saveliev1 (797913), страница 23
Текст из файла (страница 23)
106. Рис. 105. стержня 1 (Ь (( 1). Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. !04), равен 1= — т1 . 1 12 2. Для диска или цилиндра при любом отнбшении 11 к 1 (рис. 105) момент инерции относительно оси, ю 147 совпадающей с геометрической осью цилиндра, равен Т= 1 л1щ 2 3. Тело — тонкий диск. Толщина диска Ь во много раз меньше радиуса диска 1((Ь « Й). Момент инерции относительно осн, совпадающей с диаметром диска (рис. (06), равен Т= — тЖ 1 4 4. Момент инерции шара радиуса )с относительно оси, проходящей через его центр, равен Х= — т)с-.
2 э 5 5 40. Кинетическая энергия твердого тела Вращение тела вокруг неподвижной оси. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси, которую мы назо. вем осью . Линейная скорость элементарной массы Ьн11 может быть представлена в виде о,= ((,О, где Я~ — расстояние Лт» от оси г.
Следовательно, кинетическая энергия 1-й элементарной массы равна ал~Рм 1 -э 2 бТ вЂ” = —, Ьт й)ы . 2 2 Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий его частей: Т= ~ ЙТ1 —— — в2 у Лтгйс ° 2 4 Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела l, относительно осн вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна (40. () Полученное выражение аналогично выражению для кинетической энергии тела, движущегося поступательно, 14З мы Т= —.
При вращательном движении роль массы 2 играет момент инерции, а роль линейной скорости-- угловая скорость. Работа внешних сил при вращении твердого тела,. Найдем работу, которую совершают вяешние силы при вращении тела вокруг неподвижной оси г. Обозначим внешнюю силу, приложенную к элементарной массе Кои, через 1ь За время гУ 1-я элементарная масса проходит путь (рис. 107) м„ дз;=)г;йр, где Ич — угол, на которой повора- ь чнвается тело за время й. ~Фа Работа силы 1; на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которую юр Фи можно обозначить символом 1м ;(т — единичный вектор касательной к окружности, по которой движется 1-я элементарная масса; направление этого вектора совпадает с направлением перемещения в данный момент). Таким образом, 6А,=1„сЬ; =),Ф, гйг.
1-1о 1,;)г; равно модулю момента силы 1~ относительно осн г, т. е. ~М„.~, взятому со знаком «+», если 1„ положительна, и со знаком « †», если ~,» отрицательна гсм. формулу (36.10); в этой формуле 1« — не проекция, а модуль силы Ц. Следовательно, (А,-*! М„~ йр. (40.2) Элементарный угол поворота можно рассматривать как аксиальный вектор Игр-ы|И. Легко сообразить, что работа д4г будет положительна, когда вектор Ми имеет такое же направление, как и Йр, и отрицательна, если направления векторов Мн и йр противоположны.
Поэтому формуле (40.2) можно придать вид: ~1А=М с'('Р Работа всех сил, приложенных к телу, равна сумме работ, совершаемых отдельными силами: с(А= У,' с)Ас = ~~~~ М сс(ср =(~~Р Мзс)с(ср. Сумма, стоящая в скобках, дает результирующий мо" мент М, всех приложенных к телу внешних сил относительно оси вращения.
Следовательно, с)А = М, с)ср т), (40.3) (40.4) где под М подразумевается проекция результирующего момента приложенных к телу внешних сил на направление вектора вт. Работа за конечный промежуток времени находится путем интегрирования выражения (40.4): в с А=~ с)А=~ М с)ср=~ М„отЛ. (40.5) Это выражение аналогично выражению для работы при поступательном движении: ссА = Ыз. Из сопоставления следует, что в случае вращения роль силы играет момент силы, а роль линейного перемещения с)з = усс(= угловое перемещение ссср = се асс. Практически для вычисления работы пользуются выражением с(А = М,„йр= М„ю с)(, Если проекция результирующего момента сил на направление оз остается постоянной, ее можно вынести за знак интеграла: А=М„~ псср=М„ф (40,0) а (ср — угол, на который поворачивается тело за время с). ') Повторив рассуждения длн приложенных к элементарным У массам внутренних сил )с, мы пришли бы к формуле ссл= М сгср, т где М вЂ” результнрусощий момент всех внутренних сил.
Этот момесп, как мы знаем, равен пулю (см. последний абзац $36). Следовательно, суммарная работа внутренних сил прн вращении тела равна нулю. Кинетическая энергия тела при плоском движении. Плоское движение тела, как мы видели в $34, может быть представлено как наложение двух движений — поступательного с некоторой скоростью че и вращении вокруг соответствующей оси, Свяжем с телом систему координат К', ось з' которой направим вдоль вектора угловой скорости вращения тела в.
Согласно формуле (33.13) скорость 1-й элементарной массы тела в неподвижной системе координат К может быть представлена в виде ч,=ч + [в, г',[, где чв — скорость начала координат О' системы К', г',— радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке О'. Кинетическая энергия 1-й элементарной массы равна ') Рии,.пг 1 ~~Т~ з к ~"~тт [чо+[в* гЛ Осуществив возведение в 'квадрат, получим: ЬТт =- — Ьт,.
[о,'+2ч [в, г',[+ [в, г',[~[. (40.7) Векторное произведение в на г', можно, как мы знаем, заменить векторным произведением в на (т;— перпендикулярную к оси з' составляющую радиуса-вектора г', (см. формулу (11.4) и следующий за ней текст1. Модуль этого векторного произведения равен в)7т (в и ттг Й~ взаимно перпендикулярны). Следовательно, [в, г;1 в')то Подставим это значение в (40.7» и просуммнруем ЬТт по всем элементарным массам. В результате мы получим кинетическую энергию тела: Т= — ~~~„Лтто, в+ ~ ч, [в, Лт,.г',[+ —,,~ в' Лт,. 17г. Вынесем всюду постоянные множители за знак суммы: Т т овгХ Ьт~+ча~в 4„1ЛтР~~+ д в Хйл~Фт ') Напомним, что квадрат вектора равен квадрату его модуля: в', = пт 151 (при преобразовании второго слагаемого в правой части равенства мы воспользовались днстрибутивиостью векторного и скалярного произведений).
Сумма элементарных масс ~ Ьт, есть масса тела гп. Выражение ~ Лщ,г,'. равно произведению массы тела на радиус-вектор г' центра инерции тела в системе К' 1см. формулу (23.1)). Наконец, ~ Лгпи) дает момент инерции 1, тела относительно оси вращения г'. Поэтому можно написать, что ива 1,чг Т вЂ” — + уды», гпгс)+ —. (40.8) Это выражение можно упростить, взяв в качестве точки О' центр инерпии тела С, т. е. поместив началО системы координат К' в точку С. В этом случае г', = О, так что второе слагаемое исчезает.
Поэтому, обозначив через т, скорость центра инерции, а через !с — момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через точку С; получим для кинетической энергии тела формулу." ~4 гс~' Т вЂ” + —. 2 2 Таким образом, кинетическая энергия тела при пло. ском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра инерции, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела. й 41. Применение законов динамики твердого тела Следовательно, движение тела определяется действующими на тело внешнимн силами 1; и моментами этих сил й1ь й)оменты сил можно брать относительно любой 152 Как было установлено в предыдущих параграфах, движение твердого тела отвечает двум уравнениям (см.
(35.5) и (38.5Ц: атас Х 1п ТР- Х й),. неподвижной или двнжушейся без ускорения осн (относительно той же оси берется и момент инерции 1). Взяв моменты внешних сил относительно осн, движущейся с ускорением, мы, по существу, написали бы уравнение (41.2) а неинерциальной системе отсчета. В этом случае, кроче внешних сил, приложенных к телу, нужно учитывать ~анже силы инерции и нх моменты. Точки приложения снл 1ь действующих на тело, можно переносить звонь линий их действия, поскольку при этом ни сумма ~ 1о ни моменты М, не изменяются (при переносе силы вдоль линии ее действия плечо относительно любой точки не изменяется). Осуществляя такой перенос, можно несколько снл заменять одной силой, эквивалентной им в отношении воздействия, оказываемого на движение тела.
Так, например, две силы 1~ и 1ь С лежащие в одной плоскости к (рис. 108), можно заменить эквивалентной им силой 1, точку приложения которой можно также выбирать произвольно Р на направлении, вдоль которого она действует. Совокупность действующих рак цпс на тело параллельных сил можно заменить нх равнодействующей, равной сумме ьсех сил и приложенной к такой точке тела, чтобы ее момент был равен сумме моментов отдельных сил. Найдем равнодействующую снл тяжести. Силы тя жести приложены ко всем элементам твердого тела, причем сила, действующая на элементарную массу Лт;, равна Лт;я.
Сумма этих сил равна Р = тй. Суммарный момент сил тяжести относительно любой точки О равен М - ~~~ [гь (Лпгд)), где 㻠— радиус-вектор, определяюшнй положение Л~п, относительно точки О. Перенеся скалярный множитель Ллц нз второго сомножителя в первый и вынеся общий множитель я за знак суммы, получим: М .[(,~~ Лт;г;), д). По сумма, стоящая в круглых скобках, равна произведению массы тела т на радпус-вектор гс центра инерции С.
Поэтому М =1(пгс) Я) = (гс ряд)) = (гс, Р), (41.3) т. е. суммарный момент снл тяжести относительно любой точки совпадает с моментом силы гля, приложенной к точке С. Таким образом, равнодействуюп!ая сил тяжести рав. на Р = и!й н приложена к центру инерции тела. Из (41.3) вытекает, что момент сил тягкести относительно центра инерции равен нулю (в этом случае ге=0). Точка, относительно которой момент сил тяжести равен нугно, называется центром тяжести тела.
иа с Как уже отмечалось в 5 23, центр ! тяжести совпадает с центром инер! ции тела. Правда, это утверждение справедливо только в том случае, !~ когда поле спл тяготения в пре- 1 ! делах данного тела можно считать ! однородным, т. е. когда силы, прнложенные к различным элементарным массам, имеют одинаковое наРвс. !09. правление и пропорциональны мас- се. Это условие выполняется для тела, размеры которого значительно меньше размеров земного шара.
Если размеры сравнимы с размерами Земли, центр тяжести н центр инерции, вообще говоря, не совпадают. Поясним это просгым примером. Однородный длинный стержень находится вблизи Земли (рис, 109), При таком расположении стержня, как на рисунке, силы тяготения, приложенные к различным его элементам, примерно параллельны. Величина же приложенных к равным элементам снл изменяется с расстоянием от Земли по закону 1/г~ (» — расстояние элемента от центра Земли). Очевидно, что центр тяжести в этом случае смещен относительно центра инерции к концу стержня, более близкому к Земле. Таким же свойством, как у сил тяжести (в случае однородного поля сил), обладиот силы инерции, вводимые при рассмотрении движения тела в неннерциальной системе отсчета, движущейся поступательно относптель- но инерцияльной системы. Действительно, силы инерции, приложенные к элементарным массам Лог; равны — Лт;тем т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
