saveliev1 (797913), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Убыль величины равна ее приращению, взятому с обратным знаком. Приращение и убьщь — алгебраические величины. Если аз) аь приращение положительно, а убыль отрицательна, В случае, когда и, <аь приращение отрицательно, а убыль положительна. Приняв во внимание (27.!), найдем, что с(Т = — Ь' ггг. (27.2) По третьему закону Ньютона тело 2 действует на тело 1 с силой з' — г, вследствие чего скорость тела 1 получает за времясггприращение ггзГ = — з' С(г = — — з Нгг.
1 г 1 Умножив скалярно обе части последнего равенства на тт, найдем, что тт сгт = — тзг Ю. (27.3) Сравнивая (27.3) с (27.2), получим выражение для гьу: г(Т = нгтсЪ. (27.4) Согласно формуле (24.8) скалярное произведение т г1зг можно представить в анде о1гзт1созсс =- о(с1т)ир„'), где (с1ч)ир,— проекция век- 1 тора гг» на направление веко 1 тора т. Из рнс. 62 легко заклю. ФпЬли чнть, что (с1т)ир„равна при- Рис. 62. ращению модуля скорости, т. е. 11о. Поэтому выражение (27.4) можно записать сле- дующим образом: г(т= с(о=аг~ — "' ).
(27.6) ') Нельзя писать это выражение в виде о.гЬ сова, так как, вообисе говоря, 1 Нт 1,+Но. ') Интегрирование уравнения (27.5) приводит к выражению глез Т вЂ” + сопз1. Однако нз физических соображений ясно, что при 2 о = 0 кинетическая энергия Т также равна нулю, откуда следует, что константу нужно положить равной нулю.
Отсюда следует'), что кинетическая энергия материальной точки массы т, движущейся со скоростью о, равна т='™, (27.6) Умножив на т числитель и знаменатель выражения (27.6) и приняв во внимание, что произведение то равно импульсу тела р, выраженшо для кинетнческсй энергии можно придать внд Р' Т= —. я>! ' (27.7) Отметим весьма важное обстоятельство: работа А', совершаемая над телом, равна приращению его нинетической энергии ЛТ = Тг — Т!. Чтобы доказать это, напив>ем выражение для элементарной работы »А'= г"»»!' Проинтегрировав это выражение, придем к формуле (27:б) А' = Т вЂ” Т . 2 1' Из (27.8) следует, что энергия имеет таку>о >ке размерность, как н работа.
Это дает возможность измерять энергию.в тех же единицах, какие используются для измерения работы. Потенциальная энергия. Рассмотрим тело (имеется в виду материальная точка), находящееся. в потенциальном. поле сил. Сопоставим каждой точке поля (характеризуемой радиусом-вектором г] определенное значение некоторой функшш (,>(г), осуществив это следующим образом. Для некоторой исходной точки 0 примем произвольное значение функции, равное (»». Чтобы получить значение функции с>! в некоторой точке 1, прибавим к (7а работу Ань которую совершают над телом силы ноля прн перемещении тела из точки 1 в точку 0: (> = (>о+ А>о (27З) (отметнм, что определенная таким образом фу»кш>я У ил>еет размерность работы или энергии).
Поскольку работа в потенциальном поле снл не зависит от пути (см. 2 26), найденное таким способом значение И! оказывается однозначным. (!' — сила, совершаю>цая над телом работу, » — скорость тела). Теперь заменим произведение !'>>! через нр = и»>» (см. (22А)), в результате получим ИЛ' = $» Л = т»»>» .= т и Ли = » ( — ) — — И Т. 2 диалогично определяются зиачеипя С(г) для всех остальных точек поля. В частности, значение (/(г) в точке 2 равно (27.!О) их=и,+А . Вычислим разность (7! (7о. Для этого вычтсм из (27,9) выражеиие (27.!0) и воспользуемся тем, что Лы = — Аоо (см. 5 26).
В результате получим: (7! — (7о = Фо+ А!а) — ((7!!+ Аго) = Ао — Аы = А!о+ ЛеПо сумма Лш+ А„дает рабогу, сонершасмую силами поля прп первом щснии тела из точки 1 в точку 2 цо траектории. проходящей через точку О. Одпако раб!па, совершаемая над телом при его перво!ец!сипи из точки 1 в точку 2 по любой другой траектории (в том числе и не проходящей через точку О), будет такой же самой.
Поэтому сумму Л!, + Лоо можио записать просто в видо Лцо В итоге мы придем к соотношению: (27. ! 1) (7! — (7о = А„. Таким образом, с помощью функции (!'(г) можно определить работу, совершаему!о над толом силамп поля па Любою пути, начинающемся в произвольной точке ! и заканчивавшемся 'в пройзвольпой точке 2. Эта работа оказывается равной убыли функции (7(г) ца пути ! — 2. Последнее обстоятельство даст осповапие трактовать физическую величину (7(г) как один из видов мсхаиической энср!тш, который назвали и о т е и и и а л ь и о й энергией.
Вследствие произвольности значения (7о (см. формулу (27.9)! потеицпальпая энергия оказываетсн определенной с точностью до некоторой неизвестной аддитивиой постоянной. Это обстоятельство, однако, не имеет никакого зиачеипя, так как во все физические соотношений входит только разность значений (7 в двух положениях тела. Практически уславлпва!отси считать (I какого-то опредслецпого положения тела равной нулю, а энергию других положений Г>рать по отношению к этой энергии Конкретный вид функции (/(г) зависит от характера силового поля. Так, паприо!ер, в иоле сил тян;естп вблизи земной поверхности пспснциальпая энергия тела массы си имеет вид: (27. ! 2) где Ь вЂ” высота, отсчитанная от уровня, для которого принято У = О.
Это следует непосредственно из форму. лы (26.5), определяющей работу сил тяжести при перемещении тела с уровня Ь, на уровень Ьь Поскольку начало отсчета У можно выбирать произвольно, потенциальная энергия может иметь отрицательные значения. Если, например, принять за нуль потенциальную энергию тела, находящегося на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, лежащего на дне ямы глубиной й', будет равна 0 = — тдй' (рис. 63), Отметим, что кинетическая энергия не может быть отрицательной.
В рассмотренном выше примере потенциальную энергию У = тай мы относили к телу, находящемуся в поле снл тяжести. Однако, строго говоря, потенциальную энергию следует относить к системе взаимодействуклцих друг с другом тел. Так, в разобранном случае Ои а Л' Смааие еаеаеыееее > ге 0) га»з =-ври Рис. сз. Рис. И, У =* тдй есть энергия системы Земля — тело. Потенциальная энергия системы тел зависит от их расположения по отношению друг к другу. Потенциальной энергией может обладать не только система взаимодействующих тел, но и отдельно взятое упруго деформированное тело (например, сжатая или растянутая пружина).
В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (например, от расстояния между соседними витками пружины). Согласно (24.5) как для сжатия, так и для растяжения пружины на величину х необходимо затратить работу А = '/айх'. Эта работа идет на увеличение потеи- 94 циальной энергии пружины. Следовательно, зависимость потенциальной энергии пружины 0 от удлинения х имеет следующий вид: 2 (27.13) На рис.
64 эта зависимость показана графически. Полная механическая энергия системы тел. В общем случае тело может обладать одновремейно и кинетической и потенциальной энергией. Сумма этих энергий образует полную механическую энергию. Так, например, тело М, находящееся на высоте й над поверхностью Земли и движущееся относительно Земли со скоростью о, обладает полной энергией: Е = — +тай.
(27.!4) Точнее говоря, выражение дает полную энергию системы Земля — тело; тдй есть взаимная потенциальная энергия этой системы, тэз/2 — кинетическая энергия тела М, а кинетическая энергия Земли в рассматриваемой системе отсчета равна нулю, что и дает основание говорить об энергии (27.14) как об энергии тела М. Потенциальная и кинетическая энергии могут превращаться друг в друга. Рассмотрим случай свободного падения первоначально покоившегося тела с высоты й. До начала падения кинетическая энергия тела равна нулю (тело покоится), а потенциальная — равна тай.
В конце падения тело обладает скоростью и = )/2дЛ (27. 15) и, следовательно, кинетической энергией то~ ж (1' 2уЬ) в но зато потенциальная энергия на высоте й = О будет равна нулю. Таким образом, потенциальная энергия превращается в эквивалентное количество кинетической энергии. Тело, брошенное с поверхности Земли вертикально вверх со скоростью о, обладает вначале кинетической энергией то92 и потенциальной энергией, равной нулю. Постепенно теряя скорость, тело сможет подняться на высоту Ь,.связанную с начальной скоростью соотношением (2?.15).
На высоте 6 скорость, а следовательно, 99 яеье — + тдй' 2 п3 ее (и' — скорость па высоте й') равна идй или —, 2 Этот результат получился потому, что тело находилось под действием только силы, обусловливающей наличие потенциальной энергии (сила глн есть внутренняя сила, действующая в системе Земли — тело). Иначе обстоит дело при наличии внешних сил. За счет работы, совершаемой этими силами над телами, образующими систему, будет происходить изменение полной энергии системы. Пусть, например, первоначально покоившееся па поверхности Земли тело М окажется под действиеч силы ), большей силы тяжести тд и имеющей направление вверх по вертикали (эта снча может исходить только от тел, не входящих в систему Земля — тело М).
Тогда тело начнет поднньгагься с некоторым ускорением, вследствие чего его потенциальная и кинетическая энергии будут расти, причем увеличение полной энергии будет равно работе, совершаемой -над телом М внешней силой ). Полная механическая энергия системы, состоящей из )у тел, между которыми действуют консервативные силы, слагается из потенциальной энергии системы как целого и из кинетической энергии системы, которая в свою очередь слагается из кинетических энергий отдельных тел, образующих систему: 2 Вне. Е=и+т=б+~,— '. 2 (27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
