saveliev1 (797913), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Рис. 68, б поясняет, как с помощью графика Б определить кинетическую энергию, которой обладает система при данном значении х. й 30. Центральный удар шаров При соударении тел друг с другом онн претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры. Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим на~ зывается такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии.
При таком ударе кинетическая энергия переходит 163 Из (30.1) следует, что нчты+ мдты ч= м, +ам (30.3) Поскольку векторы тм и в»а направлены вдоль олпзй н той же примой, вектор ч также имеет направление, совпадающее с этой примой. В случае б) (си. рис. 70) оа направлен в ту же сторону, что и векторы тш и тиь Б случае а) вектор т направлен в сторону того из векторов тчм для которого произведение швом больше. Модуль вектора т может быть вычислен по следующей формуле: е,о„, »0«м ( ьч+м., =! (30.3) ш1тм + гл»тм = ш ~к~ + л11т»~ (30.4) яр», ю т~~~ м т~~ т»т~~ Преобразуем (30.4) следующим образом: пг, (ъ „— ъ,) = т, (и., — тм). (30.6) Учитывая, что (А' — В») = (А — В) (А + В), приведем (30.5) к виду тл, (тм — ни) (ем + т~) = щ» (т» — ъ'м) (т» + тм).
(30.7) Из соображений симметрии можно утверждать, что скорости шаров после удара будут направлены вдоль той же прямой, вдоль которой двигались центры шаров перед ударом. Следовательно, все векторы в (30.6) и где ош н о»о — модули векторов тш и т „; знак « — » соответствует случаю а), знак «+» — случаю б). Теперь рассмотрим абсолютно упругий удар. Пои таком ударе выполняются два закона сокранения: за. кон сохранения импульса и закон сохранения мсканической энергии.
Обозначим массы шаров пп и тм скорости шаров до удара тш и та«н, наконец, скорости шаров после удара т, и т» Напишем уравнения сокранении импульса и энергии: (30.7) коллипеарны. Эта дает возможность заключить из сравнения (30.6) и (30.7), что т»о + т» = из + чм. (30.8) Умножая (30.8) на то и вычитая результат из (30.6), а затем умножая (30.8) иа л»» и складывая результат с (30.6), получим векторы скоростей шаров после удара: 2т>т>о+ (т> — а») т>о т = 1 т> +то > 2л>»т>о+ (то — т>) тоо т2 т, ~-то (30.9) Для численных подсчетов спроектируем (30.9) иа направление вектора т»о» ж 2тоооо+(т> — 'то) о>»о а» = > т>+т> 2т>о>о т (то т>) о>оо но= т»+то В этих Формулах а>а и а»о — модули, а а» и ао — проекции соответствующих векторов. Верхний знак « — » соответствует случаю шаров, движущихся навстречу друг другу, нижний знак «+» — случаю, когда первый шар нагоняет второй.
Отметим, что скорости шаров после абсолютно упругого удара не могут быть одинаковыми. В самом деле, приравняв друг другу выражения (30.9) для т» и т, н произведя преобразования, получим: т»о = тв». т»=»|я», та=ею, !Об Следовательно, для того чтобы скорости шаров после удара оказались одинаковыми, необходимо, чтобы они были одинаковыми и до удара, но в этом случае соударение не может произойти. Отсюда следует, чта условие равенства скоростей шаров после удара несовместимо с законом сохранения энергии. Итак, при неупругом ударе механическая энергия не сохраняется — она частично переходит во внутреннюю энергию соударяющнхся тел, что приводит к их нагреву.
Рассмотрим случай, когда массы соударяющихся шаров равны: ш» = п»ь Из (30.9) следует, что при этом условии т. е. шары при соударенни обмениваются скоростями. В частности, если один из шаров одинаковой массы, например второй, до соудареиия покоится, то после удара он движется с такой же скоростью, какую имел первоначально первый шар; первый же шар после удара оказывается неподвижным. С помощью формул (30.9) можно определить скорость шара после упругого удара о неподвижную или движущуюся стенку (которую можно рассматривать как шар бесконечно большой массы гпт и бесконечно большого радиуса).
Деля числитель и знаменатель выражений (30.9) на тт и пренебрегая членами, содержащими множитель и,/ть получаем: т, = 2чзо — тш з У20, Как следует нз полученного результата, скорость стенки остается неизменной. Скорость же шара, если стенка неподвижна (тте = О), меняет направление на противоположное; в случае движущейся стенки изменяется также величина скорости шара (возрастает на 2ом, если стенка движется навстречу шару, и убывает на 2овь если стенка «уходит» от догоняющего ее шара), гланд п~ НЕИИЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА $31.
Силы инерции Как уже отмечалось (см. 5 13), законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета. Относительно всех ннерцнальных систем данное тело обладаег одинаковым ускорением кс Поскольку любая нсинерцнальная система отсчета движется относительно ннерцнальных систем с некоторьня ускорением, ускорение тела в неинерцнальной системе отсчета тг' будет отлично от н Обозначим разность ускорений тела в инерциальной н неинерцнальной системах символом а: тт — ът = а.
(31.1) Гслн неинерцнальная система движется относительно инерциальпой поступательно, то а совпадает с ускорением неинерцнальной системы отсчета. При вращательном движения различные точки неннерциальной системы имеют неодинаковое ускорение. В этом случае а Нельзя трактовать как ускорение, с которым неинсрциальная система движется относительно ннерцнальной. Пусть результируюгцая всех снл, обусловленных действием на данное тело со стороны других тел, равна 1,. Тогда согласно второму закону Ньютона 1 чт = — 1. Ускорение же относительно неинсрциальной системы отсчета можно в соответствии с (31.1) представить и виде / ! тт =те — а = — 1 — а. ж Таким образом, даже если результируюшая всех сил, приложенных к телу, будет равна нулю, тело будет двигаться по отношению к пеинерпиальной системе отсчета с ускорением — а, т.
с. так, как если бы на него действовала сила, равиаи — та. Следовательно, при описании движения в неииерциальных системах отсчета можно пользоваться уравнениями динамики, справедливыми только для инерциальных систем, если наряду с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, учитывать так называемые силы ивер ции )пп которые следует полагать равными произведеншо массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной и неиперциальной системам отсчета: )ы = — т (тт — чт') = — хча. (3!.2) Тогда уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета будет иметь вид ~+ уы Поясним сказанное следующим примером. К кронштейну, закрепленному на тележке, подвешен на нити груз (рис.
7!). Пока тележка покоится или движется Рис. 71. без ускорения, нить расположена вертикально и сила тяжести Р уравновешивается реакцией нити ),. Теперь приведем тележку в постувательиое движение с ускоре. нием тть Нить отклонится от вертикали на такой угол, !09 чтобы результирующая снл Р и $, обеспечивала ускорение тела, равное юа. Относительно системы отсчета, связанной с тележкой, тело покоится, несмотря на то, что результирующая сил Р и $„отлична от нуля. Отсутствие ускорения тела по отношению к этой системе отсчета можно формально объяснить тем, что, кроме сил Р и $„ на тело действует еще и сила инерции ~ы = штчО (31.4) Введение сил инерции дает возможность описывать движение тел в любых (как инерциальных, так и неинерциальных) системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения.
Следует отчетливо понимать, что силы инерции нельзя ставить в один ряд с такими силами, как упругие, гравитационные силы и силы трении, т. е. силами, обусловленными воздействием на тело со стороны других тел. Силы инерции обусловлены свойствами той системы отсчета, в которой рассматриваются механические явления. В этом смысле их можно назвать фиктивными силами. Введение в рассмотрение сил инерции не является принципиально необходимым. В принципе любое движение можно всегда рассмотреть по отношению к инерциальной системе отсчета.
Однако практически часто представляет интерес как раз движение тел по отношению к неинерцнальным системам отсчета, например по отношению к земной поверхности. Использование сил инерции дает возможность решить соответствующую задачу непосредственно по отношению к такой системе отсчета, что часто оказывается значительно проще, чем рассмотрение движения в инерциальной системе. 3 32. Центробежная сила инерции Рассмотрим диск, вращающийся вокруг перпендикулярной к нему оси г' с угловой скоростью ы (рис. 72), Вместе с диском вращается надетый на спицу шарик, прикрепленный к центру диска пружиной. Шарик при вращении занимает такое положение на спице, при котором сила натнження пружины оказывается равной произведению массы шарика на центростремительное ускорение со% ()с — расстояние шарика от центра диска), ыо Относительно системы отсчета, связанной с диском, шарик покоится, так как, кроме силы, действующей со т Рис.
72. стороны пружины, к шарику приложена сила инерции: 1ы = гпсс'Й, (32.1) направленная вдоль радиуса от центра диска. Силуииерции (32.1), возникающую во вращающейся (по отношению к ииерциальным системам) системе отсчета, называют центробежной силой инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
