saveliev1 (797913), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Щ ') Рекомендуется врохелвть это в порядке уврвмвеняя. 16 н кинетическая энергия тола, станет равной пулю, но зато его потенциальная энергия станет равной первоначальному запасу кинетической энергии. В обоих случаях (падения и подъема тела вблизи поверхности Земли) полная энергия тела остается неизменной (сопротивлением воздуха движению тела пренебрегаем). Легко убедиться ') в том, что на любой промежуточной высоте й' (О < й' < й) сумма Закон сохранения энергии.
Рассмотрим систему из 1У тел, между которыми дсйгп уют только консервативные силы (рис. 65). Предполс сям, что тело 1 переместилось по произвольной тряс кгории в положение 1'. При этом силы, с которыми действуют ка тело 1 все остальные тела системы, совершат работу, не зависящую от пути перемещения тела 1 и определяющуюся лишь начальным и конечным положениями тела относительно всех других тел. Аналогично при перемещении всех У тел в новые положения над этими телами консерватнвные силы, действующие в системе, совершат работу, величина которой зависит только ат начального Я и конечного расположения х~ 1 тел друг относительно друга.
Следовательно, каждому взаимному расположения» ~-ф Я (каждой конфигурации) тел можно приписать определенное значение потенциальной энергии К и работу Рчк ь5. консервативных спл при переходе от одной конфигурации к другой вычислять как разность значений О, соответствующих этим копфигу рациям: А„=и,— и,. (27. 17) Пусть на тела системы, кроме внутренних консервативных сил, действуют также внешние силы. Работу, совершаемую всеми силами, приложенными к Рму телу системы, можно представить как сумму работы (Ам)и совершаемой внутренними силами, н работы А;, совершаемой внешними силами, действующими па данное тело.
Полная работа идет, как мы знаем, на пряращение кинетической энергии тела 1см. (27.8)1. Следовательно, (Лм)у+ Лу =(Т2)~ (7!)~ (27.18) Суммируя выражение (27.18) по всем телам системы, получим: Х(А„), + ХА', =Х(т,), — Х(т,),. (27.18) 7 и. в. савсльсв, ь 1 97 Первая из сумм в выражении (27.19) представляет собой работу консервативных сил, совершаемую над телами при переходе системы из начальной (первой) конфигурации в конечную (вторую). Согласно (27,17) эта работа может быть представлена как разность значений потенциальной энергии системы в начале и в конце процесса: ~(Аи);= и,— им Вторая сумма в левон части выражения (27.19) представляет собой полную работу внешних сил, совершаемую над телами системы.
Обозначим ее А'. Правая часть в (27.19), очевидно, равна Т,— Тн т. е. разности значений полной кинетической энергии системы в конечном и начальном состояниях. Таким образом, формуле (27.!9) можно придать вид и,— и,+А'=т,-то Группируя соответствующим образом члены, получим: (т,+и,) — (т,+и,)=А'. Наконец, введя обозначение полной энергии системы Е Т + и, мы придем к соотношению ЬЕ = Ех — Е, = А', (27.20) Итак, приращение полной энергии системы тел, между которыми действуют консервативные силы, оказывается равным работе внешних сил, приложенных к телам системы. Если система замкнута, т. е.
внешние силы отсутствуют, то согласно (2?.20) йЕ = О, откуда следует, что Е = сопз1. (27.21) В формулах (27.20) н (27.21) заключено существо одного из основных законов механики — закона сохраненияя э пер гни. В механике этот закон формулируется следующим образом: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми дейстеуют только консервативные силы, остается постоянной. Если в замкнутой системе, кроме консервативных, действуют также неконсерватнвные силы, например силы трения, то полная механическая энергия системы 96 не сохраняется. Рассматривая неконсервативные силы как внешние, можно написать: Е~ — Е, А„.„, где А„„— работа неконсервативных сил. Силы трения совершают, как правило, отрицательную работу (см.
сноску на стр. 88). Поэтому наличие сил трения в замкнутой системе приводит к уменьшению ее полной ме. ханической энергии со временем. Действие сил трения приводит к превращению механической энергии в дру-. гие, немеханические, виды энергии. В этом случае выполняется более общий закон сохранения — в изолированной от любых внешних воздействий системе остается постоянной сумма всех видов энергии (включая и неме. ханические), ф 28. Связь между потенциальной энергией и силой 1(аждой точке потенциального цоля соответствует, о одной стороны, некоторое значение вектора силы 1, дей» ствующей на тело, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии тела К Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать и п+лп определенная связь. Для установления этой л5 связи вычислим элементарную работу ЬА, совершаемую силами поля при малом перемещении тела Ьз, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в простран стве, которое мы обозначим буквой з (рис.
66), Эта ра-. бота равна ЬА =1,Ьз, (28.1) где 1, — проекция силы 1 на направление ж Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии, она равна убыли потенциальной энергии — ЬУ на отрезке Ьз оси з: ЬА= -ЬУ. (28.2) 7~ 99 Сопоставляя (28.!) и (28.2), получаем: (,л = — ли, откуда ли лк ' (28.3) Поскольку (7 может изменяться не только при перемещении вдоль оси з, но также н при перемещениях вдоль других направлений, предел в .формуле (28.4) представляет собой так называемую частную производную от О по гп (28.5) Соотношение (28.5) справедливо для любого направлении в пространстве, в частности, и для направлений декартовых координатных осей х, д, хс ди дк ' ди да ' ди дк (28.6) Формулы (28.6) определяют проекции вектора силы иа координатные осн Воли известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы.
В соответствии с (2.8) 7ди. ди. ди т = — ~ — (+ — )+ — к). 1 дк ду дк В математике вектор — )-г — )+ — к, да дй дР дк да дк (28.7) где а — скалярная функция х, р, г. называется гр адиентом этого скаляра н обозначается символом 100 Выражение (28.3) дает среднее значение ), па отрезке Ьз. Чтобы получить значение („в данной точке, нужно произвести предельный переход: (~ = — (пп ли (28.4) л* о лх цгада. Следовательно, сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком (28 8) $ = - угад (l.
Пример. Возьмем в качестве примсра поле Сил тяжести. Ось а направим по вертикали вверх (рис. 67). При таком выборе коорди- ватных осен потенциальная энергия будет иметь внд [(см. (27.12)) 0 = тяз+ сопзЕ Проекция силы на осн согласно (28.б) равны ),=О, )„=-О, ), = — глд, откуда следует, что сила Х равна та н направлена н сторону, противоположную направлению г, т. е. вниз по вертикали. 5 29. Условия равновесия механической системы В замкнутой системе полная энергия остается постоянной, поэтому кинетическая энергия может возрастать только за счет уменьшения потенциальной энергии.
Если система находится в таком состоянии, гго скорости всех тел равны нулю, а потенциальная энергия имеет минимальное значение, то без воздействия извне тела системы не могут прнйтн в движение, т. е. система будет находиться в равновесии. Таким образом, для замкнутой системы равновесной может быть тольйо такая конфигурация тел, которая соответствует минимуму потенциальной энергии системы. Рассмотрим случай, когда взаимное расположение тел системы может быль определено с помощью только одной величины, например координаты х.
В качестве примера можно привести снстсму Земля — шарик, скользящий без трения по укрепленной неподвижно изогнутой 101 проволоке (рис. 68, а). Другим примером может служить прикрепленный к концу пружины шарик, скользящий по горизонтальной направляющей (рис. 69, а). Графики функции с1(х) показаны на рис. 68, б и 69, б. Минимумам 0 соответствуют значения х, равные х, (на рис.
69 хо есть длина недефор- 0 миров анной пружины), Условие минимума 0 имеет внд — = О. (29.1) ли 6 т+п Нх В соответствии с (28.6) условие (29 1) равно. значно тому, что 1 =О (29.2) (когда 0 является функцией только одной аи ~' 1'~ переменной х, 1 дх Ф в~ лх 1 ! 1 ! Таким образом, конфигурация системы, соответствующая миРас. 68, нимуму потенциальной энергии, обладает тем свойством, что силы, действующие на тела системы, равны нулю. Этот результат остается справедливым и в общем случае, когда 0 является функцией несколь- ких переменных.
В случае, изображенном на рис. 68, условия (29.1) и (29.2) выполняются также для х, равного хо (т. е. для максимума У). Определяемое этим значением х поло- жение шарика также будет равновесным. Однако это равновесие в отличие от равновесии при х = хэ будет неустойчивым: достаточно слегка вывести шарик из этого положения, как возникает сила, которая будет удалять Ф шарик от положения хо. Силы, возникающие при сме- щении шарика из положения устойчиво~о равновесия (для которого х = ха), направлены так, что стремятся вернуть шарик в положение равновесия.
102 х,ха ф ха ха Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия системы, можно сделать ряд заключений о характере движения системы. Поясним это, воспользовавшись графиком, изображенным на рнс. 68, б. Если полная энергия системы имеет значение, соответствую щее проведенной на гра- И фике горизонтальнои черте, то система может совершать движение либо в пределах ог х1 до хх либо в пределах от хз до бесконечности. В область х < х, и хх < х < хз систе, ма проникнуть не может, так как и льн потенц а ая энергия не может стать больше полной энергии (если бы это случилось, то кинетическая энергия а> стала бы отрицательной). Таким образом, область Рас. 69. хх < х < хз представляет собой потенциальный барьер, через который система не может проникнуть, имея данный запас полной энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
