saveliev1 (797913), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Радиус этого круга дает радиус кривизны линии в гочке 1, а центр круга — центр кривизны для точки 1. Аналитически кривизна кривой С определяется выражением С= И/и — = —, ле дг ь».+о а» где Ь/р — угол между касательными к кривой в точках, отстоящих друг от друга на Ла (рнс. 26). Таким образом, кривизна характеризуется скоростью изменения 3 и. в. с»»»»»»», т. ! зз Направления иривой, т.
е. скоростью поворота касательной при перемещении вдоль кривой. Величина, обратная С, равна радиусу кривизны Я. Легко убедиться в том, что в случае окружности определенный таким образом радиус кривизны совпадает с радиусом окружности. Обратимся снова к рнс. 2б. Построим перпендикулары к касательным в точках 1 и 2. Этн перпендикуляры пересекутся в некоторой точке О', причем расстояния 11' и !г" будут, вообще говоря, ясодинаковымн, Образуем отношение —. Величину Лз можно прнблпвг женно заменить через !!'Лф.
Тогда вф ! Ьз Я'' Последнее приближенное равенство выполняется тем точнее, чем ближе точки 1 н 2, т. е. чем меньше Лз. Устремив Лз к нулю, мы получим кривизну: С = 1нп -- = 1нп —,. вф в*.+ч ат ьз.+ч я Если точку 2 приближать неограниченно к точке 1, пересечение перпендикуляров О' будет стремиться и некоторой точке, которая будет представлять собой центр кривизны. Оба расстоянии, !!' н !!", будут стремиться к одному н тому же пределу !1, равному радиусу кривизны. Величина, обратная Я, дает кривизну линии в точке 1.
Теперь найдем ускорение точки, движущейся по произвольной плоской кривой. Разложим веитор приращения скорости Лч (соответствующнй промежутку времени Л1, за который точка перемешается из положения 1 в положение 2) на две составляющие: Лч„н Лч, (рис. 27). Эти составляющие выберем так, чтобы расстояние от точки 1 до конца вектора Лч„было равно модулю скорости ч в начальный момент. Тогда, очевидно, модуль вектора Лчт будет равен приращению модуля скорости: )Лч,) Л)чу=Ли. Ввведя единичный вектор т', совпадающий по направлению с вектором Лч,, последний можно представить в следующем виде: Лч,= Лот', (9.5) Повторив рассуждения, которые привели нас к формуле (9.4), можно получить, что Лт„= о — и".
(9.6) Вектор полного ускорения по определению равен то= 11гп — = 11гп ко аи + ат . дт„ = 1!гп — + 1ггп —. ог.+о вг ы.+о аг ы.+о ы ог-эо С учетом (9.6) Ь»„ . о Ло 11гп —. = ! пп — — и'. ы.+о ~ ы.+о д гго Р В пределе — даст модуль скорости п, )г — радиус М кривизны гг', а вектор и' совпадет с и — единичным Рис вт.
вектором нормали к траектории в точке б Обозначим отот предел то„: Ьуо о тт„= ! нп — = — и. ы-+о Второй предел (обозначим его тт,) с учетом (9.б) равен ат~ . Ло тт, = 11пт — =- 1!гп — т . ы.~о ы дг.+о аг При переходе к пределу вектор т' совпадет с т— единичным вектором, направленным по касательной к траектории в точке 1 в сторону движения и тождественным единичному веитору скорости ч (см. (2.6)): т о' Окончательно, Ла '! Ла , = ! В!и! — ) т =— ~ь!-+о А! !! г!! (9.8) Итак, вектор тт может быть представлен в виде суммы двух векторов тч„и и, (рис. 28), один из которых (а „) перпендикулярен к 'н* " вектору скорости т и на- правлен к центру кривизны ! ! траектории, а второй (тт,) направлен по касательной к ! траектории.
Если скорость ! ! ! сЬ ! растет по величине ! — по- (л! ложительно), то и1 направРис. 28. лен в сторону движения, если скорость по величине /!!а убывает ! — „отрицательно), то и!„направлен в сторону, противоположную направлению движения. Вектор тт, называют тангенциальным ускорением. Он характеризует изменение скорости по величине. Если скорость по величине не изменяется, таигенциальное ускорение равно нулю и и! = и!„. Вектор и!„ (нормальное ускорение) характеризует изменение скорости по направлению.
Если направление скорости не изменяется, движение происходит по прямолинейной траектории. Кривизна прямой равна нулю (радиус кривизны тг соответственно равен бесконечности), следовательно, нормальное ускорение равно нулю и Ю = М,. В об!цем случае модуль полного ускорения равен (рис. 28): 36 и 1й. Кинематика вращательного движения Все точки абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси 00 (рис. 29), движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Радиус- вектор каждой точки (вектор, про- веденный из центра соответствующей окружности в данную точку) поворачивается за время Ы на один и тот же угол Ьр — угол поворота твердого тела.
Поворот тела на некоторый угол ~р можно задать в виде отрезка, длина которого равна сг, а направление совпадает с осью, вокруг которой совершен поворот. Для того чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, можно условиться связывать щимся по часовой стрелке (вращая головку правого винта по часовой стрелке, мы вы- зовем его перемещение от себя). Таким образом, повороту тела можно приписать численное значение и направление.
Однако этого еще недостаточ- Рис зо но для того, чтобы поворот можно было считать вектором, — нужйо, чтобы изображаемые таким способом повороты складывались по правилу параллелограмма. Для поворотов произвольной величины последнее условие не выполняется. Покажем зто на примере вращения сферы (рис.
31). Поворот сферы вокруг оси ! — 7 на угол и/2 (этот поворот изображен отрезком ср~) и рледующий за ним поворот вокруг оси 2 — 2 иа и/2 (отрезок ~эс) приводят к тому„что точка сферы Л перемещается сначала в положение А', а затем з7 направления поворота и изображающего его отрезка так называемым правилом правого винта. Согласив этому правилу направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя вдоль него (рис.
30), мы видели поворот совершаю- в положение А". Поворот, который изображается полученным из чч и ссг по правилу параллелограмма отреза д Уг= у ком ~рз (этот отрезок имеет длину и/ф' 2), переводит точку А в положение В, не совпадающее с А". Следова- тельво, поворот, изображаеаЧг атз мый отрезком ~рз, вовсе нс / ' равнозначен поворотам Чгг и йь совершаемым один за другим, и поэтому не является их суммой. Таким обаЗг разом, мы убедились в том, что, хотя поворот тела вокруг оси монсно изобразить направленным отрезком, его нельзя считать вектором.
Иначе обстоит дело для очень малых углов повороРас, 32. та гхгр. Путь, проходимый любой точкой тела прп очень малом повороте, могкао считать прямолинейным. Два совершаемых последовательно малых поворота Лср, и гтгрх обусловливают, как видно из рис. 32, такое же 38 перемещение Лг~ + Лгз любой точки тела, как и поворот Л1рз, получаемый из Лф~ и Лфз по правилу параллелограмма. Отсюда следует, что очень малые повороты могут рассматриваться как векторы (мы будем их запчсывать в виде Лгр или г)гр).
Направление вектора г(гр мы определили, связав его определенным образом с направлением вращения тела. При рассмотрении таких величин, как скорость и, ускорение тт, радиус-вектор г, не возникал и вопрос о выборе их направления: оно 1 вытекало естественным образом из ! ! природы самих величин. Подобные векторы называются полярными. Векторы типа г(гр, направление которых связывается с направлением вращения (или обхода), называют аксчальными векторамн.
Векторная величина ш = 1пп — ' — (10.1) йф гйр дг-+е ог (где Лà — время,за которое совершает- Р Рнс. 33 ся поворот йр) называется угловой с к о р о с т ь ю т ел а '). Вектор ет направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 33), и представляет собой аксиальный вектор. Модуль вектора угловой скорости равен —. Вращеир ьп ние с постоянной угловой скоростью называется равномерным, при атом г» = ф(й Такигя образом, прн равномерном вращении ге показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. Равномерное вращение можно характеризовать периодом обращения Т, под которым понимают время, за которое тело делает один оборот, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
