saveliev1 (797913), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если известна величина скорости и как функция времени 1, можно вычислить путь, пройденный точкой с момента 1; до момента 1ь Для этого разобьем промежуток времени (т — 1~ на !У малых промежутков: Иь Ы„..., Мм, которые могут быть различными ио величине. Весь путь я, пройденный точкой, можно представить как сумму путей: Ьэь Ьяь ..., стэн, пройденных зв соотвстствувгг!ие промежутки времени М; Я = ЬЯ1 + Лат + ° + Кэя л~~ 1хэг с ! где М,— промежуток времени, за который был пройден путь Ыь а п~ — одно из значений скорости за время Ыь Таким образом, ~ АМ (4.2) г-1 Написанное равенство выполняется тем точнее, чем меньше промежутки времени Мь В пределе при стрем.
ленин всех М к нулю (количество промежутков Ы; будет при атом неограниченно возрастать) сумма, стоящая справа, станет точно равна з: Ф з= 1нп ~ч.", о, Мь м,.+ог ~. (4.3) Скорость есть функция времени: и = п(1). В математике выражение вида 1пп Х ~ (х;) Лх» ьч-+о г-~ составленное для значений х, заключенных и пределах от а до Ь, называют определенным интегралом и записывают символически следующим образом: Ь Следовательно, путь, пройденный точкой за промежуток времени от 1~ до 1м равен определенному инте- гралу з= ) о(1) Л.
(4.4) ь Покахгем, что величину пройденного пути можно представить как площадь фигуры, которая ограничена кривой зависимости величины скорости и от времени 1. Построим график функции и = п(г) (рис. 22). Произведение п~Ж; численно равно площади заштрихованной (1-й) полоски. Сумма таких произведений будет равна площади, ограниченной осью 1, прямыми 8= т, н 1= 1ь а также ломаной линией, образованной верхними краи- 26 ми всех подобных полосок. При стремлении б!» к нулю ширина всех полосок убывает (одновременно число их растет) и ломаная ливия в пределе сольется с кривой о = о(г), с, дгг Рис. 22.
Таким образом, путь, пройденный за время с момента !г до момента гз, численно равен площади фигуры, ограниченной графиком о = о(г), осью времени г и прямыми ! = !г и г = !з. 5 5. Равномерное движение Движение, при котором скорость, изменяясь как угодно по направлению, остается постоянной по величине, называется равномерным. Прн равномерном движении все ог в формуле (4.3) будут одинаковы и равны о. Общий множитель о можно вывести за знак суммы; з = ! цп о ~~~~ б)г = о )! гп ~ Мг. агг-+о агг-+а Сумма элементарных промежутков времени дает время г', за которое точка проходит путь л ').
Таким образом, можно написать: з= о!. (б.!) Из формулы (б.!) следует, что при равномерном движении скорость равна пути з, деленному на время 1, за ') Буква г может применяться как для обозначения промежутка времени (кан зто сделано в данном случае), так и 'для обозначения момента времени (так, например, было сделано в начале $3). Следует строго различать згн два случая. которое он пройден: й 6. Проекции вектора скорости на координатные оси В определяющем скорость выражении (3.2) под знаЬг ком предела стоит вектор —. Взяв в (3.2) вместо этого гектора его проекцию на какое-либо направление, мы, очевидно, получим проекцию вектора т на то же направление: пр.т= Игп — "' ".
(6,1) ьг.го Как видно из рис. 23, гг проекции вектора !!г на оси координат равны приращениям соответствующих координат переместившейся (Лг)„= !!х; (Лг), Ьу; (Аг), = Лг. Рис. 23, Подставляя эти выражения в формулу (6.1), получим проекции вектора скорости на координатные осн: (ьг)к . Ьх ох и„= !ип — Игц— и-»о ьг дг-ъо д! (ьг)у ьу ну и =1ип — =Иш— ьью ь' дг-ъо ~ (Лг), Лг о2 п, = !ип — ' = !йп — = —. ю о М дгоМ И' О=— (5.2) Согласно (5.2) можно сказать, что скорость при равномерном движении равна по величине пути, проходимому движущейся точкой за единицу времени.
Прн неравномерном движении такое утверждение несправедливо. В этом случае можно сказать, что скорость в данный момент времени ! равна по величине тому пути, который прошла бы точка за единицу времени, если бы она в дальнейшем сохранила то значение скорости, которое у нее было в момент й В физике производные величин по времени ! принято обозначать символом соответствующей величины с точкой изд ним, например: ах . лг лг — х; — =Р; — =г и т. д.
~п ' Ф ' л! Испол зуя этн обозначения, проекции вектора т на координатные оси можно записать следующим образом: ок х ог у! пт (6.2) Заметим, что формулы (6.2) можно получить из формул (2.! !), положив в последних А = г. й 7. Ускорение Согласно сказанному в $ 2 о производной вектора быстрота изменения скорвстй материальной точки т со временем ! характеризуется величиной те= ))тп — = —.
Лг сЬ (7.!) ы оЛ! Эта величина называется ускорением точки. Если известны ускорение как функция времени тг(!) и скорость та в начальный момент (при ! = 0), то мож- но найти скорость ч в любой момент времени й Это осуществляется по формуле: т=тр+ ) тт й. о В случае, когда и постоянно, т=тз+иб (7.2) Нредставим вектор скорости в виде [см.
(6.2)): т= )и„+)и„+ йо,= )х+3у+М. Продифференцнровав это выражение по г, получим Дг . Д ..Д . Д тг = — = ! — (х) + ! — (у) + 1с — (2). л! а п Ф и Но — (Х) есть вторая производная х по д которую можИ1 но обозначить символом х. Аналогично — (6) = у, и ж и ,~~ (й) = й. Следовательно, тг = !х+ Ц+ йй. (7.3) (7.4) Сопоставив (7.3) с формулой (2.8), легко прийти к следующим выражениям для проекций вектора ускорения на координатные оси: а3« = х, юу = )) в = й, 5 8. Прямолинейное равиоперемеиное движение Прн прямолинейном движении вектор скорости все время направлен вдоль одной и той же прямой †траектории, вследствие чего направление вектора тт совпадает с направлением вектора т илн ему противоположпо. Если в" совпадает по направлению с т, то скорость растет по величине н движение будет ускоренным.
При в; противоположном по направлению т, скорость уменьшается я движение будет замедленным. Прямолинейное движение с постоянным ускорением называется равнопеременным. В зависимости от поведения скорости со временем различают равном е р н о - у с к о р е и н о е и р а в н о и е р н о - з а м е.длен ное движения. При равнопеременном движении справедлива формула (7.2), причем все входящие в иее векторы т, то и тт направлены вдоль одной и той же прямой.
Спроектнровав эти векторы на направление х, совпадающее с направлением вектора тЪ, получим: в„= ««+ о„т. (8.!) Проекции о«, в,„ и а~ равны модулям соответствующих векторов, взятых со знаком «+ъ, если направление вектора совпадает с направлением х, н взятым со знаком « — »„если направление вектора и направление х противоположны.
Обычно при рассмотрении прямолинейного движения индексы х в уравнении (8.1) опускают и пишут просто: о = во+ п~1» (8.2) обращаясь с входящими в уравнение (8.2) величинами как с проекциями векторов. При этом пользуются не вполне строгой (но общепринятой) терминологией, называя, например, в ускорением и считая ускорение положительным нлн отрицательным в соответствии с тем, какой знак имеет е«, Интегрируя функцию (8.2) в пре- ЗО делах от нуля до произвольного момента времени 1, найдем формулу для пройденного пути (см.
(4.4)): ыР = ~ (о0+ ~1) (И = ~~1 +— о (8.3) где га — величина алгебраическая. Отметим, что эта формула дает правильный результат для пройденного пути только в том случае, если за время 1 направление движения точки (знак скорости) не изменяется. $ 9. Ускорение при криволинейном движении Прежде чем приступить к нахождению ускорения в общем случае, рассмотрим простейший случай криволинейного движения — равномерное движение точки по окружности, Рис.
24. Пусть в рассматриваемый момент времени 1 точка находится в положении 1 (рис. 24). Спустя время Л1 точка окажется в положении 2, пройдя путь Ьз, равный дуге 1 — 3. При этом скорость точки ч получает приращение Лч, в результате чего вектор скорости, оставаясь неизменным по величине (при равномерном 3! движении (и( сопз1), повернется на угол цф, совпадающий по величине с центральным углом, опирающимся на дугу длиной Ьэ: Ла Ьф =— где тс — радиус окружности, по которой движется точка. Найдем приращение вектора скорости Л».
Для этого перенесем вектор (и+ Ьт) таи, чтобы его начало совпадало с началом вектора ю Тогда вектор сттт изобразится отрезком, проведенным из конца вектора ч в конец вектора (и + Ки). Этот отрезок служит основанием равнобедренного треугольника со сторонами и и (ч + Лч) и углом Ьф при вершине. Если угол Лф нсвелпк (что выполняется для малых Ы), для сторон этого треугольника можно приближенно написать: 1 Лт 1 ни и Ьф '). Вектор Лч можно представить в виде произведения его модули на единичный вектор такого же направления, как и у Лю Обозначим этот единичный вектор п'. Тогда Лт=1йч! п'м ойрп'.
Подставляя сюда Лф из (9.1), получаем: Лч ак о — и . Ьа Деля Лч на М и делая предельный переход, получим ускорение Ьч, а аа тч 1пп — = !пп — — п'. и.аа ат а~-ьа и Ьт В этом выражении п и Й вЂ” постоянные; отношеиие— лт в пределе даст модуль скорости и; единичный вектор и' в пределе сольется с единичным вектором п, нормальным к окружности в точке 1 и направленным к центру. Таким образом, аа чт — п. л (9.3) Найденное нами ускорение направлено по нормали к траектории; его называют нормальным ускоре') Вельзя писать Ьп.
В дапнои случае Ьи = О. вием н обознача/от тт„(как мы уже поступили в выражении (9.3)). Модуль нормального ускорения, и» и/ // ' (9.4) Чем больше искривлена траектория (чем меньше И окружности), тем больше га„при той же величине скорости и.
За меру кривизны принимается величина !111, которую называют кривизной окружности. / Очевидно, что ускорение точки, движущейся по произвольной кривой, также Рис. 25. будет зависеть от кривизны траектории, которая в разных точках будет различна. В дальнейшем для простоты мы ограничимсн рассмотрением только плоских кривых. Кривизна плоской линии в какой-либо ее точке равна кривизне окружности, сли. l Л)» вающейся в данном месте с лз г кривой на бесконечно малом ее участке.
Такую окружность называют кругом кривизны плоской липни в дан/г" ной точке. Чтобы получить л круг кривизны в точке 1 (рис. 25), нужно поступить следующим образом. Возь//' мем на кривой точки 2 и 3, близкие к точке 1. Проведем через 1, 2 н 3 окружность. Предельное положение этой окружности, получающееся при неограниченном приближении точек 2 и 3 к точке 1, н будет представлять собой круг кривизны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
