saveliev1 (797913), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Так, например, любое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любойт оси, подобно тому ьак тело обладает массой независимо от состояния своего движения. Момент силы также существует независимо ат того, вращается тело вокруг осн, относительно которой берется момент, или покоится. В последнем случае момент рассматриваемой силы, очевидно, уравновешивается моментами других снл, действующих на тело. Из уравнении (39.3) вытекает, что при равенства нулю результнруюц(вго момента всех внешних сил тело вращается с постоянной угловой скоростью.
Если мо. мент инерции тела может изменяться вследствие изменения взаимного расположения отдельных частей тела, прн ЛЪа = 0 остаетгя постоянным произведение (но (см. (38.4)) и изменение момента инерции /, влечет за собой соответствующее изменение угловой скорости нь Этим объясняется обычно демонстрируемое явление, заклктчающееся в том, что человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны, начинает вращаться 141 медленнее, а прижимая руки к туловищу, начинает вра.
щаться быстрее. Рассмотрим систему, состоящую из двух дисков, имеющих общую ось вращения 1рис. 100). Между приливами дисков поместим сжатую пружину и свяжем эти приливы ниткой. Если пережечь нить, то под действием разжавшейся пружины оба диска придут во вращение в противоположных направлениях. Моменты импульса, которые приобретут диски, будут равны по величине и противо. положны по направлению: так что суммарный момент имРас. 100. пульса системы останется по. прежнему равным нулю. Подобным же образом обстоит дело и в случае изо. браженной на рнс.
1О! системы, состоящей из двух дис. ков с несовпадающими осями, укрепленными в раме, которая может свободно вращаться вокруг оси симметрии системы. Если перенсечь нить, стягивающую приливы на дисках, между которыми заложена сжатая пружина, диски придут во вращение, причем, как легко видеть, в одинаковом направлении.
Одновремен. но рама начнет вращаться в Рвс. 1О1. противоположную сторону, так что полный момент импульса системы как целого останется равным нулю. В обоих рассмотренных выше примерах вращение отдельных частей системы возникало под действием внутренних сил. Следовательно, внутренние силы, действующие между телами системы, могут вызвать изменения моментов импульса отдельных частей системы. Однако эти изменения будут всегда таковы, что суммарный момент импульса системы как целого остается. без изменений. Полный момент импульса системы может изменяться только под воздействием внешних сил 142 й 39. Момент инерции В предыдущем параграфе момент инерции был определен как сумма произведений элементарных масс иа квадраты их расстояний от оси [см.
(38.2)). Из определения следует, что момент инерции есть величина аддитнвная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моме1пов инерции его частей. Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовазь с помощью величины, назывэемой плотностью. Если тело однородно, т. е.
свойства его во всех точках одинаковы, то плотностью называется величина, равная п~ р э (39.!) где гп — масса тела, а т' — его объем. Таким образом, в случае однородного тела плотность представляет собой массу единицы объема тела. Для тела с неравномерно распределенной массой выражение (39,1) дает среднюю плотность. Плотность в данной точке определяется в этом случае следующим образом: Лм Лм р= 1ип — =— лг.+о ЛУ (39.2) В этом выражении Лт — масса, заключенная в объеме ЛР, который при предельном переходе стягивается к той точке, в которой определяется плотность. Предельный переход в (39.2) нельзя понимать так, что ЛР стягивается буквально в точку.
При таком понимании для двух практически совпадающих точек, одна из которых приходится на ядро атома, а другая — на промежуток между ядрами, получался бы сильно отличающийся результат (для первой точки огромная величина, для второй — нуль), Поэтому уменьшение ЛР следует производить до тех пор, пока не будет получен физически бесконечно малый объем, под которым понимают такой объем, который, с одной стороны, достаточно мал для того, чтобы макроскопические (т.
е. присущие большой совокупности атомов) свойства в пределах его можно было считать одинаковыми, а с другой стороны, достаточно велик для того, чтобы не могла проявиться дискретность (прерывность) вещества. 143 ~~ р !.( ЛУ (39.3) 1мы заменили Й~ в формуле (33.2) на гД. Если плотность тела постоянна, ее можно вынести за знак суммы: ) = Р Х гл Л1 г (39.4) Соотношения (39.3) и (39.4) нвлнются приближен.
ными, причем тем более точными, чем меньше элементарные объемы ЛУ; и соответствующие нм элементарные массы Лп!ь Следовательно, задача нахождения мо. ментов инерции сводится к инте. !т' Р грированию: 1 ! 1 ( ~ гт с(т= ~ рглй~. (39.5) 1 лг Интегралы в (39.5) берутся по всему объему тела.
Величины 1 р и г в этих интегралах являются ь функциямн точки, т. е., например, декартовых координат х, у н 2. В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рнс. 102). Разобьем диск иа кольцевые слои толщиной с(г. Все точки одного слоя будут находиться па одинаковом рас. стоянии от оси, равном г. Объем такого слоя равен с(У = Ь2яг Нг, где Ь вЂ” толщина диска. Поскольку диск однороден, плотность его во всех точках одинакова и р в (395) можно вынести за знак интеграла: 1 л Рис. 102 У=р ).гас(У=Р ) г'Ь2игсй, Согласно (39.2) элементарная масса Лт! равна произведению плотности тела рл в данной точке на соответствующий элементарный объем ЛУп Лт, *р; ЛУь Следовательно, момент инерции можно представить в виде 144 где 11 — радиус диска.
Вынесем за знак интеграла по- стоянный множитель 2яЬ: 1=2лбр ~ т'йт-2яйр —. о Наконец, введя массу диска вг, равную произведению плотности р на объем диска Ья)1~, получим: (39.6) Нахождение момента инерции в рассмотренном примере значительно упрощалось вследствие того, что тело было однородным н симметричным, а момент инерции мы искали относительно оси симметрии. Если бы мы захотслн найти момент инерции диска относительно, например, осн 0'О', перпендикулярной к диску и про. ходящеи через его край (см. рис. !02), вычисления, очевидно, оказались бы гораздо более сложными.
В подобных случаях нахождение момента инерции значительно облегчается, если воспользоваться т е о р е м о й Ш т е й и е р а, которая формулируется следукгщнм образом: момент инерции 1 относительно произвольной оси равен сумме момента инерции 1ь относительно оси, париллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела и на квадрат расстояния а лгежду осями: (39.7) 1 1+ г В соответствии с теоремой !!1тейнера момент инерции диска относительно оси 0'0' равен найденному нами моменту инерции (39.6) относительно оси, проходящей через центр диска, плюс т1Р (расстояние между осами 0'0' и 00 равно радиусу диска 14): 1 = — + ягой .-- '- яг К .
яЯ7 г 2 2 Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно осн, проходящей через центр инерции тела, 1О и. в. савельев, т. г 14б Для доказательства теоремы Штейнсра рассмотрим тело произвольной формы (рис. 103). Возьмем две параллелынзе друг другу оси 00 и 0'О', нз которых одна (ось 00) проходит через центр инерции тела. Свяжем с этими осями координатные оси хух и х'у'г', которые Ряс. юз. выберем так, чтобы ось г совпадала с осью 00, а ось х' — с осью 0'0' (на рис.
103 эти оси перпендикулярны к плоскости чертежа). Кроме того, оси х и х' выберем так, чтобы оии совпадали и проходили через центр инерции тела. Тогда между координатами элементарной массы Лиц будут иметь место следующие соотношения: х,'.-а+х,.; у, 'у„ где а — расстояние между осями. Квадрат расстояния Лт2 от оси 00 равен гт=х2+ у2 2 2 О (39.8) квадрат же расстояния от оси О'О' равен ~2 Р2 + ~2 ( + )2 + (39.9) С учетом (39.8) момент инерции тела относительно оси 00 определяется выражением 1,- ~.", г2 Кт,.
~~„'~ (х + у2) Лги, (39.10) а момент инерции относительно оси 0'0' (с учетом (39.9)) будет равен 1=~ г' Лт,=~~.",[(а+х)'+у21Аатп (39.11) Возведя в квадрат выражение, стоящее в круглых скобках, н сгруппировав соответствующим образом получившиеся слагаемые, выражение (39.11) можно при. вести к следующел1у виду: 1= ~ (ха+ ф) Лт,. + ал ~~'„, Лт, + 2а ~~ х, Лто (39.12) Первая из сумм (39.12) тождественна с (39.10), т.
е. представляет собой 1и! вторая сумма дает таи; третья же сумма, как легко видеть, равна нулю. В самом деле, поскольку ось г проходит через центр инерции тела, координата х, центра инерции равна нулю. Вместе с тем 1 Ъч по определению х,= — т х,Лто откуда следует, что ,).„к1 Лт1 равна нулю. о Таким образом, выраже- 1 ние (39.12) принимает вид Ф что и требовалось доказать а 1 1см. (39.7)).
В заключение приведем значения моментов инерции для некоторых тел (тела предполагаются однородными, лл — масса тела). 1. Тело представляет собой тонкий длинный стерн<ень с сечением любой формы. Максимальный поперечный размер стержня Ь во много раз меньше длины Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
