saveliev1 (797913), страница 28
Текст из файла (страница 28)
е. чтобы плотиасть била функцией только расстоаииа от центра шара. 182 где голеи — единичный вектор, имеющий направление от Ьт; к йлга, а гш — расстояние между этими элементарными а~ассами. Просуммировав (46.2) по всем значениям й, получим результирующую всех сил, действующих со стороны тела 2 на принадлежащую телу 1 элементарную массу Ьлн: Лш Лаг„ Ыгт= т,у ' "гп„,.
где гл~ и тз — массы шаров, г — расстояние между их центрами, гмщ — единичный вектор, имеющий направление от центра первого шара к центру второго. Таким образом, шары взаимодействуют, как материальные точки, имеющие массы, равные массам шаров, и помещенные в их центрах. Если одно.из тел представляет собой шар очень большого радиуса !! (например, земной шар), а второе тело, не будучи шаром, имеет размеры, гораздо меньшие Я, н находится вблизи поверхнОсти шара, то их взаимодействие описывается формулой (46.5), где вместо г нужно взять радиус шара (расстоянием от второго тела до поверхности шара, а также размерами второго тела можно пренебречь по сравнению с )г).
С коэффициентом пропорциональности у в уравнении (46.1) нецелесообразно поступать так, как мы поступили с коэффициентом пропорциональности в уравнении второго закона Ньютона (т. е. делать его равным единице за счет выбора единицы измерения силы), поскольку в этом случае пришлось бы при рассмотрении различных физических явлений пользоваться разными единицами измерения одной и той же величины — силы. Если же пользоваться для измерения величин, входящих в (46.1), ранее установленными единицами, то гравитационная постоянная у оказывается размерной величиной, численное значение которой должно быть установлено опытным путем. Размерность у в соответствии с (46.!) равна — 'гг Ы= —,= = — Ь,!1 т-.
И 1г2! Г* д' з -~ э [щи! М2,м Гг с1ислепное значение у было определено путем измерения силы, с которой притягиваются друг к другу тела известной массы. При таких измерениях возникают боль» шне трудности, так как для тел, массы которых могут быть непосредственно измерены, сила притяжения оказывается крайне малой. Так, например, два тела с массой 100'кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силой порядка 1О-' и, т. е. порядка 10-~ Г. Первой успешной попыткой определения у были измерения, осуществленные Кавендшпем (1798 г.) который применил для измерения сил весьма чувствительный 183 метод крутильных весов (рис.
130). Два свинцовых шара т (с массой 720 г каждый), прикрепленных к концам легкого коромысла, помешались вблизи симметрично расположенных шаров М (с массой по 158 кг). Коромысло подвешивалось на упругой нити, по закручиванию которой можно было измерять силу притяжения шаров друг к другу. Верхний когглгнаге т илге нец нити был закреплен в установочной головке, поворотом которой можно было менять расстояние между шарами т и М. Наиболее точным нз определен- .О пых разными способами считается значение 'у=6,670 10 " мх?кг сек'. О /Флеминг, м Если в (46.5) подставить т„ м т, и г, равные единице, то сиРяс. !зо.
ла оказывается численно рав- ной у. Таким образом, два шара с массой 1 кг каждый, центры которых отстоят друг от друга на 1 м, притягиваются взаимно с силой, равной 6,6?0.10 " и. ф 47. Зависимость ускорения силы тяжести от широты местности При изучении движения тел относительно земной поверхности нужно иметь в виду, что система отсчета, связанная с Землей, не инерцнвльна. Ускорение, соответствующее движению по орбите, гораздо меныпе, чем ускорение, связанное с суточным вращением Земли. Поэтому с достаточной точностью можно считать, что система отсчета, связанная с Землей, вращается относительно инерциальных систем с постоянной угловой скоростью а.
Следовательно, рассматривая движение тел относительно Земли, нужно вводить центробежн)чо силу инерции = тгг г, где т — масса тела, г — расстояние тела от земной осп (рис. !31). Ограничиваясь случаями, когда высота тел над по- верхностью Земли невелика, можно положить г равным !гз соз р ()?з — радиус Зея|ли, ~р — широта местности). Тогда выражение для центробежной силы инерции примет вид («„— — т«о»«сз соз «р. (47.1) Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения тел н будет обусловлено действием двух !»ов »ар Рис.
!3!. сил: $», с которой тело притягивается Землей, и адьо Результирующая этих двух сил Р =г»+ $«„ есть сила тяжести (см. $ 18). Поскольку сила Р сообшает телу с массой и ускорение и, справедливо следующее соотношение: Р=тд. (47.2) Отличие силы тяжести Р от силы притяжения к Земле $» невелико, так как центробежная сила инерции значительно меныпе, чем г . Так, для массы в ! кг выражение и««»%з приблизительно равно 0,035 и («о равна 2п, деленным на 86400 сек„««з составляет примерно 6400 к»«), в то время как 7» равна приблизительно 0,8 и, т. е. почти в 300 раз больше, чем максимальное значение центробежной силы инерции (наблюдающееся на экваторе).
Угол а между направлениями 1» и Р можно оценить, воспользовавшись теоремой синусов: ««и а / „тм««!з со» а 0„039 мо«р Р та = — соз «р = 0,0035 соз «р, 9.а откуда з!п а = 0,0035 з! и «р соз «р = 0,0018 з(п 2«р. 1зо Синус малого угла можно приближенно заменить значением самого угла а = 0,00! 8 ып 24х (47.3) Таким образом, в зависимости от широты ~р угол а колеблется в пределах от нуля (на экваторе, где гр = О, и на полюсах, где а = 90') до 0,0018 рад или 6' (на широте 45'). Направление Р совпадает с направлением нити, на. тянутой ~рузом, которое называется направлением отвеса.
Сила 1» направлен4 к пептру Земли. Следовательно, нить отвеса направлена к центру Земли только па полюсах и на экваторе, отклоняясь на промежуточных широтах на угол, определяемый выражением (47.3). Разность /х — Р равна нута на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы /„, на экваторе. Из-за сплюснутостн земного шара у полюсов сила / сама по себе нссколько варьирует с широтой, будучи па экваторе примерно на 0,2% меньше, чем у полюсов. В итоге ускорение свободного падения и меняется с широтой в пределах от 9,780 м/сека на экваторе до 9,832 м/сел' иа полюсах. Значение и = 9,80665 м/сея' принято в качестве нормального (стандартного) значения. Заметим, что относительно инерциальпой, например, гелиоцентрической системы отсчета свободно падающее тело будет двигаться с ускорением не д, а тч, направленным так же, как 1х, и равным по величине /х/т. Легко видеть (см.
рис. 131), что из равенства для разных тел ускорения я' вытекает и равенство ускорений ш. Действительно, треугольники, построенные на векторах 1х и Р для разных тел, подобны (углы а и ~р для всех тел, находяшихся в данной точке земной поверхности, будут одинаковыми). Следовательно,.
отношение /х/Р, которое совпадает с отношением в/П, для всех тел одно и то же, откуда вытекает, что при одинаковых и получаются одинаковыми и ш. 5 48. Масса инертная и масса гравитационная Масса фигурирует в двух различных законах: во втором законе Ньютона и в законе всемирного тяготения. В первом случае она характеризует инертные свойства тела, во втором — гравитационные свойства, т.
е. способ. ность тел притягивать друг друга. В связи с этим возникает вопрос, не следует ли различать инертную массу иц„и массу гравитационную (или тяготеющую) гию Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Рассмотрим в гелиоцентрической системе отсчета свободное падение тел.
Всякое тело вблизи поверхности Земли испытывает силу притяжения к Земле, которая согласно (46.5) равна ыгМз 2 нз (тг — гравитационная масса данного тела, Л(з — гра. внтационная масса Земли, гсз — радиус земного шара). Под действием этой силы тело приобретает ускорение иг (но не д; см. предыдущий параграф), которое должно быть равно силе г, деленной на инертную массу тела ин„: (46.1) — — У итп нз '"ы 2 Опыт показывает, что ускорение ю для всех тел одн.
иакова (из одинаковости д вытекает, как мы видели м, ранее, одинаковость ю). Множитель у — также оди. нгз иаков для всех тел. Следовательно, н отношение те/т;„ оказывается для всех тел одним и тем же. К такому же результату приводят и все другие опыты, в которых могло бы проявиться различие между инертной и гравитационной массами. Вся совокупность опытных фактов указывает на то, что инертния и гравитационная массы всех тел строго пропорциональны друг другу. Это означает, что при надлежащем выборе единиц измерения гравитационная и инертная массы становятся токсдественными, поэтому в физике говорят просто о массе.
Тождественность гравитационной и инертной масс положена Эйнпггейном в основу общей теории относительности. Отметим, что с самого начала массу в (46З) мы полагали совпадающей с инертной массой тел, вследствие чего численное значение у нами было определено 187 в предположении; что ей = и;„. Поэтому (48.1) можно. записать в виде ш=у— ~з (48.2) кзз Последнее соотношение позволяет определить массу Земли Мз. Подстановка в него измеренных значений та, )гз и у дает для массы Земли значение 5,98 10м кг. Далее, зная радиус земной орбиты 1(,„и время полного обращения Земли вокруг Солнца Т, можно найти массу Солнца Мс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
