saveliev1 (797913), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В. Савельев. т. 1 А =А сова, А„=Асозй, А,= А сову, Легко понять„что по ааданным проекциям вектора на три координатные оси может быть построен сам вектор. Следовательно, всякий вектор может быть определен тремя числами — проекциями его на оси координат. Напомним, что скаляр задаетсн одним числом. У Рассмотрим сумму нескольких векторов Е = = А+ В+ С+Р (ркс. 14).
Очевидно, что Ек=.йх+~.к+Се+ ~'х. (2.3) т. е. проекция суммы векторов на некоторое направление равна сумме проекций слагаемых векторов на т. же направление. !В Радиус-вектор. Радиусом-вектором тачки называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку (рис.
15). Радиус-вектор г однозначно определяег положение точки в пространстве. Его проекции на координатные ося равны, как видно из рисунка, декартовым координатам точки: х» га р~ гд а (2. 4) Квадрат модуля вектора г равен сумме квадратов координат: г'= ха+уз+аз. (2.5) Умножение вектора ф на скаляр. В результате умножения вектора А на скаляр а получается новый вектор В, модуль которого в 1а~ раз боль* Рве 15. ше модуля вектора А, а направление совпадает с направлением А, если скаляр а положителен, и противоположно ему, если скаляр а отрицателен.
Если В = аА, то В = (а(А. Деление вектора на скаляр Ь равносильно умножению вектора на скаляр а = Цо. Единичный ветор. Каждому вектору А может быть сопоставлен единичный вектор Ащ „и„, имеющий то же направление, что и А, а по модулю равный единице. Очевидны следующие соотношения: А = А ° Ае,щннчв, А Аелн нчн = (2.6) ! А„1=1 А„,), (А„!=! А„~, 1А„!=~ А,!.
Единичный вектор имеет также другое название— орт. Модули составляющих вектора по координатным осям А„, А„и А, (см. рис. 1!) равны модулям проекций вектора на зги оси: Введем единичные векторы, имеющие направления координатных осей. Их принято обозначать следующим образом: единичный вектор, направленный по оси х, символом 1, по оси у — символом 1 и по оси х — символом й '). Векторы 1, ) и й называют ортами осей х, д и з соответственно. Тогда, например, составляющую А, можно предста. вить в виде (см. рис.
11) А„=- Лз). (2.7) Б самом деле, модуль вектора Ла( будет равен 1Л„1, т. с. 1А„~. Далее, если вектор Ая направлен в ту же с~орону, что и ось х, т. е. совпадает по направлению с ортом 1, то, как легко видеть из рис. 11, Л„положительна, если же А„ направлен в сторону отрицательных х, т. е. противоположно вектору 1, Л„ оказывается отрицательной, так что вектор Л„1 имеет направление, противоположное 1 и, следовательно, совпадающее с направлением вектора А„.
Для двух других составляющих А„и А, можно написать выражения, аналогичные (2.7) А„= Л,), А, Л,й. Поскольку вектор А равен сумме своих составляющих, можно напнсатлс А = Л„1 + Лн1 + Л,й. (2.8) Таким образом, любой вектор можно выразить через его проекции на координатные оси и единичные векторы (орты) этих осей. Производная вектора. Предположим, что вектор (2.8) изменяется со временем по известному закону А(л). Это означает, что проекции вектора на координатные оси представляют собой заданные функции времени й А(Е) =-1Л„(1) +1Ла(1) + йЛ,(1) (если координатные оса не поворачиваются а пространстве, орты осей со временем не изменяются).
Пусть за промежуток времени М проекции вектора получают приращения АЛ„, АЛ„ззЛ„в результате чего сам вектор получает приращение АА = 1ЬЛ +1АЛн+, ') Применяются танже обозначении: е„, е„, е,. + кЬЛ„. л корость изменения вектора А со временем Ф можно, очевидна, охарактеризовать отношением АА . Адх . Ало Ало — = 1 — + 1 — + )г— Аг м Аг тн (2.9) Написанное нами выражение дает среднюю скорость изменения А в течение промежутка времени Ь1. Пусть А изменяется со временем непрерывно, без скачков.
Тогда чем меньше промежуток Ьг, тем точнее величина (2.9) характеризует скорость изменения А в любой из моментов времени, принадлежащих промежутку Ьй Таким образом, скорость изменения вектора А в момент времени ! равна пределу выражения (2.9), получающемуся при неограниченном уменьшении Ь1: ЛА Скорость изменения А = 1пп — = ог- ош ААх .. АЛо ЛАо =1 Игп — +1!пп — +3с Ищ —. ы-эо АГ и.оо АГ м-оо Предел отношения приращения функции Ь)' к приращению аргумента Ь1, получающийся при стремле.
нии Ь1 к нулю, называется производной функции )' по 1 н обозначается символом —. Следовательно, скорость ~г1 Ж' изменения со временем вектора А равна ИА ЛА~ ало ИА, (2.10) Сопоставляя цолучсшюе выражение с формулой (2.8), легко видеть, что стоящие в (2.!О) множители дА при ортах суть проекции вектора — на оси координат: (2.11) Нужно быть очень аккуратным в обозначениях, Так, ИА например, проекцию вектора ††„ на ось х нельзя обо- ! оА ~ значить символом ~ — ), потому что такой символ по ~ кг) аналогии с А, будет означать составляющую вектора — по оси к.
Нельзя также обозначать эту проекцию ИА вт символом ) — ) (подобно обозначению проекции век- I ИА ) лл тора А символом А ), так как ~ — „г ~, вообще говоря, с)А отличен от ~ — ~. Поэтому приходится прибегать к обосп г йА т значениям вида ) — ) и т. д. ш )па к й 3. Скорость Положение материальной точки (в дальнейшем для краткости мы будем говорить- просто точки) в пространстве можно задать с помощью радиуса-вектора г.
При движении точки век- У лз тор г изменяется, вообще говоря, и по величине, и аг по направлению' ). Зафиксируем некоторый момент времени Елту соответствует значение г радиуса-вектора (рис. 16), В течение следующего за моментом небольшого промежутка к времени ог (мы будем называть его злементар* Рнс. 16. ным) точка проходит эле- ментарный путь Лз и получает элементарное перемещение Ьг, которое совпадает с приращением радиуса-вектора за время Ь)х).
') Рекомендуется в порядке упражнения уназать траекторищ, для которой радиус-вектор точки изменяется: а) только по величине, б) только по направлени1о. з) Символом Л (дельта) мы будем ижьзоваться в двух случаях: а) для обозначения доли какой-.чнбо величины. Например, в рассматриваемом случае ог' есть часть всего времени, в течение которого происходит движение, Лз †час всего пути„ проходимого точкой; б) для обозначения приращения какой-либо величины. В данном случае Лг есть приращение радиуса-вектора г за время дй 22 Образуем отношение аг ги ' (3.1) Итак, скоростью называется предел, к которому стремится отношение Лг к М при неограниченном убывании йй Следовательно, скорость можно определить как производную радиуса вектора движущейся точ- - --,г=г — ~. ки по времени: Вз М вЂ” — (3.3) Как следует из ее определения, скорость есть величина векторная.
Из рис. 17 видно, что Ьг вектор — явлнется секу. М щей для траектории. Рис. !7. При предельном переходе (3,2) точки пересечения этого вектора с траекторией все более сближаются (Лз стремится к нулю), сливаясь в конечном итоге в одну точку, вследствие чего секущая превращается в касательную. Таким образом, вектор скорости оказывается направленным по ка сательной к траектории в соответствующей точке (рис. 18). При данном ! модуль и направление вектора (3.1), вообще говоря, зависят от величины промежутка Ы, Станем уменьшать И (соответственно будут также уменьшаться Ьз и Лг), наблюдая при этом за поведе.
нием отношения (3.1). Оказывается, что но достижении достаточно малых значений Ж вектор (3.1) практически перестает изменяться как по величине, так и по направлению. Это означает, что при стремлении М к нулю отношение (3.1) стремится к определенному пределу, Этот предел называется скоростью т движущейся точки в момент времени й Символически сказанное выше за~ писывается следующим образом: ч=!!ш —. аг (3.2) аг.ю л' В соответствии с формулой (3.2) модуль вектора скорости может быть записан следующим образом: о = ~ т ~ = ~ 1нп — ~ = Игп —.
Лг ~ . 16г) ос-+о аг ы-»о В этом выражении нельзя вместо 1Ьг~ писать Аг. Символ 1Ьг~ означает модуль приращения вектора г, (3.4) У Рис. 19. Рис. !8. в то время как Ьг представляет собой приращение мо- дуля вектора г: Л~г~. Обе зтн величины не равны друг другу: г гг Рис. 20. Рис. 21. 2 — 8). Рнс. 20 поясняет, что прн данном )ЛА) прира- щение модуля А~А~ может иметь значение в пределак от — ~ЛА) до +1АА~.
24 ! Аг! Ф Ь! г ! = Аг. В этом можно убедиться на следующем примере (рис. 19). Пусть некоторый вектор А получает такое приращение ЛА, что модуль его не изменяется: ~ А+ ЬА ~ ~ А !. Следовательно, приращение модуля вектора А равно нулю (Ь|А~ =ЛЛ = О). В то же время модуль прира- А щения вектора 1ЛА) отличен от нуля (он ~~ л)4 ]зл) равен длине отрезка А +ЛА Элементарный путь Ля, вообще говоря, отличен по гелнчине от модуля элементарного перемещения !Лг) (рис.
21). Однако, если брать отрезки пути Ля и перемещения Ьг, соответствующие небольшим промежуткам времени М, то различие между Ья и !Ьг! будет невелико, причем прн умелыпеннн М путь Ля с возрастающей точностью будет совпадать с !Лг!. 11а этом основании можно написать, что !1пг — = !пи — ' ! Ы! . Ла ы.ьв Ы ыьо Ы откуда в соответствии с (3.4) для модуля скорости получается следующая формула: Лт дв и= Ипг — =- —. ы.,в и а' (3.5) й 4. Вычисление пройденного пути Из выражения (3.5) следует, что при малых И (4.! ) В соответствии с (4,1) каждое из слагаемых Асг (1 — любое число от 1 до гт') может быть приближенно представлено в виде Ья, ск и; Иь ') Так принято записывать сокращенно сумму Ф слагаемых одинакового вида. Последнее приближенное равенство выполняется тем точнее, чем меньше И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
