 80. Волновое уравнение Оказывается, что уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, иазывае мого волновым. с1тобы установить вид волнового уран неиня, сопоставим вторые частные производные по коор~ дииатам и времени от функции (79.7), описывающей плоскую волну.
Продифференцировав (79.7) дважды по каждой из переменных, получим: — = — со а соз (со1 — кг) = — со-в, дга дгг (80. 1) — = — й„а соз (Ы вЂ” 'кг) = — й Д„ д2$ г г дх' д'2 г г — ', = — йна сов(со( — й~) = -М, —, = — й,а соз (со1 — йг) = — йД. д% г г ') См. сноску на стр. 266. (80.2) 271 Сложим вместе уравнения (80.2); д х+ д 2 ! д т Ьх+йа+К)ь й ь (803) дгй дзй дтй х а 2 Теперь, сопоставляя уравнения (808) и (80.8), находим, что д'$ , дхй д~$ )гх дт$ (80.4) — =йг дт) да — а Подстаиовкогй выражений (80.6) н (80.7) в уравнение (80.4) легко убедиться в том, что функция (80.8) удовлетворяет волновому уравнению, если положить .- и.
') Левая часть этого уравнення может быть заннсапа более компактно с помопгьго оператора Лапласа Ь. Оператором Лапласа обозпачагот снмволнческн совокупность веаствнйй которые лвгог Сумму вторых частных пропэволпых по х, у, х от фунггпгпг этих переменных: дх( гтх( дз( М= — + —. + —. дхх др' дхз Используя оператор Лапласа, уравпепне (Ю.4) можно записать в виде ! дгй Ьй - —— х дгя ьз ! Наконец, учитывая, что согласно (78.7) иолу гаем окончательна: Уравнение (80.4) и есть искомое волновое уравнение. Легко убедиться в том, чта волиовону уравнению удовлетвориет пе только функция (79.7), но и любая функция вида ~ (х, у„г; г) - г*(от( — Ф„к — Фау — /гхг). (80.5) Действительно, обозначая выражение, стоящее в скобках в правой части (80.5), через с, имеем: — — = ~'го — - оэ — = )мгах (80 6) д( д) дй , д ( Ц дй дт дй дт ' йз да Ю Аналогично Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (80.4), описывает некоторую волну, причем корень квад- д~~ ратный из величины, обратной коэффициенту прц —,, > дает фазовую скорость этой волны.
В зависимости от дополнительных условий, которые накладываются на рещение уравнения (80.4), получается та либо иная волна. 8 81. Скорость распространения упругих волн Пусть в направлении оси х раснространяется продольная плоская волна. Выделим в среде цилиндрический объем высотой Лх с плошадью основания 3 (рис. !9>). Сме~ценпя с частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различиымн (см. рис.
194, на котором изображено $ в функции от х). Если осно- х а" Ат ванне цилиндра с координатой х имее~ в некоторый момент времени смещение В, то смещение основания с координатой х + Лх будет с + Л$. Следовательно, рассматриваемый объем деформируется — он получает удлинение Л| (Ла — алгебраическая величина; ЛГ,(О соответствчет сжатию цн- лнндра) илн относительное 4 4л4 удлинение †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
