saveliev1 (797913), страница 27
Текст из файла (страница 27)
!25. г! и г2 ()'! = ~д = !), действие которых равномерно распределено по всему сечению, то длина стержня ! получит положительное (при растяжении), либо отрицательное (при сжатии) приращение М (рнс. 125). При этом каждый' произвольно выбранный элемент стержня М получает приращение Ь(б)), пропорциональное его дли- Ь (Ь!) не, так что для всех элементов стержня отношение— И оказывается одним ч тем ке.
Естественно поэтому в ка- 174 честве величины, характеризующей деформацию стерж- ня, взять относительное изменение его длины: (45.!) Как следует из его определения, относительное удлинеине е является безразмерной величиной. В случае растяжения оно положительно, а в случае сжатия — отрицательно. Опыт дает, что для стержней из данного материала относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся иа единицу площади поперечного сечения стержня: з=а —. Я' (45.2) Коэффициент пропорциональности а называется коэ ффнцнентом упругости.
Он зависит только от свойств материала стержня. Величина, равная отношению силы к величине поверхности, на которую сила действует, называется н ап р я же н не м. Благодаря взаимодействию частей тела друг с другом напряжение передается во все точки тела — весь объем стержня оказывается в напряженном состоянии. Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным.
Если сила направлена по касательной к поверхности, на ко~ торую она действует, напряжение называется танген. ц и а л ь н ы м. Нормальное напряжение принято обозначать буквой о, тангенциальное — буквой г. Введя в рассмотрение нормальное напряжение о-— Я Ф (45.3) (45.4) Таким образом, относительное удлинение оказывается пропорциональным нормальному напряжению. Из (45.4) вытекает, что коэффициент упругости а численно равен относительному удлинению при напряжении, равном единице.
175 уравнение (45.1) можно записать следующим образомс ад а д ' Очевидно, что а и а' всегда имеют разные знаки: при растяжении Л1 положительно, а Лг( отрицательно, при сжатии Л1 отрицательно, а М положительно. Опыт дает, что а' пропорционально е: а' = — ре, (45.8) где р — положительный коэффициент„зависящий только от свойств материала. Его называют коэффициен. том поперечного сжатия нлн коэффициентом Пуассона. 176 (45.7) Наряду с коэффициентом упругости и для характеристики упругих свойств материала пользуются обрат. ной ему величиной Е = 1/а, которая называется модулем Юнга. Заменяя в (45.4) а через Е, получим: (45.5) откуда следует, что модуль Юнга равен такому нормаль« ному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице (т.
е. приращение длины Л1 было бы равно первоначальной длине 1), если бы столь большие упругие деформации были возможны (на самом деле, при значительно меньших напряжениях происходит разрыв стержня, еще раньше достигается предел упругости). С учетом (455) и (45.5) соотношение (45.3) может быть приведено к следующему виду." 1= — Л( =АЛ(, (45.6) где й — постоянный для данного стержня коэффициент, Согласно (45.6) удлинение стержня прн упругой де~ формации пропорционально действующей па стержень силе.
Соотношение (45.6) выражает закон Гука для данной деформации. Этот закон выполняется только до тех гор, пока не достигается предел упругости. Изменение длины стержня при деформации сопровождается соответствующим изменением поперечных размеров стержня с( (рис. 125). Это изменение принято характеризовать относительным поперечным расшире. пнем или сжатием: Сдвиг. Возьмем однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням силы $~ и уэ (/~ =)т /), направленные параллельно этим граням (рис.
126). Если действие сил будет равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани 5, то в любом сечении, параллельном этим граням, возникнет тангенциальпое напряжение У' (45.9) й у = =1КФ. Ь (4б.10) Величина у называется относительным с да и г о м. В силу малости угла Ф можно положить 1иФ = Ф.
Следовательно, относительный сдвиг у оказывается равным углу сдвига Ф. Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален таигенцнальному напряжению: 1 С (45.11) 12 и. в. савельев, к Под действием напряжений тело деформируется таким образом, что верхняя (иа рисунке) грань сместится относительно нижней на некоторое расстояние а. Если тело мысленно разбить на элементарные горизонтальные слои, то 7 каждый слой окажется / сдвинутым относитель- / но соседних с ним ело- э 1/ / ев.
По этой причине / деформапия такого ви- / да получила название /(э / сдвига. г При деформации сдвига любая праман, Ряс. 126. первоначально перпендикулярная к горизонтальным слоям, повернется на некоторый угол Ф. Следовательно, отношение сдвига Ьа двух произвольно взятых слоев к расстоянию меигду этими слоями 6Ь будет одинаково для любой пары слоев. Это отношение естественно взять в качестве характери. стики деформации сдвига: Коэффициент 6 зависит только от свойств материала и называется м о д у л е м с д в и г а. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига Оказался бы равным 45' (1д~у = 1), если бы при столь больших деформапиях не был превзойден предел упругости.
Кроме разобранных нами основных деформаций, рассмотрим кручение круглого стержни. Если круглый стержень закрепить одним концом неподвижно, а к другому концу приложить вращательный момент М, имеющий направление вдоль оси стержня (рис. !27), то стержень получит такую деформацию, при которой его нижнее основание повернется по отношению к верх- , Л нему на некоторый угол ф, Легко видеть, что деформация при Г кручении представляет собой деформам цию сдвига.
Действительно, если мысленно разбить стержень на элементарные слои, перпендикулярные к его оси, то закручивание приведет к сдвигу :в каждого из таких слоев по отношени1о к соседним с ним слоям. Правда, сдвиг Рис. 127. этот будет неоднороден: участок слоя оЯ получает по отношению к аналогичному участку смежного слоя тем большее смещение, чем дальше он отстоит от оси стержня. Произведя соответствующий расчет, можно показать, в согласии с опытом, что угол закручивания стержня определяется следующим выражением: (45. 12) где 7 — длина стержня, г — его радиус, б — модуль сдвига, М вЂ” вращательный момент. Обозначая постоянный для данною стержня множитель при М буквой й, соотношению (45.12) можно придать вид <р = йМ.
(45.15) Последнее соотношение выражает закон Гука при кручении, При постоянной длине стержня из данного мате- 178 А= ) )с(х, где буквой х обозначено абсолютное удлинение стержня, которое в процессе деформации изменяется от 0 до И. Сила 1, соответствующая удлинению х, согласно (45.6) равна 1 = йх = — х. Ео ! Следовательно, а! А=1! хс(х= ' — =(7'). Г ез ы а!т 2 о Умножая числитель и знаменатель полученного выражения на 1, заменяя затем отношение Ж/1 относительным удлинением е и учитывая, наконец, что 51 дает объем стержня )г, получим: Е'е' и==;У. 2 (45.14) ') См. (27.13) и соответствуюший текст.
а)' Приравняв найденную работу потенциальной энсрпш, мм аоложили энергию недеформированного тела равной нулю. 12» 179 риала коэффициент пропорциональности й !7чень сильно зависит от толщины стержня (как 1/га). Энергия упругой деформации. Упруго деформированное тело, например, растянутый или сжатый стержень, возвращаясь в недеформированное состояние, может, подобно сжатой илн растянутой пружине, совершить работу над внешш!ми телами, т. е.
обладает некоторым запасом'энергии '). Поскольку эта энергия обусловлена взаимным расположением элементов тела, она представляет собой потенциальную энергию. Запас энергии деформированного тела равен, очевидно, работе, которая совершается внешними силами при деформации. Вычислим энергию упруго растянутого (сжатого) стержня. При растяжении на стержень необходимо действовать силой, величина которой определяется выражением (45.б). Работа этой силы равна Введем в рассмотрение плотность энергии и, которую определим как отношение энергии Аб к тому объ. ему Ь$', в котором она заключена: Лп М~ ' Поскольку в нашем случае стержень однороден и деформация является равномерной, т. е.
одинаковой в разных точках стержня, энергия (45.14) распределена в стержне также равномерно с постоянной плотностью. Поэтому можно счнтатгн и Ез и = — = —. У 2 (45.15) (45.1б) Выражение (45.15) дает плотность энергии упругой деформации.при растяжении (илн при сжатии). Аналогичным образом можно получить„что плотность энергии упругой деформации при сдвиге равна отй и= —, а ' ГЛАВА У! ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ 5 46. Закон всемирного тяготения Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен Ньютоном и носит название закона все ми риегоо тягот е н и я.
Согласно этому закону сила, е котороб два тела притягивают друг друга, пропорциональна мпееам этик тел и обрптно пропорциональна квадрату расстояния между ними: т,ьн 1=У, ° где у — коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянно й. Направлена сила Рнс. 12З. Рвс. 120. вдоль прямон, проходящей через взаимодействующие тела (рис. 128).
Формула (46.1) дает численное значение равных по величине снл 1м н 1м. Тела, о которых идет речь в соотношении (46.1), представляют собой, очевидно, материальные точки. Для определения силы взаимодействия тел, которые не могут рассматриваться как материальные точки, их нуж. но разбить на элементарные массы Лт, т. е.
небольшие 1а1 объемы, каждый из которых можно было бы припять аа ьгатериальную точку (рис. 129). Согласно (46.1) 1-я элементарная масса тела 1 притягивается к й-й элементарной массе тела 2 с силой Лт, Жл„ ига=у ' ' г,„„, (46. 2) Наконец, просуммировав (46.3) по всем значениям индекса 1, т. е.
сложив силы, приложенные ко всем элементарным массам первого тела, получим силу, с которой тело 2 действует на те.по 1: Ла~ Лш„ 1ш = ~~ ~~~~у ' гм„. г а (46.4) Суммирование производится по всем значениям индексов 1 и А. Следовательно, если тело 1 разбить на Люсь а тело 2 — на 1та элементарных масс, то сумма (46.4) будет содержать У,йгт слагаемых. По третьему закону Ньютона тело 1 действует на тело 2 с силой $м, которая равна — 11а. Практически суммирование (46.4) сводится к интегрированиго и является, вообще говоря, очень сложной математической задачей. Если взаимодействующие тела представляют собой однородные шары'), то вычисление согласно (46.4) приводит к следующему результату: инга, $,т=у —,, г„„, (46.5) ') Достаточио, чтобы распределение масси в пределах каждого шара обладало центральной симметрией, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
