saveliev1 (797913), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В соответствии с этим и силу, действующую на тело, можно разложить на нормальную 1» и тангепциальную 7, составляющие. Нормальная составляющая силы 4» обусловливает изменение скорости по направлению, не изменяя ее величины; тангенцнальная составляющая измеУм няет скорость по величине и У не изменяет ее направления. / ----~ — --- Отсюда вытекает важное следствие: если сила, действующая Р на тело, в каждый момент вреРас. 48, мени оказывается перпендикулярной к скорости тела, ско. рость, изменяясь по направлению, остается постоянной по величине. При условии, что сила, кроме того, остается постоянной по величине, нормальное ускорение п947 (7! — радиус кривизны траектории) также будет неизменно по величине и тело будет двигаться по траектории постоянной кривизны, т. е.
по окружности. Прн равномерном движении по окружности ускоря: ние тела н действующая на него сила все время направлены (<устремлены») к центру окружности, поэтому 70 их называют центростремительным ускорением и центростремительной силой. На практике центростремительное ускорение обычно бывает обусловлено одновременным воздействием на движущееся тело нескольких тел. В качестве примера рассмотрим равномерное движение по окружности тела, находящегося под воздействием силы тяжести Р и реакции натянутой нита 1, (рис. 48).
Здесь центростремительная сила 1„, является результирующей сил Р и 1„. 5 21. Практическое применение законов Ньютона Уравнение второго закона Ньютона, написанное а векторной форме, устанавливает в общем виде связь между силой, массой тела и его ускорением.
Чтобы осуществить вычисления, нужно„ перейти от векторов к их проекциям на соответствующим обрааом выбранные направления. При этом пользуются следующими свойствами проекций: !) равные векторы имеют оди- х, паковые проекции; 2) проекция вектора, получаю. щегося умножеяием какого-то дру. гого вектора на скаляр, равна произведению проекции этого второго вектора на скаляр; 3) проекция суммы векторов равна сумме проекции слагаемых векторов. зу Рассмотрим несколько примеров.
Пример !. Два тела с мас- н,-а,й сами т~ и тз прикреплены к концам нерастягкимой, невесомой нити, Рис. 49. перекинутой через неподвижный блок (рис. 49), Нить может скользить по желобку блока практически без трения. Найти силу натяжения нити и ускорение тел. Каждое из тел находится под воздействием двух сила силы тяжести Р и реакции нити 1, (рассмотрение ведем в системе отсчета, связанной с Землей, считая ее инер.
циальной). Напишем для обоих тел уравнение второго Л закона: (21 !) ! ~+ (и = шатт~ р~+ !м = ~~~М В связи с ~ем, что нить невесома и скользит по блоку без трения, ее натяжение по всей длине одина. ково. Поэтому обе силы реакции имеют одинаковый модуль 1,. Вследствие нерастяжямостн нити ускорения обоих тел равны по величине ш~ = шт = га. Проектируя первое из уравнений (21.1) на направление х~ (рнс. 49), а второе — на направление хь попуд чаем систему 1,— Р, =п!,и, 1 1 (21.2) Ра — 1, = ш,ш. ю Решая систему уравнений (2!.2) относительно нсизаест- +Р ныт („н ш.
получаем: Р~ — рь чн — ~% И' = У ли+ам ан+чн Р,т + Рпш 2т,м„ хп 4 л а аи + тт Если тт> ьчь то ш положительно, т. е. ускорение первого тела и, направлено вверх, Р а ускорение второго тела нт рнс. го. направлено вниз. При ат < пп направления обоих ускорений меьопотся нн противоположные. В случае т, = гп тела движутся без ускорений (нлн покоятся), Зная ускорение, легко найти по формуле (8.2) и скорость тел. Пример 2. Тело массы т подвешено к концу перастяжимой нити длиной ! (рис. 50).
Точка крепления нити к опоре движется относительно Земли с постоянным ускорением тт, образующим угол и с горизонтом. Пайтн отклонение нити от вертикали (угол га) и силу ), с которой тело действует на пить. Тело будет двигаться с таким же ускорением тч, как и точка крепления нити к опоре. Следовательно, урав- 72 пеппе второго закона для тела имеет вид Р + $, = и то. Спроектирован векторы, входящие в это уравнение, на координатные оси х и д, получим: Р„+),„=иав, Рд + ),в = пва'в.
(21.3) Из рнс. 50 видно, что Р =О, Р' = — Р= — снп; в ° в =),япф )япйч ),в — — ),созф =) созф; св = гв сов а; ш„= и я'и а (искомая сила 1 и сила 1„равны по величине). Подставим значения проекций в (21.3): О+1 и!пф = тю срза, — ид+)сов ф = ига япа. Решая эту систему уравнений относительно ф и ), получаем: и сова у+ив|па ' )'= и )'пв+ 2нгпв)па+ и-'. Прн а = +.и/2 («+ъ соответствует направлению ч вверх, в — ъ — направлению а вниз) формула (21.4) переходит в уже знакомую нам формулу (18.4). (21.4) 5 22.
Импульс Уравнению второго закона )(ьютона ач и — =т нг (-'2.1) Н Пвв) — — = Е. ~н можно придать другой вид. Учтя, что масса и в клас- сической механике есть величина постоянная, ее можно внести под знак производной и записать (22 1) следую- щим образом: Векторную величину (22.2) р=тчг р,— р,= ~ йр- ~рй(. (22.5) ') Прежде о»мото термина «импульс» польаовалнсь термином «количество движения». ») Эта аависимость имеет вид лаа яг = Э )/ — ", где т — масса тела в системе отсчета, относительно которой тело движется со скоростью о, ж,— масса покоя, т. е. масса при о О, с — скорость света в пустоте. называют импульсом материальной точки').
Воспользовавшись определением импульса, уравнение второго закона можно написать в виде — =р ор гп а сам закон сформулировать так: производнал импульса материальной точки по времени равна результирующей всех сил, действующих на точку. Уравнение (22.3) справедливо в более широких пределах, чем уравнение (22.1). Как устанавливает теория относительности, масса тела является функцией скорости: с увеличением скорости масса растет. Правда, зависимость массы от скорости таковаг), что при скоростях значительно меньших скорости света, масса остается практически постоянной. Однако при больших скоростях масса начинает быстро расти, вследствие чего уравнение (22.1) становится неприменимым.
В то же время уравнение (22.3) остается справедливым и при этих условиях. Таким образом, уравнение (22.3) сохраняет свое значение и в релятивистской механике (см, $12) . Умножив (22.3) на йг„придем к соотношению: йр=тй(. (22.4) интегрирование которого дает приращение импульса за промежуток времени, протекший от момента 11 до момента гг.' В част!юсти, если 1= сопя(, формула (22.5) дает для приращения импульса за промежуток времени т зиаче« ние: рз — р! — — !т. Заметим, что из выражения (22.3) следует, что, вы.
яснив, как импульс изменяется со временем, можно установить силу, действующую на тело. 5 23. Закон сохранения импульса Рассмотрим систему, состоящу!о из У материальных точек (для краткости будем называть ее системой тел). Тела, входящие в систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие па тела системы, можно подразделить на внутренние ивпешнне. Внутренними мы будем называть силы, с которыми на данное тело воздействуют остальные тела системы, внешними — силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе.
В случае, если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой. Импульсом системы р называется векторная сумма импульсов тел, образующих систему, Р = Р! + Ра + ° ° ° + Рм = Х Р! ! ! Назовем центром инерции системы точку, положение которой в пространстве задается радиусом-вектором г„определяемым следующим образом: т!г +!чтг2+ ...
+тягл п$ г. т4г! !!!,+т~+ ... +т ~',!!!! т где т! — масса г-го тела, г! — радиус-вектор, определяющий положение этого тела в пространстве, т — масса системы. ,!(екартовы координаты центра инерции равны проекциям г, па координатные осн: ~~ т!х! т!у! ~~ и!!з! Ъ' хс уг я~ (23 2) Отметим, что центр инерции совпадает с центром тяжести системы '). Скорость центра инерции получается путем дифференцирования ге но времени: ззшгтг д тл т тг=г=— е т ги гн Учитьгвая, что гпгт; есть рз, а Хрг дает импульс системы р, можно нависать (23.3) р = ггзч,. Сложим все три уравнения вместе.
Сумма внутренних сил будет равна нулю, вследствие иио ец (Рг + Рз+ Рз) =,гг Р = Гг + Гз+ Гз. тг гг При отсутствии внешних сил получается, что — Р=О, Ф (23А) следовательно, для замкнутой системы р гюстоянен. ') Это спрзведлггво только в одиородиои иоле сил тяжести (си. 5 4!). Таким образом, импульс системы равен ироизведению массы системы на скорость ее центра инерции. Пусть система состоит из трех тел (рис. 51). Каждой из внутренних сил, например $,м т. е. силе, с которой на тело 1 воздейстнует тело 2, соответствует сила $м, с которой те.по / воздействует иа тело 2, причем по третьему закону Ньютона )гз = — -(зг. Символами Гь Гз и Гз обозначены результируюр,,- г ' щие всех сил, с которыми внеш- ние тела воздействукгт соотги Гз,' ветствепио на 1-е, 2-е и 3 е тело системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
