saveliev1 (797913), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В самом деле, возьмем такой момент вре- +ФОО$о мени 1', что ооР+ а=2пп (и — целое число). Этому моменту времени соответст- х вует х=а и р=б (см. точку 1 иа рис, 167). В последующие моменты времени х будет убывать, а р принимает все возрастающие по модулю от- Рно. 1БУ. рицательные значения. Следовательно, изобразительная точка движется так, как показано стрелкой на рис.
167, т, е. по часовой стрелке. Найдем площадь эллипса. Как известно, она равна произведению полуосей эллипса, умноженному на п~ 2н еа~со~о Я псяпаго о ооо 2 В соответствии с (63.5) та'о~/2 есть полная энергия осциллятора; величина 2п/ооо равна 1/то, где то — собственная частота осциллятора, являющаяся для данного осциллятора величиной постоянной. Следовательно, площадь эллипса может быть представлена в виде 1 5= — Е, то откуда Е = тоо.
(64,5) Таким образом, полная энергия гармонического осциллятора пропорциональна площади эллипса, причем коэффициентом пропорциональности служит собственная частота осциллятора. 231 Площадь эллипса может быть вычислена как интеграл ф рсХх. Поэтому формуле (64.5) можно придать следующий впд: Е= у„~ рдх. Последнее соотношение сыграло большую роль прп создании основ квантовой мсхангши. Теперь рассмотрим вопрос о вероятности, с которой осциллятор может бысть обнаружен в различных положе- ниях. Скорость осциллятора сЫ достигает наибольшего значения в те моменты, когда он проходит через положение равновесия.
В моменты же наибольшего отклонения от положения равновесии скорость обращается в нуль. Отсюда следует, что вероятность обнаружить осцилляем тор вблизи одного из край- них положений будет боль— и Ю лт ~а ше, чем вероятность обнару- жить его вблизи положения рис. гвз. равновесия. Это поясняется рпс. 168, на котором изображена кривая, определяющая так называемую плотность вероятности — ).
Для того побы найти Ие~ Их вероятность с1ш нахождения осцпллятора в пределах данного дх, нужно ординату кривой в соответствующем месте умножить на дх. Например, площадь заштрихованной полоски на рис. 168 числешю равна вероятности дш того, что осциллятор будет обнаружен в вреде. лах данного интервала с1х.
Вся площадь под кривой плотности вероятности дает вероятность того, что осцнл. лятор будет обнаружен в одном из пологкенпй в преде лах от — а до +а, и, следовательно, как вероятность 232 ') Эга кривая ояасывэстся ураааеяяеи лч ! дх я 'г' я' — х~ всякого достоверного события, должна быть равна единице.
Отметим, что квантовая механика дает для вероятности различных положений гармонического осцнллятора существенно оглнчный результат, В 65. Малые колебания системы вблизи положения равновесия Рассмотрим произвольную механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначим через х. В такик случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной х, определяющей положение системы, можег быть угол, отсчитываемый от некоторой плоско. сти, или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной криюй, в частности прямой, линии и т. и.
Потенциальная энергия системы будет фуякцней одной переменной х: Ер — — Ер(х). Выберем начало отсчета х таким образом, чтобы в положении равновесия системы х был равен нулю. Тогда функция Ер(х) будет иметь минимум при х=О. Разложим Ер(х) в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенямп х люжно будет пренебречь.
По формуле Маклорена Е (х) = Е (0) + Ер (0) х + — Ер (0) х (ввиду малости х остальными членами пренебрегаем). Поскольку Е (х) при к=О имеет минимум, Ер(О) равна нулю, а Ер(0) положительна. Введем обозначения: Ер(0)= — Ь, Ер (0) =й (й)0). Тогда Ер( ) =- Ь+ — /г~'-'. (65. 1) Выражение (65Л) идентично с выражением (62.3) для потенциальной энергии системы, в которой действуег квазиупругая сила (константу Ь можно положить равной нулю). Используя соотношение (28.5), можно найти силу, действующую на систему: днр = — — — = — йх. л дл Итак, потенциальная энергия системы при малых от. клонениях от положения равновесия оказывается квадратичной функцией смещения, а сила, действующая на систему, имеет вид квазиупругой силы.
Следовательно, при малых отклонениях от положения равновесия любая механическая система будет совершать колебания, близкие к гармоническим. й 66. Математический маятник Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую нз невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно Ю хорошим приближением к математическому малтнику служит небольшой тяжелый шарюс, подвешенный на длинной тонкой нитке.
11 ! Отклонение маятникаот положенияраву . новесня будем характеризовать углом ср, образованным нитью с вертикалью (рис. 169). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М, равный по величине тп1 з)п ср Рис. сб9. (т — масса, а 1 — длина маятника). Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, моменту Миугловому смещению ср нужно приписывать противоположные знаки').
Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид М = — гпд1 з)пср. (66. 1) Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначив угловое ускорение через ф и учитывая, что момент инерции маятника равен т1а, получаем т(т(р = — тя1 з)пср. ') Рассматривая гр как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта (ато допустимо при малых ~р), противоположность ливков при М и ср можно объяснить тем, что век« торы М и ср направлены в противоположные стороны (рис. !69).
Последнее уравнение можно привести к виду ф + ~' з!п~р = О. (66.2) Ограничимся рассмотрением малых колебаний. В этом случае можно положить з!п~р = щ. Введя, кроме того, обозначение А <>2 (66.3) мы придем к следующему уравнению: ф+ „р=О, (66.4) которое идентично с уравнением (62.6) для шарика, подвешенного на пружине. Его решение имеет вид ф = а сов(ма1+ а). (66.6) Следователыто, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону. Как следует из (66.3), частота колебаний математического маятника зависит только от длины маятника и от ускорения сцлы тяжести н не зависит от массы маятника.
По формуле (62.8) с учетом (66.3) получается известное нз школьного курса выражение для периода колебаний математического маятника: Т=2п ф' —. (66.6) Отметим, что, решив уравненне (66.2), можно найти для периода колебаний следующую формулу: Т=2п ~, 11+12) з1п 2+(з 4) 3!и з+ где а — амплитуда колебаний, т. е. наибольший угол, на который отклоняется маятник из положения равновесия. й 67.
Физический маятник Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под хзб тй Рис. 170 (67.6) (67.6) будет иметь такой период колебаний, как и данный фи- зический маятник. Величину (67.6) называют приве- 236 точкой подвеса маятника О, на однои с ней вертикали (рис. 170). При отклонении маятника от положения равновесия на угол ~р возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия.
Этот момент равен М = — л~п1 з)п <р, (67.1) где ьч — мзсса маятника, а ! — расстояние между точкой подвеса н центром ниернии маятника. Знак « — » имеет то же значение, что и в случае формулы (66.1). Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой 7, можно написать: Тф= — ~пй1 з(п ~р, (67.2) В случае малых колебаний (67.2) переходит в уже известное нам урав- ф+ Рр=б.
(67.З) Через ем обозначена в данном Ъ; случае следующая величина: о' 3 р Ф (67А) Из уравнений (67.3) н (67.4) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром инерции маятника. В соответствии с (67.4) период колебания физического маятника определяется выражением Т= 2я )/ —. Г 1 ~ну>,Е ' Из сопоставления формул (66.6) н (67.6) получается, что математический маятник с длшюй пР еп денной длиной физического маятншса.
Таким образом, приведенная длина физического маятника — зго длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии йриведенной длины от оси вращения, называется центром к а чан и я физического маятника (см. точку О' на рис. !70). По теореме Штейпера момент инерции маятника 1 ьюжет быть представлен в виде 1 = 1а + гл1>, (67.7) где 1а — момент инерции относительно оси, параллельной осн вращения и проходящей через центр инерции маях- ника.
Подставив (67,7) в формулу (67.6), получаем: (67. 8) Из (67.8) следует, что приведенная длина всегда больше 1, так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра инерции. Подвесим маятник в точке, совпадающей с центром качания О'. В соответствии с (67.8) приведенная длина в этом случае будет равна (67.9) где р — расстояние между первоначальным центром кача|ия и центром инерции маятника. Учитывая, что 1' = 1,р — 1, выражение (67.9) можно записать следующим образом: гю | з 1ча (! |) + 1ча 1 = 1д ~+ (| 6 !(1а+гл1 ) я|11.~.~] Выражение, стоящее в квадратных скобках, рашю нулю. Действительно, 1, + л|1> равно 1 — момешу инерции относительно первоначальной оси вращения; этой >ке величине в соответстгпи с (67.6) равно выражение л>11,а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
