saveliev1 (797913), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Следовательио, система, в которой действует квазиупругая сила, при смещении из положеиия равновесия иа расстояние х обладает потеициальиой энергией ') йлз Е =— г 2 (62.3) '1 Мы вынуждены отказатьсн от обозначении кинепшеской и потенциальной знергни, которыми пользовались н механике, В учении о колебаниях буквой Т принято обозначать период колебаний. Буквой 0 в молекулярной физике обозначают внутреннюю знергию тела. Позтому мы будем в дальнейшем обозначать кинетическую знергию символом Ез, а потенциальную — символом Ею (потеициальпую энергию в положении равновесия полагаем равной нулю). Выражение (62.3) совпадает с выражением (27.13) для потенциальной энергии деформированной пру>кипы.
Обратимся снова к системе, изображенной иа рис. 162. Сообщим шарику смещение х = а, после чего предоставим систему самой себе. Е, Под действием силы 1 = — йх шарик будет двигаться к попожеиию равиовесия со все возрастающей скоростью о =- х. При этом потенциальная энергия системы будет убывать (рис. 163), ио зато появится все возра-а р л стающая кинетическая энергия Еь = тхл/2 (массой пружины преРис. 1ба.
пебрегаем). Придя в положение равновесия, шарик продолжает двигаться по инерции. Это движсиие будет замедленным и прекратится тогда, когда кииетическая энергия полностью превратится в потеициальцую, т. е. когда смещение шарика станет равным — а. Затеи такой же процесс будет протекать при движеиии шарика в обрат- ном направлении. Если трение в системе отсутствует, энергия системы должна сохраняться и шарик будет двигаться в пределах от х = а до х = — а неограниченно долго. Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид Преобразуем это уравнение следующим образом: х+ — х=О.
(62.4) Коэффициент при х положителен. Поэтому его можно представить в виде ь «~2 о м~ (62.5) нием второго порядка. Легко убедиться подстановкой, что общее решение уравнения (62.2) имеет вид х = и соз (ыо) + а) '), (62.7) где а и а — произвольные постояпныс. Итак, смещение х изме- -а пяется со временем по закон косин са. Сле оват ь- д ел по, движение системы, находящейся под действием силы вида 1 = — Ах, представляет собой гармоническое колебание. График гармонического колебания, т. е. график функции (62.7), показан на рис. !64.
По горизонтальной оси отложено время Г, по вертикальной оси в смещение х. Поскольку косинус изменяется в пределах от — 1 до +1, значения х лежат в пределах от — а до +а. ') Иоо х = о Мп(ао1 + а'), где а' = а + Н)2. 15 и. в. Саоеоеев, т, 1 226 где <оо — вещественная величина.
Применяя в (62.4) обозначение (62.5), получим: х + ооох = О. (62.6) Таким образом, движение шарика под действием силы вида (62.2) описывается линейным однородным дифференпиальным уравне- Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Амплитуда а — постоянная положительная величина. Ее аначенне определяется величиной первоначального отклонения или толчка, которым система была выведена из положения равновесия. Величина (озе1 + сс), стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания. Постоянная сс представляет собой зяачение фазы в момент времени г = 0 и называется начальной ф'азой колебания. С изменением начала отсчета времени будет изменяться и а.
Следовательно, значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета времени. Так как значение х не изменяется при добавлении или вычитании из фазы целого числа 2п, всегда можно добиться того, чтобы начальная фаза была по модулю меньше я. Позтому обычно рассматривазотся только значения а, лежащие в пределах от — и до +и. Поскольку косинус †периодическ функция с периодом 2п, различные состояния ') системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени Т, за который фаза колебания получает приращение, равное 2п (рис. 163). Этот промежуток времени Т называется п е р и о д о и колебания. Он может быть определен из следующего условия: [озе (1 + Т) + сс) = [ыоГ + а[ + 2п, откуда 2Л Т = —.
юе ' (62.8) (62.9) За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 сек. Эту едяницу называют герцем (ги). Частота в 1Оз гс1 называется кило- герцем (кгц), в 1Ое гц — мегагерцем (Мгс1). ') Напомним, что состояние механической системЫ характериауется зиачеииими координат и скоростей теа, образующих систему. Число колебаний в единицу времени называется частотой колебания т. Очевидно, что частота т связана с продолжительностью одного колебания Т сле. дующим соотношением: Из (62.8) следует, что еч= т ° 2к (62.10) Таким образом, а0 дает число колебаний за 2п секунд. Величину ы0 называют круговой пли циклической частотой.
Она связана с обычной частотой т соотношением ыэ = 2пт. (62. 11) Продифференцировав (62.7) по времени, получим выражение для скорости и = х = — пав з)п (о~1 + а) = аа„соз (г001 + а+ — ). (62.12) 2у' Как видно нз (62.12), скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна аво. Из сравнения (62,7) и (62.!2) следует, что скорость опережает смещение по фазе на и/2.
Продиффере н ц и р о в а в (62.12) еще раз по времени, найдем выражение для ускорения -" ---г— ш = х = — авэ соз Йо 1+ а) = а маа --- --. —-- =аа~соз(а ~+а+и). (62.13) а Как следует из (62.13), ускорение и смещение на= ходятся в противофазе. Это и означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительно- 8 го значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.
На рис. 165 сопоставлены графики для смещения, скорости и ускорения. Каждое конкретное колебание характеризуется опре- деленными значениями амплитуды а и начальной фазы а. Значения этих величин для данного колебания могут быть определены из так называемых начальных усло- вий, т. е. по значениям отклонения хэ и скорости и0 227 Рис.
165 в начальный момент времени. Действительно, положив а (62.7) и (62.12) 1= О, получим два уравнения: хо = а соз а, оч = — аез з(п а, из которых находим, что — ~о а= ~/ х'+ —, о э (62.14) 1на= — —. иа ходко (62 16) Уравнение (62.РВ) удовлетворяется двумя значениями я, лежащими в интервале от — н до +и. Из этих значений нужно взять то, прн котором получаются правильные знаки у косинуса и синуса. ф 63. Энергия гармонического колебания Квазиупрутая сила является консервативной.
Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний, как мы выяснили выше, происходит превращение кинетической энергии в потенпиальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения из положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения Е„„,: йа~ Е Ервак з э (63.1) при прохождении же системы через положение равно- весия полная энергия состоит лишь нз кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наи- большего значения Еа м„.
~в вв 2 2 2 2 2 (63.2) (выше было показано, что амплитуда скорости равна аыэ). Легко видеть, что выражения (63.1) и (63.2) равны друг другу, так как согласно (62.5) лта,'= й. Выясним, как изменяется со временем кинетическая Еь и потенциальная Е энергия гармонического колеба- 228 пия. Кинетическая энергия равна [см.
выражение (62.!2) для х) яхт татсР о Еэ = — = — зш' (св,! + а). 2 2 (63.3) Потенциальная энергия выражается формулой Ер — — — — — — соз (ыс1+а), (63.4) Складывая (63.3) и (63.4), (62.5), получим: йа~ 1 ва а„1 Е= Ех+Е = — ~или — "/, 2 х 2 (63 6) что совпадает с (63.1) н (63.2). Таким образом, полная энергия гармонического колебания действительно оказывается постоянной. Используя известные формулы тригонометрии, выражениям для Ех и Ер можно при. дать вид Е„=- Е з ! пт (в<,1 + а) = 1 ! = Е [ 2 — 2 соз 2 (сссг + а)~, 63.6 с учетом соотношения ( ) Е„= Е созе (ссс! + а) = д 8 Г! = Е ~ — + — сов 2(ы 1+ а)~ Раа 166. (63.7) где Š— полная знергяя системы.
Из формул (63.6) и (63.7) видно„что Еа н Ер изменяготся с частотой 2ь„, т. е. с частотой, в 2 раза превыша1ощей частоту гармонического колебания. На рис. 166 сопоставлены графики для х, Ех и Е„. Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как известно, половине, Следовательно, среднее значение Ех совпадает со средним значением Ер и равно Е~2.
й 64. Гармонический осциллятор Систему, описываемую уравнением х+в~х=б, о (64. 1) где во — постоянная положительная,величина [см. 2 (626)), называют гармоническим осциллятор (или гармоническим вибратором). Как мы у>хе знаем, решение уравнения (64Л) имеет внд: х = а сов (в„Г + а). (64.2) Следовательно, гармонический осциллятор представляет собой систему, которая совершает гармонические колебания около положения равновесия. Все результаты, полученные в предыдущих параграфах для гармонического колебания, справедливы, разумеется, и для гармонического осцнллятора.
Рассмотрим дополнительно еще два вопроса. Найдем импульс гармонического осциллятора. Продифференцировав (64.2) по времени и умножив полученный результат на массу осциллятора ш, получим р = л>х = — таво з|п(во>+ а). (64.3) В каждом почожении, характеризуемом отклонением х, осциллятор имеет некоторое значение импульса р. Чтобы найти р как функцию л; нужно исключить время 1 из уравнений (64.2) и (64.3). Для этого представим указанные уравнения в виде — = сов(ь>аГ+ а), — = — ейп (в,1 + а).
тав, На рис. 167 изображен график, показывающий зависимость импульса р гармонического осциллятора от отклонения х. Координатную плоскость р, х принято называть фазовой плоскостью, а соответству>оц>пй Возведя этн выражения в квадрат и складывая, получим: (64 4) график — фазовой траекторией. В соответствии с (64.4) фазовая траектория гармонического осциллятора представляет собой эллипс с полуосями а н гаасоо. Каждая точка фазовой траектории изображает откло. пение х и импульс р, т. е. состояние осциллятора для некотооого момента времени. С течением времени точка, изображающая состояние (ее называют кратко изобразительной точкой), перемещается по фазовой траектории, совершая за период колебания полный обход. Легко убедиться в том, что перемещение изобразительной точки совершается по часовой стрелке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
