saveliev1 (797913), страница 12
Текст из файла (страница 12)
го / Напигнем для каждого из Гз,' трех тел уравнение (22.3) Ф' е зг з ,гг Рг =(и+(гз+ Гг о Лг Р2 (21+ (зз+ Г" д ~ рз=(з,+1„+Гз Этот результат легко обобщить на систему, состоящую из произвольного числа тел У. Пользуясь сокращенной записью сумм, уравнение (22.3) для всех )г' тел можно представить следующим образом: — Рг= ~~(г„+Гг (г'= ), 2, ..., йг). (23.5) Фв! Выражеггпе (23.5) представляет собой систему Ж уравнений, отличающихся друг от друга значением индекса й Суммирование в каждом из этик уравнений производится по индексу й, причем в г-и уравнении индекс й пробегает все значения от 1 до й), кроме значения й = г. Складывая этн уравнения, с учетом того, что $м =- = — (д;, получим: (23.6) г=г Следовательно, производная по времени от вектора импульса системы равна векторной сумме всех внешних спл, приложенных к телам системы Для замкнутой системы правая часть соотношения (23.6) равна нулю, вследствие чего р не зависят от времени.
Это утвсрлгденнс представляет собой содержание закона сохранения импульса, который формулируется следующим образом: нмпрльс залгкнг)той системы материальных точек огтасгся постоянным. Отметим, что импульс остается постоянным и для системы, подверженной внешним воздействиям, прн условии, что внешние силы, действующие на тела системы, в сумме дают нуль. Если даже сумма внешних снл не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление есть пуль, то составляющая импульса в этом направленно будет постоянной. Действительно, спроектирован все величины уравнения (23.6) на произвольное направление х и учитывая, что ') См. «юрмтлгг (2.1!). получим: Ю Ъ1 (23.7) с-и откуда и вытекает высказанное нами утверждение. В соответствии с (23,3) из закона сохранения импульса вытекает, что центр инерции замкнутой системы тел либо двяжется прямолинейно н равномерно, либо остается неподвижным. Можно назвать много явлений„в основе которых лежит закон сохранения импульса.
Находясь, например, на скользком полу, невозможно сдвинуть с места какой- либо предмет без того, чтобы самому не начать скользить в противоположном направлении. Действие ракет (и реактивных двигателей) основано на том, что в результате выбрасывания из сопла ракеты струи образугощихся при сгорании топлива газов ракете сообщается такой же по величине импульс, какой уносят с собой газы. гллпл ш РАБОТА И ЭНЕРГИЯ ф 24. Работа Пусть тело, на которое действует сила 1, проходит, двигаясь по некоторой траектории, путь з.
При этом сила либо изменяет скорость тела, сообщая ему ускорение, либо компенсирует действие другой силы (или сил), противодействующей движению. Действие 7 на пути з характеризуется величиной, которая называется работой. Работой называется скалярная величина, равная произведению проекции силы на направление перемещения 1, н пути з, проходимого точкой приложения силы: (24. 1) Выражение (24.1) справедливо в том случае, если величина проекции силы 1, на направление перемещения (т. е. на направление скорости) остается все время неизменной. В частности, это имеет место, когда тело движется прямолинейно и постоянная по величине сила 1" образует с направлением движения постоянный угол а.
Поскольку 1, =1соза, выражению (24.1) можно придать следующий внд: 4=7зсозо. (24. 2) Работа — алгебраическая величина. Если сила и на. правление перемещения образуют острый угол (сова > О), работа положительна. Если угол а — тупой (сова <О), работа отрицательна. При а = п12 работа равна нулю. Последнее обстоятельство особенно 79 отчетливо показывает, что попягне работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе.
В обыденном понимании всякое усилие, в част. ности мускульное напряжение, всегда сопровождается совершением работы. Например, для того чтобы держать тяжелый груз, стоя нсподвимгио, а тем более для того, чтобы перенести этот груз по горизонтальному пути, но- еилыиик затрачивает л много усилий, т.
е. «совершает работу». Однако работа как механическая величина в этих случаях равна нулю. Если величина проекции силы на направление перемещения пе остается постоянной во время движения, для вычисления работы следует разбить путь л на элементарные Рис, 52. участки Лз, взяв их столь малыми, чтобы за время прохождения телом такого участка величину /„ можно было считать почти неизменной. Тогда рабата силы иа каждом элементарном участке приближенно равна ЛА м/'иЛа, а работа иа всем пути л может быль вычислена как сумма элементарных работ: Л =ХЛА, ~Х)мЛ;.
(24.Э) Прн устремлении всех Лл, к нулю приближенное равенство (24,3) перейдет в строгое равенство: А = )/ш ~ /мЛлг= ~ /«г/л '). ла -+и ))а рис. 52 построен график /„как функции положения точки на траектории (горизонтальную ось можно назвать осью з, длина отрезка этой оси между точками l ') Мод рассумдеиий в даииом случае точно такой, иам и и/,: выводе формулы длв пути, иройдеииого ири веравиомериом дви желчи (см."4 т). и 2 равна полной длине пугн). Из рисунка видно, что элементарная работа ЛА; численно равна плошади заштрихованной полоски, а работа А на пути от точки ! до точки 2 численно равна нлоц~ади фигуры, ограниченной кривой (,, вертикальными прямыми ! и 2 н осью з.
Найдем работу, совершаемую при растяжения пружины, подчиняющейся закону Гука.,Растяжение будем производить медленно, чтобы силу, с которой мы действуем на пружину, можно было считать все время равной по величине упругой силе ! - лх, где х — удлинение пружины. Сила действует в направлении перемещения, ах~ А =- —. а (24.5) При сжатии пружины на величину х совершается такая же по величине н знаку работа, как и нри растяжении. Проекция силы (; в этом случае отрицательна (сила, действующая на пружину, направлена влево.
х растет вправо (см. рис. 53)), все Лх тоже отрицательны, вследствие чего („Ьх положительно. Отметим, что работа упру~ой силы, т. е. силы, действующей со стороны пружины на деформируюшее ее тело, и прн расгяжепнн, н прн сжатии равна — йхт!2, так как упругая сн.ча в каждый момент времени равна по 6 и. в савелыв. т. 1 61 так что г, = !. Путь, проходимый точкой приложения силы, равен х (рис. 53). Как следует из рис.
53, работа, которую нужно совершить, чтобы вызвал удлинение пружины х, ранна величине, но противоположна по направлению силе, вызывающей деформацию. Единицы работы. В качестве единицы работы служит работа, совершаемая силой, равной единице и действующей в направлении перемещения, на пути, равном единице: 1) в СИ единицей работы является джоуль (дж), который равен работе, совершаемой силой в 1 ньютон на пути в 1 метр; 2) в СГС-снстеме — эрг, равный работе, совершаемой силой в 1 дину на пути в 1 сантиметр; 3) в МКГСС-системе — килограммометр (кгс ° и), равный работе, совершаемой силой в 1 кгс на пути в ! метр.
Между единицами работы имеются соотношения: 1 дне = 1 н ° 1 м = 10з дни ° 10т см =10т эрг; 1 кгс м=1 кгс ° 1 м=9,81 и 1 м=9,81 дж. Скалярное произведение векторов. Выражение для работы может быть представлено в виде скалярного произведения вектора силы и вектора перемещения. Скалярным произведением двух векторов А и В называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов на косинус угла а между ними (рис. 54). СимволпА в чески скалярное произведение записывается в виде АВ, без какого.
либо знака между символами векторов '). Итак, скалярное произведение по определению равно АВ = АВ соз а. (24.6) При а остром АВ больше нуля, прн гь тупом АВ меньше нуля; скалярное произведение двух взаимноперпепдикулярных векторов (се = и/2) равно нулю. Заметим, что под квадратом вектора подразумевают скалярное произведение вектора на самого себя: Аа = АА = АА сон 0 = Аз (24.7) ') Менее унот)зебнтельны такие обозначения: А ° В н (А, В). (векторное произведение вектора на самого себя равно нулю). Следовательно, квадрат вектора равен квадрату его модуля.
Из определения следует, что скалярное произведение пе зависит от порядка сомножителей, так что в отличие от векторного произведения скалярное произведение коммутативно. Выражению (24.6) можно придать следующий вид: АВ = ЛВ соз а = Л (В соз а) = В (А соз а). Из рис. 54 видно, что Всозя равно Вд — проекции вектора В на направление вектора А, аналогично А сова = Ав — проекции вектора А на направление вектора В. Поэтому скалярному произведению можно дать и другое определение: скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию второго вектора на направление первого: АВ = АзВ = АВд.
(24.3) Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов. Отсюда следует, что А(В+С+ ...) = А(В+С+ ...)д= А(Вд+Сд+ ...) = ЛВд+ АСд+ ... = АВ+АС+ Таким образом, скалярное произведение векторов дистрибутнвно — скалярное произведение некоторого вектора А на сумму нескольких векторов равно сумме скалярных произведений вектора А на каждый из слагаемых векторов, взятый в отдельности. Воспользовавшись скалярным произведением векторов, выражение для работы (24.4) можно записать в следующем виде: Л= !ип ~ (~Аз,= ~1дз, (24.9) з~;+а где под Аз подразумевается вектор элементарного перемещения, который мы ранее обозначали через Ьг (мо. дуль элементарного перемещения ~йг~ равен в пределе элементарному пути Ьз (см.
5 3)). Пусть на тело действуют одновременно несколько сил, результирующая которых равна $ = ~$„. Ид дистрибутивпостн скалярного произведения векторов.вытекаег, что работа ЛА, совершаемая результирующей на пути Лз, может быть вычислена по формуле ЛА = ~Я $,) Лз = ~ ((а Ла) - ~ ЛА,, т. е. работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдслыюсти. Элементарное перемещение Ла может быть представлено как Лз=тЛ!. Поэтому формуле (24.9) можно придать вид хг ь Л = 1нп ч Ф;и;Л1;= ~ Фигй. (24.!0) ь ю в Ф 1, В соответствии с (24.8) !",Ла = )Лзь где Лзт — проекция элементарного перемещения на направление силы.
Поэтому работу можно записать как А= 1нп т (,(Лаг),= ~!г(а!. (аз!~ -+О (24.1 1) Если сила имеет постоянную величину и направление (рис. 55), вектор ! в формуле (24.9) можно вынести за знак интеграла, в резулыате чего выражение для работы примет вид Л = 1 ) Иа =- Ь = !зб (24.12) На, практике имеет значение не только величина соверщениой работы, но и время, в течение которого она совершается. 1!оэтому для характеристики механизмов, предназначенных для совершения работы, вводится величина, показывающая, какую работу данный механизм а4 где з — вектор перемещения, а зт — его проекция на направление силы. и 25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
