saveliev1 (797913), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(37.3) Повторив рассуждения, приведшие нас к формуле (36.9), найдем, что Ь, = (((, р,) = лг !)с, и,), (37.4) где Й вЂ” составляющая радиуса-вектора г, перпендикулярная к оси а, а р,— составляющая вектора р, перпендикулярная к плоскости, проходящей через ось г н точйу ли 4г Выясним, чем определяется изменение момента импульса со временем. Для этого продиффе- г г 3 ренцируем (37.!) по времени г, '.. " г воспользовавшись правилом дифференцирования произведения: Р~ ьд (37.5) и Первое слагаемое равно нулю, так как оно представляет собой векторное произведение векторов дг одинакового направления.
В самом деле, вектор — ра- Ж вен вектору скорости и и, следовательно, совпадает по направлению с вектором р = тпрр. Вектор — по второму ар а( закону Ньютона равен действующей на тело силе Ф (см. (22.3Ц. Следовательно, выражение (3?.5) можно написать так: — =(гЦ=М Л. юй (37.6) где М вЂ” момент приложенных к материальной точке сил, взятый относительно той гке точки О, относительно которой берется момент импульса Ь. Из соотношения (37.6) следует, по если результи. рующий момент действующих на материальную точку сил относительно какой-либо точки О равен нулю, то момент импульса материальной точки, взятый относи.
тельно той же точки О будет оставаться постоянным. 136 Взяв составляющие по оси г от векторов, входящих в формулу (37,6), получим выражение '): ги-з — М. эг г (37.7) Формула (37.6) похожа на формулу (22.3). Из сравнения этих формул вытекает, по подобно тому, как производная по времени от импульса равна силе, действующей на материальную точку, производная по Времени от момента импульса равна моменту силы. Рассмотрим несколько примеров. П р и м е р 1. Пусть материальная точка и движется вдоль пунктирной прямой на рис.
96. Поскольку движение прямолинейно, импульс материальной точки изменяется только по модулю, причем г(р где ! — модуль силы (в рассматриваемом случае ( имеет такое же направление, как р (см. рис. 96), так что ~ и ~ 6 1 Плечо 1 остается неизменным. Следовательно, — !.- — ((р)-! — =()=и г) И г)р а сн ьч ') Согласно формуле (2.11) /Л 1 Л. гле ~ — ) — составляющая по оск з вектора —. Ь)1 ), г(1 ' 136 I Л. 1 ггпу. гле 1 — 1 — пРоекциЯ на ось з вектоРа †, а Ез — пРоекгп паз гл ' цня нз ось и вектора 1. Умножим обе части равенства на орт ег осн з и, учтя, что е, от 1 не зависит, внесем его в правой части под знак производной.
В результате получим: ( ) Л.1 г( — ) е, - — (!.,ез). ЛГ )зпз ги Но произведение е, на проекцшо вектора на ось *.дает составляю. щую этого вектора по осй г (см. сноску на стр. 132). Следова тельно, что согласуется с формулой (37.6) (в данном случае Ь изменяется только по модулю, причем увеличивается, л.
~ ль поэтому ~ — ~ — ). ,и~ а. П р и м е р 2. Материальнай точка массы т движется по окружности радиуса )г (рис. 98). Момент им пульса материальной точки относительна центра окружности О равен по модулю: Е = тот(. (37.8) и Вектор Е перпендикулярен к плоско- а стн окружности, причем направление движения точки и вектор Е образуют правовиптовую систему. Р Поскольку плечо, равное й, остается постоянным, момент импульса может изменяться только за счет изменения модуля скорости. При равномерном движении материальной точки по окружности момент импульса остается постоянным и по величине и по направлению. Легко сообразить, что в этом случае момент силы, действуюшей на материальную точку, равен нулю.
П р и м е р 3. Рассмотрим движение материальной точки в центральном поле сил (см. 3 26). В соответствии с (37.6) момент импульса материальной точки, взятый относительно центра сил, должен оставаться постоянным по величине и направлению (момент центральной силы относительно центра равен нулю). Ра. диус-вектор г, проведенный из центра сил в точку т, н вектор Е перпендикулярны друг к другу. Поэтому вектор г остается все время в одной и той же плоскости, перпендикулярной к направлению Е. Следовательно, движение материальной точки в центральном поле сил будет происходить по кривой, лежашей в плоскости, проходяшей через центр сил.
В зависимости от знака центральных сил (т. е. от того, являются они силами притяжения или отталкива* ния), а также от начальных условий траектория представляет собой гиперболу, параболу нли эллипс (в частности, окружность). Например, Земля движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой по- мешается Солнце. ~зт Закон саиранения момента импульса. Рассмотрим систему из Ф материальных точек. Подобно тому, как это делалось в 3 23, разобьем силы, деиствукицие на точки, на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних сил, действующих на 1-ю материальную точку, обозначим символом Мь результирующий момент внешних сил, действующих на ту же точку„— символом Мь Тогда уравнение (37.6) для 1-9 материальной точки будет иметь вид: — $.л = М; + М~ (1 = 1, 2, ..., Ж).
Это выражение представляет собой совокупность У уравнений, отличающихся друг от друга значениями ин. декса й Сложив эти уравнения, получим: е=а Ф =-1 (37.9) Величина Ф м Е = Х 1;. = Х [гн р;) (37. 10) называется моментом импульса системы материальныхх точек. Сумма моментов внутренних сил [первая из сумм в правой части формулы (37.9)], как было показано в конце $ 36, равна нулю. Следовательно, обозначив суммарный момент внешних сил символом М, можно написать„ что — "'„='~;М,=М (37.11) [в символы 1. и М в этой формуле вложен иной смысл, чем в такие же символы в формуле (37.6)). Для замкнутой системы материальных точек М = О, вследствие чего суммарный момент импульса 1.
не зави. сит от времени. Таким образом, мы пришли к за кон у сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы ллатериальных точек остаетсл постоянн ыль Отметим, что момент импульса остается постоянным и для системы, подвергающейся внешним воздействиям, 138 при условии, что суммарный момент внешних сил, дей. ствующих на тела системы, равен нулю. Взяв от векторов, стоящих в левой и правой частях уравнения (37,11), пх составляющие по оси г, придем к соотношению: (37. 12) Может случиться, что результирующий момент внешних сил относительно точки О отличен от нуля (М Ф 0), однако равна нулю составляющая М, вектора М по некоторому направлению г.
Тогда согласно (37.12) будет сохраняться составляющая 1, момента импульса системы по осв г. 5 38. Основное уравнение динамики вращательного движения Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может как-то перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через общую ось е (рис. 99). Все плоскости могут вращаться вокруг этой оси с одинаковой угловой скоростью в. Согласно формуле (1!.5) тангенциальная составляющая скорости 1-й точки может быть представлена в виде: ч,=(.й], где Й~ — перпендикулярная к оси г составляющая радиуса-вектора г; ]ее модуль Я, дает расстояние точки от оси г]. Подставив это значение тп в формулу (37.4), получим выражение для момента импульса точки относительно оси а: $.м — — т, (Ко (в, К,] ] т;)г)гэ Рис. 99.
]мы воспользовались соотношением (11.3) „векторы К; и г» взаимно перпендикулярны]. Просуммировав это выражение по всем точкам и вынеся общий множитель га за знак суммы, найдем для 1за момента импульса системы относительно оси а следующее выражение: $., = Ю,,~„' уП,Щ'.
(38. Ц Г 1 Физическая величина (38.2) равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты их расстояний от осн а, называется мои е н т о и и н е р ц и и системы материальных точек относительно оси з (отдельно взятое слагаемое т~Ф~ представляет собой момент инерции (-й материальной точки относительно осн а).
С учетом (38.2) выражение (38.!) принимает вид: $.,=У,е. (38.3) Подставив это выражение для Е, в соотношение (37.12), придем к уравнению: — (1,ы) = М„ Н (38.4) которое является основным уравнением динамики вращательного движения. По форме оно сходно с уравнением второго закона Ньютона: — ( .)=(. И Ф В 4 35 мы уже отмечалн, что абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. Для такой системы момент инерции 1, относительно фиксированной оси г есть величина постоянная. Следовательно, уравнение (38.4) переходит для абсолютно твердого тела в уравнение: 1Д~ = М„ (38.5) где и =е — угловое ускорение тела, М,— результирующий момент внешних сил, действующих иа тело. Уравнение (38.5) похоже по форме на уравнение: гита = т. 140 Сопоставив уравнении динамики вращательного движения с уравнениями динамики поступательного движения, легко заметить, что прн вращателыюм движении роль силы играет момент силы, роль массы — момент инерции н т.
д. (табл. 2) Таблица 2 Поетуяатедьяое деажеяяа Вратдательаое даетьеаяе тан Ма Ьа- 7аот тп. — -м тгг М нли Ма-момент снам тт момейт инерции аа — угловая скорость р -.углоиое ускор«ни Ь-.момент импульса глн = р 0р И! 1— ив лтт енла масса линейная скорость линейное' ускорение импульс тт— Р Понятия момента силы и момента инерции были нами введены "на основе рассмотрения вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что этн величины существуют безотносительно к вращению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
