saveliev1 (797913), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е. поворачивается на угол 2п. Поскольку промежутку времени Лг= Т соответствует угол поворота Лгр = 2п, (10.2) ') Чтобы отличить рассмотренную нами ранее скорость е ос угловой скорости, се называют линейной. В дальнейшем в случаях, когда это не сможет вривсстн н недоразумениям, слово «линейная» мы будем оиусгать. откуда Число оборотов в единицу времени т, очевидно, равно 1 е Т 2я' (10.4) Из (10.4) сЛедует, что угловая скорость равна 2п, умноженным на число оборотов в единицу времени: ы= 2нт. (10.5) Понятия периода обращения н числа оборотов в единицу времени можно сохранить и для неравномерного вращения, понимая под мгновенным значением Ттовремя, за которое тело совершило бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данным мгновенным значением угловой скорости„а под т понимая то число оборотов, которое совершало бы тело за единицу времени при аналогичных условиях.
Вектор ы может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае оя изменяется по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (в этом случае г» изменяется по направлению). Пусть за время М вектор ы получает приращение Лы. Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется величиной й= Вгп — = —, (10.6) ы.~о аг которую называют угловым ускорением. Вектор (1, как и ы, является аксиальным. 'Когда направление оси вращения в пространстве остается постоянным, угловая скорость изменяется только по величине и 1ое~ =1Ьв~. В этом случае из (10.6) получается следующее выражение для модуля углового ускорения: (10.7) Если под () понимать проекцию вектора (1 на направление гз, то формула (10.7) запишется следующим образом: р = 1!ш — = —.
ве не (10.8) 40 В формуле (10.8) (! — алгебраическая величина, которая положительна, если ы со временем увеличивается (в этом случае векторы (! и гэ имеют одинаковое направление), и отрицательна, если ы уменьшается (в.этом случае направления )! и ы противоположны).
Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости ю Скорость каждой из точек, будучи направлена по касательнон к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости в определяется скоростью вращения теча ы и расстоянием Й рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени И тело повер- ч нулось на угол й~р (рис, 34). Точка, находящаяся на расстоянии Й от оси, проходит при этом путь Лз, равный Лз = )ггэр.
6 с Линейная скорость точки по определению будет равна о = 1пп — = !!гп !г — = аз . Ьэ ю о аг аь+о а~э дф = )г йп — ~ = )г — ~ = !'!ы, „„,лг а= т. е. рис 34 в = ый. Н0.9) Итак, чем дальше отстоит точка от оси вращения, гем с большей линейной скоростью она движется. Найдем линейное ускорение точек вращающегося гела. Нормальное ускорение согласно (9.4) равно Подставляя в это выражение о из (10.9), находим, что (10.10) Модуль тангепциального ускорения в соответствии ни : (9.8) равен ~ — „! ~. Воспользовавшись опять уравнением 41 (10.9), получаем: = ~ 1нп 11 — ~ = Л ~ Вгп — ~ = Щ„ т.
е. (10.11) Таким образом, как нормальное, так н тангенциальное ускорение растет линейно с )г — расстоянием точки от оси вращения. ф 11. Связь между векторами ч н ы Кроме рассмотренных ранее операций сложения и вычитания векторов, а также умножения вектора на скаляр (см. ф 2), существуют также операции перемножения векторов. Два вектора можно умножить друг на друга двумя способами: первый способ дает в результате некоторый новый вектор, второй — приводит к скалярной величине. Отметим, что операции деления вектора на вектор не существует. Сейчас мы рассмотрим векторное произведение векторов. Скалярное произведение векторов мы введем позднее, когда оно нам понадобится.
Векторным произведением двух векторов А и В называется вектор С, обладающий следующими свойствамн: 1) модуль вектора С равен произведению модулей перемпожаемых векторов на синус угла а между ними (рис. 35): С=АВ з(па'„ 2) вектор С перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы А и В, причем направление его связано с направлениями А и В по правилу правого винта: если смотреть вслед вектору С, то сонершаемый по кратчайшему пути поворот от псрвого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке. Символически векторное произведение можно записать двумя способами: (АВ) или А Х В. Мы будем пользоваться первым из этих способов, причем иногда для облегчения чтения формул будем ставить запятую между сомножителями.
Не следует применять одновременно косой крест и квадратные скобки: [Л х В!. Недопустима запись такого вида: [АВ! = ЛВ з1п ьс Слева здесь стоит вектор, справа — модуль этого вектора, т. е, скаляр. Справедливо следующее равенство: 1[АВ[1= АВ з1па. (11.1) Г1оскольку направление векторного произведения определяется направлением вращения от первого сомножителя ко второму, результат векторного перемножения двух векторов зависит от по- А рядка сомножителей.
Изменение порядка со- ) множителей вызывает С ~ изменение направлс- ~кй ния результирующего вектора иа противоположное (рис. 35) [ВА! = — [АВ! или и .зз. В Х А= — (АХ В). Таким образом, векторное произведение ие обладает свойством коммутативности. Можно доказать, что векторное произведение дистрибутивно, т. е. что [А, (В, + Вт+ ...
+ Вм)! = [АВ,[+ [АВз[+ ... + [АВя!. (11.2) Векторное произведение двух полярных нли двух аксиальных векторов есть аксиальный вектор. Векторное произведение аксиального вектора на полярный (или наоборот) будет, однако, вектором полярным. Йзменение условия, определяющего направление аксиальных векторов, иа обратное приведет в этом случае к изменению знака перед векторным произведением и одновременно к изменению знака перец одним из сомножителей. В итоге величина, выражаемая векторным произведением, остается без изменений.
Модулю векторного произведения можно дать простую геометрическую интерпретацию: выражение АВ э(п а численно равно плошади параллелограмма, в М ч Рис. 36. Ряс, 37. ! Рис. 38 ]Л, ]ВАЦ= Л В. (11.3) Формулой (113) мы будем в дальнейшем пользоваться неоднократно. Подчеркнем, что она справедлива 44 построенного на векторах А и В (рис. Зб; веитор С = (АВ] направлен в этом случае перпендикулярно н плоскости чертежа, за чертеж). Пусть векторы А и В взаимно перпендикулярны (рис. ЗУ). Образуем двойное векторное произведение этих векторов: Р = [А, ]ВА]], т. е.
умножнм векторно В на Л, а затем умпожим векторно А на вектор, получившийся в результате первого умножеи ) н ния. Вектор (ВЛ]имеетмодулгч / .. я равный ВЛ р(п а = зш — = 1), 2 и образует с векторами А и В углы, равные и/2. Следовательно, модуль вектора 0 рзб веп ] А ] 1] ВА] ] = А ° ВА = Азб. Направление же веитора О, иак легко видеть из рис. ЗУ, совпадает с направлением вектора В.
В~о дает нам основание написать следующее равенство: только в том случае, когда векторы А и В взаимно перпендикулярны. Уравнение (10.9) устанавливает связь между модулями векторов ч и га. С помощью векторного произведения может быть написано выражение, дающее соотношение между самими векторами. Пусть тело вращается вокруг оси г с угловой скоростью г» (рис. 38).
Легко видеть, что векторное произведение г» на радиус-вектор г точки, скорость ч которой мы хотим найти, представляет собой вектор, совпадающий по направлению с вектором ч и'имеющий модуль, равный гэг зги и = гэ)г', т. е. а (см. формулу (10.9)].
Таким образом, векторное произведение (ыг] и по направлению и по модулю равно вектору гп ч = 1ыг]. (11.4) Формуле (11.4) можно придать иной вид. Для этого представим радиус-вектор г в виде суммы двух составляющих — вектора г„параллельного оси г, и вектора Р, перпендикулярного к оси гк г =- г, + !! (см. рис.
38). Подставив это выражение в формулу (11.4) и воспользовавшись днстрнбутивностью векторного произведения [см. (11.2)], получим: '1гаг] = 1е (г, + Й)] = 1ег,] + !ек]. Векторы и и г, коллинеарны. Поэтому нх векторное произведение равно нулю (з(п а = О). Следовательно, можно написать, что .=( В]. (!! ") В дальнейшем, прн рассмотрении вращательного дви: жения, мы всегда будем обозначать через К перпендикулярную к оси вращения составляющую радиуса-вектора г, проведенного из точки, взятой на оси.
Модуль этого вектора дает расстояние )г точки от оси. ГЛАВА И ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬИОЙ ТОЧКИ й 12. Классическая механика. Границы ее применимости Кинематика дает описание движения тел, не затрагивая вопроса о том, почему тело движется именно так (например, равномерно по окружности, или равномерноускорешю по прямой), а не иначе. Динамика изучает движение тел в связи с темя причинами (взаимодействиями между телами), которые обусловливают тот или иной характер движения. В основе так называемой классической нли ншотоновской механики лежат трн закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 г. Законы Ньютона (как и все остальные физическпе законы) возникли в результате обобщения большогоколнчества опытных фактов. Правильность нх (хотя и для очень обширного, но все же ограниченного круга явлений) подтверждается согласием с опытом тех следствий, которые нз них вытекают.
Ньютоновская механика достигла в течение двух столетий таких огромных успехов, что многие физики Х1Х столетия были убеждены в ее всемогуществе. Считалось, что объяснить любое фпзи ческое явление означает свести его к механическому процессу, подчнняющсыуся законам Ньютона. Однако с развитием науки обнаружились новые факты, которые не укладывалнсь в рамки классической мсханики. Эти факты получили свое объяснение в вовых теориях — специальной теории относительности и квантовой механике. В специальной теории относительности, созданной Эйнштейном в 1905 г., подверглись радикальному пере- Я6 смотру ньютоновские представления о пространстве и времени.
Этот пересмотр привел к созданию «механики больших скоростей» или, как ее называют, релятивистской механики. Новая механика не привела, однако, к полному отрицанию старой ньютоновской механики. Уравнения релятивистской механики в пределе (для скоростей, малых по сравнению со скоростью света) переходят в уравнения классической механики: Таким образом, классическая механика вошла в релятивистскую механику как ее частный случай и сохранила свое прежнее значение для описания движений, происходящих со скоростями, значительно меньшими скорости света. Аналогично обстоит дело и с соотношением между » чассической и квантовой механикой, возникшей в 20-х годах вашего века в результате развития физики атома.
Уравнения квантовой механики также дают в пределе (для масс больших по сравнению с массами атомов) уравнения классической механики. Следовательно, классическая механика вошла и в квантовую механику в качестве ее предельного случая. Таким образом, развитие науки не перечеркнуло классическую механику, а лишь показало ее ограниченную применимость. Классическая механика, основываюгцаяся на законах Ньютона, является механикой тел больших (по сравнению с массой атомов) масс, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света) скоростями. й 13.
Первый закон Ньютона. Инерциальиые системы отсчета Первый закон Ньютона формулируется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного двигкения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Оба названных состояния отличаются тем, что ускорение тела равно нулю. Поэтому формулировке первого закона можно придать следующий вид: скорость гпобого тела остается постоянной (в частности, равной нулю), гюка воздействие на это тело со стороны других тел не вызовет ее изменения. Следует отметить, что тел, не подвергающихся в той или иной степени воздействию со стороны других тел, 47 в природе не существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
