saveliev1 (797913), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

112. ~с(1 = л(~ где 7с — момент инерции тела относительно оси 00, а М =1! — момент силы 1 относительно той же оси. Решая это уравнение относительно 11, находим: (1=7 — = —. М !! (41. 14) с 1с Таким образом, все время Л1, пока действует сила, тело ведет себя так, что его центр инерции движется прямолинейно н направлении действия силы с постоянным ускорением (4! .13) и одновременно происходит вращение тела вокруг оси, проходящей через центр инерции, с постоянным угловым ускорением (41.14). К концу промежутка времени Л! скорость центра инерции достигает значения 1И тс «'сЛ(= щ в 11 и, в, сссссмв, с. 1 161 а угловая скорость станет равной ми 11 а! г» = (3 М ~с ~с Найденные нами значения чс и ы определяют движение тела после того, как прекратится действие силы.

Отметим, что полученный результат справедлив только в том случае, если за время действия силы тело повернется на небольшой угол, так что плечо силы ! в течение всего промежутка времени бГ можно с достаточной степенью точности считать постоянным. Легко видеть, что скорость точки О', лежащей от центра инерции С на расстоянии х, определяемом уело. вием гах=ос, т.

е. бх=юс, (41.15) будет равна нулю (рис. 1!2). Следовательно, ось, проходящая через точку О', является мгновенной осью вращения. Подставив в (41.!5) найденные нами выражения для и~с и р, найдем, что ~с, х= — ' ° ан В результате действия силы тело приобретает нинетическую энергию .4 !се т l(ИЧ Гс П1Л!у Гс+ аР Зависимость Т от ! объясняется тем, что путь, про ходимый точкой приложения силы за время М, растет с увеличением 1, а следовательно, растет и работа, совершаемая силой над телом.

ф 42. Свободные оси. Главные оси инерции Если какое-либо тело привести во вращение вокруг произвольной оси и затем предоставить самому себе, то полоясение оси вращения в пространстве, вообще говоря, изменяется: ось либо поворачивается, либо перемещается относительно инерциальной системы отсчета. Для того чтобы произвольно взятую ось вращения тела удерживать в неизменном положении, к ней необходимо приложить определенные силы. !62 Например, если тело имеет такую форму, как на рис. 113, и врагцается вокруг оси 00 с угловой скоростью ы, то, чтобы удерживать ось вращения неподвижной, необходимо приложить к ней силы, обеспечивающие вращательный момент М = тоРН. В самом деле, чтобы осуществить движение масс т по окружностям г ( радиуса г, к ним должны быть приложены силы 1', и $', каждая 2 из которых равна пиа г.

Этн силы образу1от пару с моментом М = =тыаг1. Если не создать этого Л момента, поместив, например, ось в подшипники, которые действуют на ось с соответствующими силами 11 н 1а'), то ось враще- П ния будет поворачиваться в на- Рпс. ! 13. правлении, указанном стрелкой. Если стержень, связывающий массы т, псрпендику. лярен к оси вращения 00 и массы находятся на раз- личных расстояниях г1 и г, от аг оси (рис.

114), то для предотвра- щения перемещения осн в про. — гю странстве подшипники должны действовать на ось с одинаково направленными силами 1~ и 1а, сумма модулечй которых равна разности модулей центростремительных сил 1; и ге.. в-ъ4 1 1 +1, = тоР(г, — г,) (при равенстве отрезков а и Ь силы 1, и га будут одинаковы по р величине; в противном случае должно выполняться условие: ага = Ьь). Ось вращения, положение которой в пространстве сохраняется без действия на нее каких-либо сил извне, называется свободной осью тела. В случае, '1, Направления атнх снл будут изменяться с поворотом тела вокруг осп.

11а !63 изображенном на рис. 114, прн г1 = гт ось 00 будет, очевидно, свободной осью. Можно доказать, что для любого тела сушествуют три взаимно-перпендикулярные, проходящие через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями; оии называются главными осями ннерц и и тела. У однородного параллелепипеда (рис. 115) главными осями инерции будут, очевидно, оси 010ь О,От и ОаОа, проходящие через центры проти- лр волежащих граней.

) У тела, обладающего осевой симметрией (например, у одно- а, Рнс. ! Нь Рис. 115. родного') цилиндра), одной из главных осей инерции является ось симметрии, в качестве двух других осей могут слумсить две любые взаимно-перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оги симметрии и проходящие через центр инерции тела (рис. 116).

Таким образом, у тела с осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей инерции. У тела с центральной симметрией, т. е. у шара, плотность которого зависит только от расстояния от центра, главными осями инерции являются три любые взаимно- перпендикулярные оси, проходящие через центр инерции. Следовательно, ни одна нз главных осей инерции не фиксирована. Моменты инерции тела относительно главных осей в общем случае различны: (~ чь !тФ1а. Лля тела с осевой симметрией два момента инерции имеют одинаковую ') Достаточно, чтобы плотность тела была в каждом сечении функцией только расстоянии от оси симметрии. величину, третий же, вообще говоря, отличен от них: 11 = /э чь 1а.

И, наконец, в случае тела с центральной симметрией все три молтента будут одинаковы: 1, = =та=та. Если тело вращается в условиях, когда какое-либо воздействие извне отсутствует, то устойчивым оказывается только вращение вокруг главных осей„соответствующих максимальному и минимальному значениям момента инерции. Вращение же вокруг оси, соответствующей промежуточному по величине моменту, будет ! ат рс.

Пд неустойчивым. Это означает, что силы, возникающие прп малейшем отклонении оси вращения от этой главной оси, действуют в таком направлении„что величина этого отклонения возрастает. При отклонении вращения от устойчивой оси под действием возникающих при этом сил тело возвращается к вращению вокруг соответ ° ствующей главной оси. В сказанном можно убедиться, попытавшись подбросить какое-либо тело, имеющее форму параллелепипеда (например, коробок спичек), приведя его одновременно во вращение ').

При этом обнаружится, что тело, падая, может вращаться устойчиво вокруг осей, проходящих через наибольшие или наименьшие грани. Попытки же подбросить тело так, чтобы оно вращалось вокруг оси, проходящей через средние грани, будут безуспешными. ') Воздействие силы тяжести в этом случая нс является существснным. Оио лищь обусловливает происходящее наряду с вращснасм иадснис тела. 165 При наличии внешнего воздействия, например, со стороны нити, за которую подвешено вращающееся те* ло, устойчивым оказывается только вращение вокруг ~лавной оси, соответствующей наибольшему значению момента инерции. По этой причине тонкий стержень, под.

сешенный на нити, прикрепленной к его концу, при быстром вращении будет в конечном итоге вращаться вокруг перпендикулярной к нему оси, проходящей через центр (рнс. !17,а). Аналогичным образом ведет себя диск, подвешенный на прикрепленной к его краю нити (рис. 117,б). ф 43. Момент импульса твердого тела 11айденное вами в $ 38 выражение для момента импульса твердого тела 1., = (,ю (43.1) справедливо только в том случае, когда тело вращается вокруг неподвижной осп, т. е.

вокруг оси, удергкиваемой в пространстве подшипниками, или вокруг свободной У оси. В иных случаях связь зтог между Е и ы значительно усложняется, в частности, вектор момента импульса 1. не совпадает по направлению с вектором угловой скорости ат. 11аправим оси координат' ) по главным осям инерции тел' ла. Пусть вектор от не совпа- Д' дает ни с одной из этих осей Рас.

1!З. (рис. 118). Тогда все его со- ставляющие по осям — ы„юа, от,— будут, вообще говоря, отличны от нуля. Произведение У,га, дает согласно (43.1) составляющую вектора 1. по оси г. Аналогично (,то„дает составляющую 1.„, а (аы„— составляющую ).а. Если моменты инерции отиосйтсльно главных осей 7„, та, 7, не равны между со. бой, то результирующий вектор 1. = 1 + 1.„+ 1.„как видно из рис.

118, не совпадает по направлению с век- ') Имеются а аиду оси, жестко связанные с телом н вращающиеся аместе с ннм. тором в. Только при условии, что ез направлена по одной нз главных осей, скажем по оси г, составляющие е по остальным осям (т. е. ел и в„) будут равны нулю, в результате и составляющие !.м и Ев будут нулями, и мы придем к формуле (43.!). Таким образом, если в качестве координатных осей выбрать главные оси инерции тела, то связь между векторами е и !. имеет вид: Е = 1лв„+1„ев+ 1,е,. (43.2) Вспомнив, что е„= ел! н т. д., последнему выражению можно придать вид: !. = (1мел) з+(1вев)1+(1зез)(с~ откуда следует, что связь между проекциями на коор.

динатные оси векторов Е и в дается соотношениями: 1„= 1,в, 1.„= 1вев, Е, = 1,е,. (43.3) Еще сложнее оказывается эта связь, когда координатные оси не совпадают с главными осями инерции тела. В этом случае соотношения между проекциями Е и е выглядят следующим образом: Е„= 1,,ел+1 вел+1,,е„ Е, = 1в.оз„+ 1„„е„+ 1„,с;, 1., =1 ел+ 1евед+1„е,. (43.4) ') Тензор называется снмметрнчным, если есо компоненты уховлесворяют условню 1е = 1гр 1а7 Девять величин 1в (1, й = х, у, г) образуют так нааываемый симметричный ') тензор второго ранга, называемый т е н з о р о м и н е р ц и и. Компоненты тензора 1в зависят от выбора координатных осей.

Характеристики

Список файлов книги