saveliev1 (797913), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Поскольку поверхность пропорциональна второй степени, а объем — третьей степени линейных размеров тела, при уменьшении размеров призмы объемная сила будет стремиться к нулю гораздо быстрее, чем поверхностные силы. Имея в виду, что в конечном итоге мы будем делать предечьный переход, стягивая выделенный объем в точку, объемной силой можно пренебречь в самом начале рассуждений. Тогда условие равновесия б= У аз ау Рис. 135.
будет заключаться в том, что сумма поверхностных сил должна быть равна нулю. В проекциях на указанные на рис. 133, б оси х, у и г условия равновесия запишутся следующим образом: Р~5~ — Рз5з з(п и Рс5з Рз5з соз а, Р454 — Рз5з. (31.3) Как видно из рис. 13б,б, между поверхностями граней призмы имеются соотношения: 5! 5з з!п Й, 52 5з соз о> с учетом которых формулы (б!.3) принимают вид Рз = Рз= Рзь Рз=рз (51.4) 1% 1Зз Вследствие предполагаемого предельного перехода, при котором выделенный объем стягивается в точку, давления рь ръ рз и т.
д. можно считать относящимися к одной и тои же точке жидкости. Поскольку ориентация призмы в пространстве и угол а были произвольны, из (61.4) вытекает, что величина давления не зависит от ориентации площадки, к которой оно относится, а зто и требовалось доказать. 11а первый взгляд может показаться удивительным, что пропорциональное векторной величине (снле) давление оказывается скалярной величиной. Однако следует иметь в виду, что площадка ЛЯ также молкст рассматриваться как вектор, имеющий направление нормали к ЛЗ, т. е. такое же направление, как и вектор силы, действующей на пло1цадку.
Следоватетьно, давление, по существу, равно оююшепию двух коллннеарных векторов б! и Ь$, а такая величина, как известно, представляет собой скаляр. Единицами давления являются: !) в СИ вЂ” и/лР; 2) в системе С1!С вЂ” дни/слР. Кроме того, для измерения давления часто пользуются следуюц!илш внеспстемнымп единицами: 1) технической атмосферой (обозначается ат), равной 1 кгс/см', 2) физической плп нормальной атмосферой (обозначается атм), равной давлению, оказываемому столбол~ ртути высотой 760 лыс В физике часто измеряют давление в миллиметрах ртутного столба. й(ежду различнымп единицами давления имеются следующие соотношения: 1 л~л~рт.ст.=0,001 м 13,6 1Оз кг/м'9,81 лс/сек' 133и/мт; 1 атм = 760 ° 133 =- 1,01 ° 10л и/лР .—.
1,033 ат; 1 ат = 9,81 ° 104 = 0,98! ° 10л и/лР = 0,068 атм. 6 52. Распределение давления в покоящихся жидкости и газе Если бы в жидкости (илп газе) не было объемных сил, то условием равновесия было бы постоянство давления во всем объеме (закон Паскаля). Действительно, выделим в жидкости небольшой произвольно ориенти- 196 рованный цилиндрический объем высотой Л1 и соснованием Л5 (рнс. 136). Если бы в точках, отстоящих друг от друга на Л1, давление отличалось на Лр. то вдоль оси цилиндра действовала бы сила ЛрЛ5, вследствие чего жидкость пришла бы в движение и равновесие было бы нарушено. Следовательно, при огсутствии объемных ЛРЛс - Р~ЛЗ ! Ркс. !37.
Ряс. !36. сил в состоянии равновесия в любом месте жидкости должно выполняться условие — = О, откуда следует, ЬР лг что р = сопз(. Рассмотрим распределение давления прн наличии объемных сил. Выделим в жидкости отвердевший объем в виде горизонтально расположенного цилиндра малого сечения ЛЯ (рис. 137). Поскольку объемная сила направлена по вертикали, вдоль оси цилиндра будут действовать только две силы: р!ЛЯ и ртЛЯ. Из условия равновесия следует, что р, = р;, значит„ во всех точках жидкости, лежащих на одном уровне (т. е.
в одной горизонтальной плоскости), давление имеет одинаковую величин Теперь выделим отвердевший цилиндрический объем жидкости таким обра- Рслг зонг, чтобы его ось была вертикальна 1рис. !38). В этом случае вдоль оси цн- нас !3к лнндра, кроме сил давления на основания, будет действовать также объемная сила рд1! ЛЗ (р — плотность жидкости, Ь вЂ” высота цилиндра) и условие равновесия имеет вид рею = р, Л3+рай Л3.
Сокращая на 63, имеем: Ра= Р~+Рйй (52.() Таким образом, давления на двух разных уровнях отличаются на величину, численно равную весу вертикального столба жидкости, заключенного между этими уровнями, с площадью сечения, равной единице. ф 53. Выталкивающая сила Следствием неодинаковости давлений на разных уровнях является наличие выталкивающей силы (силы Архимеда), действующей на тела, находящиеся в жидкости или газе. Чтобы найти величину и направление выталкивающей силы, заменим тело отвердевшим объемом мидасам им Рис. 139. Рас.
140. жидкости (газа). Г!оскольку этот объем будет находить. ся в равновесии, сила его веса должна уравновешиваться равнодействующей всех сил давления, действующих на его поверхность. Такие же поверхностные силы действуют и на само тело, и их равнодействующая дает выталкивающую сиду. Из сказанного следует, что выталкивающая сила равна веру жидкости в объеме тела и действует вверх по вертикали. Отвердевший объем остается в равновесии при любых его ориентациях (состояние безразличного равновесия). Следовательно, точка приложения выталкивающей силы совпадает с центром тяжести объема тела. Центр тяжести самого тела совпадает с центром тяжести объема лишь в том случае, если плотность тела во всех точках одинакова.
В противном случае они мо- 193 тут не совпадать. Для примера возьмем шар, сложенный из свинцовой и деревянной половинок (рис. !39). Вы. талкивающая сила будет приложена к центру шара, точка же приложения силы тяжести смещена в сторону свинцовой половины. Если средняя плотность тела меньше, чем плотность жидкости, то в состоянии равновесия тело будет погружено в жидкость только частично.
При этом сила тяжести (приложенная к центру тяжести тела) и выталкивающая сила (приложенная к центру тяжести погруженной в жидкость части объема тела) должны быть равны по величине и действовать вдоль одной и той же прямой (рис. 140), иначе они создадут вращательный момент и равновесие будет нарушено. ГЛАВА ИН ГИДРОДИНАМИКА $ 54.
Линии и трубки тока. Неразрывность струи Чтобы описать движение жидкости, можно задать траекторию и скорость в функции от времени для каждой частицы жидкости. Такой способ описания разрабатывался Лагранжем. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства и отмечать скорость, с которой проходят через каждую данную точк1 отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера.
Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени. Сов н вокупность векторов т, заданных для всех точек про. странства, образует так называемое поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в двигкуРис 141. щейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала по направлению с вектором и (рис.
141), Эти линии называются л и н и я м и т о к а. Условимся проводить линии тока так, чтобы густота их (которая характеризуется отношением числа линий АА1 к ееличине перпендикулярной к ним площадки гЪЯ, через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направле- 200 нии, но и о величине вектора ч в разных точках пространства: там, где скорость больше, линни тока будут гуще и, наоборот, где скорость меньше, лишш тока будут реже.
Поскольку величина и направление вектора ч в каждой точке могут меняться со временем, то и картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то течение называется установившимся, илн с т а ц и о н а р н ы м. Прн стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением ч.
Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тона. Вектор ч, будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным и к поверхности трубки тока; следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.
Возьмем перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока 5 (рис. !42). Предположим, что скорость движения частиц жидкости одинакова во всех сд! Рис. !43. Рис. !42. точках этого сечения. За время Л! через сечение 5 пройдут все частицы, расстояние которых от 5 в начальный момент не превышает значения пбй Следовательно, за время Л! через сечение 5 пройдет объем жидкости, равный 5пЫ, а за единицу времени через сечение 5 пройдет объем жидкости, равный 5о. Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжнмаема (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
