saveliev1 (797913), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В результате получим: и х хл — = — соз а — з!и а У 1 — —,. 6 и У ил' Последнее уравнение после несложных преобразований люжно привести к виду хл и' зла —.. + — — — '' соз а = э!пл а. ил ал ил (71 Л) Как известно из аналитичсскои геометрии, уравнение (71.4) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей х и д произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд а и Ь и разности фаз а. Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях.
1. Разность фаз а равна нулю. В этом случае уравнение (71.4) принимает вид откуда получается уравнение прямой 6 у= — х. и (7!.5) Колеблющаяся точка перемешается по этой прямой, при. чем расстояние ее от начала координат равно г= ф'х'+у'. Подставляя сюда выражения (71.1) для х 244 Из (71.6) следует, что результирующее движение является гармоническим колебаиием вдоль прямой (71.5) с частотой м и амплитудой, равной )/аэ+ Ь' (рнс. 176).
Рис. 177. Рис. 176. 2. Разность фаз а равна ~п. Уравнение (71.4) имеет внд откуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рнс. 177) Ь Д = — — Х. 3. При сс = ="и/2 уравнение (71.4) переходит в (71.7] т. е, в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд а и Ь эллипс вырождается в окружность. Случаи сс = +и/2 и а = — и/2 отличаются направле. нием движения по эллипсу или по окружности.
Если а = +и/2, уравнения (71.1) можно записать следующим образом: Х = а СОЭ С71, у = — Ь э!пмЕ. (71.8) и у и учитывая, что а = О, получим закон, по которому г изменяется со временем: г=)l а11 +ЬУ~созса!. (71.6) х = а соз»г1, у = Ь з1п ы(. (71.9) Отсюда можно заключить, что движение происходит против часовой стрелки. Из сказанного следует, что равномерное движение по окружности радиуса Й с угловой скоростью ы может быть представлено как сумма У двух взаимно перпендикулярных колебаний: х=)ссозЫ, (71. 10) у = ь Й з(п ы( (знак «+» в вырагкенни для у соответствует движению против часовой стрелки, знак « †» — движению по часовой стрелке).
Рис. 178. В заключение отметим, что в случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на очень малую величину Лы, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В самом деле, уравнения колебаний можно представить следующим образом: х=асозЫ, у = Ь соз (ег1 + (Лы1 + а)), и выражение Лвг1+ и рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону. Результирующее движение в этом случае происходит по медленно видоизменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от — и до +и. 246 В момент 1 = 0 тело находится в точке 1 (рис.
178). В последующие моменты времени координата х уменьшается, а координата у становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке. При а = — и/2 уравнения колебаний имеют впд й 72. Фигуры Лиссажу Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движешш имеет вид довольно сложных кривйх, называемых Рис. 179. Рис. 160. фигурами Лиссажу. На рис. 179 показана одна из про стейших траекторий, получающаяся при отношении ч,.
стот 1:2 и разности фаз и/2. Уравнения колебаний имеют впд х = а соз ь>1 р = й сов ~2ь>1+ — ), За то время, пока вдоль оси х точка успевает переместиться из одного крайнего поло>кения в другое, вдоль оси 1>, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться в нулевое Рис. 181. положение. При отношении частот 1: 2 и разности фаз, равной нулю, траектория вырождается в незамкнутую кривую (рис, 180), по которой точка движется туда и обратно.
Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем слои1нее оказывается фигура Лиссажу. На рис. 18! для примера показана кривая для отношения частот 3: 4 н разности фаз и!2. $73. Затухающие колебания (73З) где г — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак ч — » обусловлен тем, что ) и и имеют противоположные направления. Напишем для колеблющегося тела уравнение второго закона Ньютона: гпх = — йх — гх. Перепишем его следующим образом: х + 2(Ы + м„'х = О, (73.2) где применены обозначения: 23= —, в ы О ж' (73.3) (73.4) Заметим, что гээ представляет собой ту частоту, с которой совершалнсь бы свободные колебания системы При выводе уравнения гармонических колебаний мы считали, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы.
Во всякой реальной колебателыюй системе всегда имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии ие восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. Рассмотрим свободные (или собственные) затухающие колебания. Раз колебания свободные, значит, система, будучи выведена внешними силами из пологкення равновесия или получив за счет внешних снл первоначальный толчок, в дальнейшем предоставлена самой себе и находится под воздействием только квазиупругой силы и силы сопротивления среды.
Ограничимся рассмотрением малых колебаний. Тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости; 1,= — го= — гх, прн отсутствии сопротивления среды, т. е. при г = О. Эту частоту называют собственвой частотой коле- баний системы. В случае гармонического осциллятора размах коле- баний, определяемый амплитудой а, остается постоян- ным.
Наличие сопротивления среды приводит к тому, что размах колебаний уменьшается. Поэтому попробуем искать решение уравнения (73.2) в виде х = а (1) соз (вг + а), (73.5) где а(г) — некоторая функция времени. Продифференцнровав (73.5) по Г, найдем х и х: х=асоз(вг+а) — аез!п(вг+а), х = а соз (вг + а) — 2ав з(п (ег + а) — пер соз (ег + а). После подстановки этих выражений в уравнение (73.2) и несложных преобразований придем к следую- щему соотношению: ~й+ 4И+ (в~~- вр) п1 сов (в| + а) — 2в (а + Щ з(п (в(+ а) = О. Для того чтобы полученное нами уравнение удовлетво- рялось при любых значениях г, необходимо равенство нулю коэффициентов прн соз(грг + а) и з(п(вг+ а).
Таким образом, мы приходим к двум уравнениям: а+(кг =О, (!3.6) а + 2ра + (вэр — вт) а = О. (73.7) Уравнение (73.6) можно представить в виде ггп ггр — = — йа, откуда — = — Ог((. ггг и Интегрирование последнего уравнения дает ) и а = — рг + !пар, где через!пар обозначена постоянная интегрирования.
Наконец, произведя потенцирование найденного соотношения, получим для а(7) следующее выражение: а=аре аг. (73.8) Легко видеть, что а = — Оа и а = рта. Подстановка этих значений в уравнение (73.7) приводит к соотношению 6'и — 2()'п+(е„' — р) и =О, из которого после сокращения на отличный от нуля мно. житель а получается значение сс': сзе — м(2 рз о (73.9) При условии, что м~~)йс, величина сс будет вещественной, и решение дифференциального уравнения (73.2) может быть представлено в виде (73.5).
Таким образом, при не слишком большом затухании (прн 8 ( ссс) колебания описываются функцией х=а„е а~сов(м|+а). (73. 10) График втой функции дан на рис. 182. Пунктирнымн линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х. В соответствии с видом функции (73.10) сс 1 движение системы мо- О й жно рассматривать как гармоническое колебаиие частоты в с амплнтудой, изменяющей. ся по закону (73.8). Верхняя из пунктнрРис. 182. ных кривых на рис. 182 дает график функции а(1), причем величина ас представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение хс зависит, кроме ас, также от начальной фазы сс: хс = = ас.соз а (рис.
182). Скорость затухания колебаний определяется вели. чиной 8 = г/2гл, которую называют коэффициента и затухания. Найдем время т, за которое амплитуда уменьшается в е раз. По определеяию е ес = е-', откуда (Ы =!. Следовательно, козффициент затухания обратен по величине тому промежутку нремени„за который амплитуда уменьшается в е раз. Согласно формуле (73.9) период затухающих колебаний равен (73.11) При незначительном сопротивлении среды (р' « ыа2) период колебаний практически равен Та = 2л/ыа.
С ростом козффициента затухания период колебаний увеличивается. Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например, а', а", а"' и т. д. на рис. 182) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если а' = а~с а' то а" = а,е-а<'+т) = а'е-ат и'а = нае-И'+ат> = = аа-йт и т. д. Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно — = еаг. а (! + Г) Это отношение называют декрементом затуханияя, а его логарифм — лога риф мическ н и декрементом затухания: а ()) Х=1п „()+т) =РТ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
