saveliev1 (797913), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Таким образом, мы приходим к выводу, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут темп же, ч|о и вначале. Следовательно. точка подвеса и центр качания обладают свойством взацмиосиг прп переносе гочки 237 подвеси в центр качания прежняя точка подвеси.становится новь|м центром качания. На установленном нами свойстве взаимности основано определение ускорения силы тяжести с помощью так называемого оборотного маятника.
Оборотным называется такой маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы, за которь|е он может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться на нем тяжелые грузы. Перемещением грузов добиваются того, чтобы прн подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние меркду опорными ребрами призм будет равно ьч, Измерив период колебаний маятника н зная 1ир, можно по формуле / ~~~р Г=2я ~~— Ы найти ускорение силы тяжести д. й 88. Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одного н того же направления, значигельно облегчается и становится наглядным, если нзобрагкать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.
Возьмем ось, которую обозна. бу г (р .171) Й Рис. 17ц ки О, взятой на оси, отложим вектор длины и, образующий с осью угол а. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью сир, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от — а до +а, причем координата этой проекции будет изменяться со временем пс закону х = а соз (сии + а). Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, рав- йзз ной длине вектора, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.
Из сказанного следует, что гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора об. разует с осью х угол, равный начальной фазе колебания. 9 69. Сложение колебаний одинакового направления Возможны случаи, когда тело участвует одновремен. ио в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различных направлений.
Если„ например, подвесить шарик на пружине к потолку вагона, качаювг 3 Ф 3 щегося на рессорах, то движение шарика относительно поверхности Земли будет скла. дываться из колебаний вагона относительно Земли и колеба- х ний шарика относительно ва- Р гона. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний оди- Ряс, 172. пакового направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х1 и хь которые запишутся следующим образом: х, = а, соз (мои + а~), (69.1) хз = ат соз (ы4 + о.). Представим оба колебания с помощью векторов а, и аз (рис.
172). Построим по праввлам сложения векторов результирующий вектор а. Легко видеть, что проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов: х = х! + х2. Сле7юеательно, вектор а представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же 239 угловой скоростью вм как и векторы а~ и аз, так что результиру«пцее движение будет гармоническим колебанием с частотой ьхь амплитудой а и начальной фазой а. Из построения видно, что рз = пг -(- дЯ вЂ” 2п оз ~п — ( — пД = =а',+ а.,'+ 2а,а соз(а — и,), (69.2) хр мп п~ + ьч з!ив~ до=в (69.3) а, сьзи, + аг со«ар ' 11так, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операпни сложения векторов.
Этот прием бывает особенно полезен, например, в опгпке, где световые колебания в некоторой точке опреде'ляются как результат наложения многих колебаний, приходящих в данную точку от различных участков волнового фронта. формулы (69.2) и (69.3) можно, конечно, получить, сложив выражения (69.!) и произведя соответствующие тригонометрические преобразования.
Но примененный нами способ получения этих формул отличается большей простотой и наглядностью. Проанализируем выражение (69.2) для амплитуды. Если разноСть фаз обоих колебаний аз — а~ равна пулю. амплитуда результирующего колебания равна сумме а, и аь Если разность фаз аз — а~ равна +п или — и,, т.
е. оба колебания находятся в противофазе, то амплитуда результнруюгцего колебания равна (а~ — аз(, Если частоты колебаний х~ и хз неодинаковы, век. торы а~ и а, будут вращаться с различной скоростью. В зтам случае результирующий вектор а пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс. 9 70. Биения Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте.
Как мы сейчас покажем, результирующее движение при этих условиях 240 можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется б и е н н я и и. Обозначим частоту одного из колебаний буквой аэ, частоту второго колебания через сь + Ьы. По условию Ьы « ы. Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Поскольку частоты колебаний несколько отличны, всегда можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны пулю.
Практически это означает, а1 хл — — ве =- — ' лев Ряс. 173. что мы должны дождаться, пока смещения в обоих колебаниях достигнут одновременно наибольшего положительного значения, и в этот момент «запустить секундомер». Тогда уравнения обоих колебаний будут иметь следующий вид: х,=асозЫ, х,=асов(ев+ Лм)1. Складывая эти два выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем: еьеа х = х, + хв = (2а соз — а) соз а1 (70.1) (во втором множителе пренебрегаем членом Ьаа/2 по сравнению с еэ). График функции (70.1) изображен на рис.
173,а. График построен для — = 10. Ьвь Заключенный в скобки множитель в формуле 170.!) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. 16 н. В. Савельев, е. ! л41 Ввиду условия Ьы « ы за то время, за которое множи» тель сов ыг совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (70.1) как гармоническое колебание частоты ы, амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в скобках, так как он изменяется в пределах от — 2а до +2а, в то время как амплитуда по оп. ределению — положительная величина.
График амплитуды показан па рис. 173, б. Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид: Ле амплитуда = ~ 2а соз —, (70.2) Функция (70.2) — перно. дическая функция с частоРас. 174, той, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля (см. рис. 174, на котором сопоставлены графики косинуса и его модули), т. е.
с частотой Лы. Таким образом, частота пульсаций амплитуды — ее называют частотой биений — равна разности частот складываемых колебаш4й. Лн Отметим, что множитель 2а сов — 1 не только опре- 2 деляет амплитуду, но и влияет на фазу колебания, Это проявляется, например, в том, что отклонения, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки (см. точки М, и Мт на рис. 173, а) „ й 71. Сложение взанмнвперпеидикулярных колебаний Рассмотрим систему, обладающую двумя степенямн свободы, т.
е. такую систему, для задания положения которой необходимы две величины, Примером можег служить тяжелый шарик, подвешенный па легкой длинной пружине, конец которой закреплен на шарнире так, 242 (71. 1) что шарик вместе с пружиной может совершать маятникообразные колебания в одной плоскости. Положение шарика можно определить, задав угол ~р, образуемый осью пружины с вертикалью, и расстояние 1 от оси шарнира до центра шарика. Шарик может участвовать в двух колебаниях: во-первых, в колебаниях, при которых изменяется угол гр, во-вторых, в колебаниях, при которых изменяется расстояние 1.
Частота первого колебания определяется длиной пружины 1 и ускорением силы тяжести а, частота второго— коэффициентом упругости пружины й и массой шарика и. Если возбу- гг дить одновременно оба колебания, то шарик, вообще говоря, будет рг двигаться по некоторой сложной траектории (рис. 175), форма которой зависит от соотношения частот и начальных фаз обоих колебаний. В качестве второго примера рассмотрим тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (математический маятник) '). Этот Рис. Р75.
шарик может совершать два колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, причем частоты обоих колебаний точно совпадают (обе частоты-определяются длиной маятника 1 и ускорением силы тяжести д). В атом случае шарик, вообще говоря, движется по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаа обоих колебаний. Перейдем к сложению двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одной и той же частоты от, совершающихся вдоль координатных осей х н у.
Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом: х = а соз ш1, у Ь соз (ш1 + а), где а в разность фаз обоих колебаний. ') В 6 66 ь~ы предполагали, по такой маятник совершает колебания в заданной плоскости, вследствие чего его можно было рассматривать как систему с одной степенью свободы. 16а 243 Выражения (71.1) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебзниях. Чтобы получиль уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (71.1) параметр й Пз первого уравнения следует, что соз в1 = — „. (71.2) Следовательно, з!и ь1 =1/1 — х ил ' (71.3) Теперь развернем косинус во втором из уравнений (71Л) по формуле для косинуса суммьп подставляя при этом вместо созы1 и з1пь( их значения (71.2) и (71.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
