saveliev1 (797913), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ускорение Земли, равное еР1г<,р (со =- 2и(Т), обусловливается силой притяжения Земли к Солнцу. Следовательно, адамс Мзи Я0г = у— ~~ар откуда может быть вычислена масса Солнца. Подобным же образом были определены массы других небесных тел. 9 49. Законы Кеплера Основанием для установления закона всемирного тяготения Ньютону послужили три открытых Кеплером закона дан>кения планет: 1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. 2.
Радиус-вектор планеты описывает за равные времена одинаковые площади. 3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. Первый закон Кеплера указывает на то, что планеты движутся в поле центральйых сил. Действительно, как мы видели в $ 37, траектория тела в поле центральных снл представляет собой плоскую кривую в гиперболу, параболу нлн эллипс, — фокус которой совпадает с центром сил.
Принимая для простоты, что орбиты явлиются не эллнпсамн, а окружностями (это допустимо, так как практически орбиты всех планет мало отличаются от 188 окружностей), ускорение, с которым движется планета, можно написать в виде Ог га =-— 1 Г где и — скорость движения планеты, г — радиус орбиты. Заменим о через 2лггТ (Т вЂ” период обращения планеты вокруг Солнца): 4лсг Г2 На основании последнего выражения отношение сил, действу1ощих на планеты со стороны Солнца, запишется следующим образом: в 2 Гл~ы~ ЬйГ~Т2 ттыг т2Г2Т 2' Заменяя в соответствии с третьим законом Кеплера отношение квадратов периодов обращения отношением кубов радиусов орбит, получим; Г! 2 Рас.
132. Таким образом, нз третьего закона Кеплера следует, что сила, с которой планета притягивается к Солнцу, пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату ее расстояния до Солнца: 1 = й.—,. 'гг ' Предположив, что коэффициент пропорциональности й в свою очередь пропорционален массе Солнца Мс„ Ньютон пришел к уже знакомой нам формуле лсмс выражающей закон всемирного тяготения.
Второй закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса. Из рис. 132 видно, что описанная радиусом-вектором за время сй площадь сБ равна половине произведения основания треугольника 189 пЖ на высоту треугольника 1, которая совпадает с пле- чом импульса планеты гни по отношению каплицу: НЗ = — 1пМ = — ~И 1 Е 2 2т (й — момент импульса планеты, равный що1).
дя Выражение — называется секторнальной скоростью. а Таким образом, пз ь секториальная скорость = — = —. Ф 2т' Момент импульса в центральном поле сил остается постоянным, следовательно, и секториальная скорость планеты должна быть постоянной, Это означает, что за равные промежутки времени радиус-вектор будет описывать одинаковые плошади. 5 50. Космические скорости Для того чтобы двигаться вокруг Земли по круговой орбите с радиусом, мало отличающимся от радиуса Земли Яз, тело должно обладать вполне определенной скоростью оь величину юг которой можно определить нз условия равенства произведения массы тела на центростремительное ускорение силе тяжести, действующей на тело: 2 гл — = тд.
нз Отсюда о~ = )~ йХз- (50.1) Следовательно, для того чтобы какое-либо тело стало спутником Земли, ему необходимо сообщить скорость о„ р„, 1зз которая называется первой космической скоростью. Подстановка значений и и йз дает для первой космической скорости следующее значение: и,=)/йК=)/0,8 0,4 10з=8 10з м1сек=8 км/сек. 190 Обладая скоростью оь тело не упадет на Землю. Однако этой скорости не достаточно для того, чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжении, т. е.
удалиться от Земли на такое расстояние, что притяжение к Земле перестает играть существенную роль. Необходимая для этого скорость о, называется второй космической скоростью. Для того чтобы найти вторую космическую скорость, нужно вычис.пить работу, которую необходимо совершить против сил земного тяготения для удаления тела с поверхности Земля на бесконечность.
В 9 25 мы доказали, что работа в поле центральных сил не зависит от пути. Вычислим работу, совершаемую при перемещении тела вдоль прямой, проходящей через центр Земли (рис. 133). Элементарная работа на пути О» будет равна ШЗ13 дА 1д» У т» Работу на пути от» = )гз до» = оо находим интегрированием: тМЗ ма1з [ муз А = ~ ИА = ~ у —,,з г1»= — у — ~~ у — з. (50.2) »' г йз аз з ПолаГая силу тяжести равной силе притяжения к Земле, можно написать: линз, линз тп-у —,; отсюда у — =тдИз.
йз йз Таким образом, работа (50.2) может быть представлена в виде Л така. (50.3) Чтобы преодолеть притяжение Земли и выйти за пределы действия сил земного тяготения, тело должно обладать запасом энергии, достаточным для совершения работы (50.3). Минимальная необходимая для этого скорость и, и есть вторая космическая скорость. Она определяется условием ииз лгй'Йзе 191 откуда о, = )' 2а(гз. (50.4) Из сравнения (50.4) с (50.1) видно, что вторая космическая скорость в )/2 раз болыпе первой.
Умножая 8 км(сек на 1' 2, получаем для ое значение порядка 11 клг(сек. Впервые космические скорости были достигнуты в СССР. 4 октября !957 г. в Советском Союзе был осу. ществлен первый в истории человечества успешный запуск искусственного спутника Земли.
2 января 1959 г. был взят и второй рубеж. В этот день с советской земли отправилась в полет космическая ракета, которая вышла из сферы земного притяжения и стала первой искусственной планетой нашей солнечной системы. !2 апреля 1961 г. в Советском Союзе был осуществлен первый в мире полет человека в космическое пространство. Первый советский космонавт Юрий Алексеевич Гагарин совершил полет вокруг Земли и благополучно приземлился. ГЛАВА ЧП СТАТИКА ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ Разделы механики, занимающиеся изучением жидкостей и газов, называются гидромеханпкой и лэромеханикой. Они в свою очередь подразделяются на гидро- и аэростатику (изучающие равновесие жидкостей и газов) и гидро- н аэродинамику (изучающне движение жидкостей и газов).
В настоящей главе излагается статика. й 51. Давление Жидкие и газообразные тела характерны тем, что не оказывают сопротивления сдвигу и поэтому способны изменять свою форму под воздействием сколь угодно малых снл. Для изменения объема жидкости или газа требуются, напротив, конечные внешние силы. При изменениях объема, происходящих в результате внешних воздействий, в жидкости н газе возникают упругие силы, в конце концов, уравновешивающие действие вне!ниих сил.
Упругие свойства жидкостей и газов проявляются в том, что отдельные части их действуют друг на друга или на соприкаса!ощиеся с ними тела с силой, зависящей от степени сжатия жидкости илн газа. Это воздействие характеризуют величшюй, называемой давлением. Рассмотрим жидкость, находящу!ося в равновесии. Это означает, что отдельные ее части не перемещаются друг относительно друга илн относительно граничащих с ними тел.
Проведем в жидкости мысленно площадку ЬЗ (рис. 134), Соприкасающиеся по этой площадке части жидкости действу!от друг на друга с равными по величине противоположно направленными силами. Чтобы выяснить характер этих снл, уберем мысленно 13 Н. В. Савельев, т. ! 193 — — — — Если сила, с которой жидкость Рис. !34. действует на площадку ЛЯ, распределяется по ней неравномерно, выражение (51.1) определяет среднее давление.
Чтобы получить давление в данной точке, нужно устремить ЛЯ к нулю. Следовательно, давление в точке определяется выражением р = 1ип — = —. з! Ф ьз.+о дз (51.2) Давление в газе определяется аналогичным образом. Давление в скаляр, так как величина его в данной точке жидкости (или газа) не зависит от ориентации площадки ЬВ, к которой отнесено давление. Для доказательства этого утверждения воспользуемся так называемым принципом отвердевания, согласно которому любой объем жидкости можно, не нарушая условий равновесия, заменить твердым телом с плотностью, равной плотности жидкости.
Выделим мысленно в окрестности рассматриваемой точки отвердевший объем жидкости в виде трехгранной призмы, изображенной в перспективе на рис. 135, а и в двух проекциях на рис. 135, б. На каждую грань призмы будет действовать направленная по нормали к ней поверхностная сила, равная произведению соответствующего давления иа величину поверхности.
Кроме того, на !94 жидкость с одной стороны площадки и заменим действие удаленной жидкости силами такой величины и направ. ления, чтобы состояние равновесия остальных частей ие было нарушено. Эти силы должны быть нормальны к ЬЗ, так как в противном случае их тангеициальная составляющая привела бы частицы жидкости в движение и равновесие было бы нарушено. Следовательно, и равнодействующая Л) всех сил, с которыми жидкость действует на площадку ЛЗ, также направлена по нормали к этой площадке. Сила Л!', отнесенлз ная к единице поверхности площад— ю — — ки, называется давлением в жидко- лг 1 — — сти. Таким образом, давление р по определению равно р = —. (51.!) призму будет действовать объемная сила, равная весу призмы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
