saveliev1 (797913), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Величина— д1 >>з зх ах Р»с. И? дает среднюю деформацию нилиндра. В силу того, что $ меняется с изменением х не по линейному закону, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинакова. Чтобы получить деформацию з в сечении х, нужно устремить Лх к нулю. Следовательно, (81.!) (знак частной производной взят потому, что $ зависит не только от х, но и от 1). Наличие деформации растяжения свидетельствует о существовании нормального напряжения о, прц малых 18 И. в. с»»>.>ье», к г 273 деформациях пропорционального величине деформации. Согласно (45.5) а= Ее= Š—, д$ (81.2) дх где Š— вюдуль Юнга среды. Отметим, что относительная деформация — „, а сле» д$ довательно, и напряжение о в фиксированный момент времени зависят от х (рнс. 198).
Там, где отклонения частиц от положения равновесия максим'=0 — ~ мальньп деформация и напряжение равны нулю. В местах, где ча- ФЗ стицы проходят через )в д0 положение равновесия, Ух — ь0 деформация и напряжение достигают мак- ~ — %=0 — -./ симального значения, причем положительные Рнс. 198. и отрицательные де. формации (т. е.
растяжения и сжатия) чередуются друг с другом. В соответ. ствии с этим, как уже отмечалось в 8 77, продольная волна состоит из чередующихся разрезкений и сгущений среды. Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 197, и напишем для него уравнение движения. Беря Ьх очень малым, ускорение цилиндра можно принять равным —,, Масса цилиндра равна РЯ Лх, где р — плотность недеформированной среды. Сила, действующая на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра Я на разность нормальных напряжений в сечении (х+ Ьх+ $+ Л$) и в сечении (х + $) 1=ЕЕ~( — дб) — ( — дб) 1.
(81.8) Величину ~ — ~ для малых б можно с большой сте- /дб З '1д ~„~, пенью точности представить в виде ( — ) = ф) + ~ — ф)~ б = ( — ~) + — ~ б, (81.4) во всех точках этого объема можно было считать огн наковымн и равными соответственно, —. и —. д5 д$ дх д1 ' Согласно формуле (46.15) выделенный нами объем 61дет обладать потенциальной энергией упругой дефор- мации где е = — — относительное удлинение, а Š†моду дй Юнга. Заменим в соответствии с (81.6) модуль Юнга Е через рв' (р — плотность среды, и — фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии обжма 81Г примет внд (82.1) Рассматриваемый объем будет также обладать кинетической энергией 2(д1) (82.2) (рЛУ вЂ” масса объема, —,— его скорость). Выражения дй (82.1) и (82.2) в сумме дают полную энергию АЕ АЕь+ ЬЕ = — Р(( — ) + пх( — ) |М'. Разделив энергию ЬЕ на объем ЛУ, в котором она содержится, получим плотность энергии 2 р)( д~) +о ( — ) 1.
(82.3) Дифференцирование уравнения плоской волны (78.2) по 1 н х дает: дй . 1 х1 — = -ааз)па(1 — — ) д~ х)' дй а . ! х1 — = — азй1а(1 — — ). дх х ,) Подставив этн выражения в формулу (82.3), получим: и = рахат з)п' а (1 — х 1 = рата" "з)пх (аг — йх). (82.4) О)- В случае попсрсчпоп волны . ш плотности энергии полхчается такое же выражение. Как следует из (82.4), плопюсть энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса.
Поскольку среднее значение квадрата синуса равно половине, среднее (по времени) значение плотности энергии в каждой точке с еды б дет авно Р У Р й = — разоР. я (82.5) Плотность энергии (82.4) и ее среднее значение (82.5) пропорциональны плотности среды р, квадрату частоты ы и квадрату амплитуды волны а. Подобная зависимость имеет место ис только для плоской волны с постоянной амплитудой, по и для других видов волн. Итак, среда, в которой возникает волна', обладает дополнительным запасом энергии.
Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной, следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, псреноснмое волной через некоторую поверююсть в единицу времени, называется потоком э не р г пи Ф через поверхность. Поток энергии — скалярная величина, размерность которой равна размерностп энергии, деленной на размерность времени, т.
е. совпадает с размерностью мощности. В соответствии с этим Ф можно измерять в эрг/сек, ваттах и т. д. Поток энерпш в разных точках среды может обла. дать различной интенсивностью. Для характеристики течения энергии в разных точках простраиетва вводится векторная величина, называемая и лот ность ю п о. тока э и е р г и и.
Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, повешенную в данной точке перпендикулярно к направленшо, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энерпш совпадает с направлением переноса энергии. Пусть через площадку ЛЯх, перпендикулярную к на» правлению распространенна волны, переносится за время ог' энергия ЛЕ. Тогда плотность потока энергии / по определению равна (82.6) ае Учитывая, что — есть поток энергии ЛФ через по- М верхность Л5, можно написать.' 1=— ЬФ (82.7) Ьзь' Через площадку Л5 (рис. 199) за время Лг будет перенесена энергия ЛЕ, заключенная в объеме цилиндра с основанием Л5 и высотой иЛ1 (в — фазовая скорость волны).
Если размеры цилиндра достаточно малы (за 38 счет малости Л5 и Л1) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ЛЕ можно найти как произведение плот. ности энергии и на объем цилиндра, равный Л5 о ЛЕ Рис. 1% ЛЕ = и Л5хо ЛЕ Подставив это выражение для ЛЕ в формулу (82.6), получим: )=ио. (82.8) Рассматривая фазовую скорость о как вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны (н переноса энергии), можно написать: и ич. (82.9) Вектор плотности потока энергии. был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским Лг физиком Н. А. Умовым и называется в е к т о р о м У м о в а.
Рне 200. Вектор (82.9), как и плотность энергии и, различен в разных точках пространства, а в данной точке пространства изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение его с учетом (82.8) равно ),р —— ич = — ра'ьгч. 1 (82.10) Зная ) в некоторой точке пространства, можно найти поток энергии через помещенную в эту точку любым об- 276 разом ориентированную малую площадку ЛЯ (рнс. 200). Для этого спроектируем Л5 на плоскость, перпендикулярную к вектору ). Величина проекции ЛЯ будет, очевидно, равна (82.1!) ЛЯ„= ЛЯ сова, где а — угол, образованный нормалью и к ЛЯ н вектором 1. Вследствие малости ЛЯ можно считать, что через ЛЯ течет такой же поток, как и через ЛЯ .
Поток гке через Л5 „в соответствии с (82.7) равен ЛФ =1ЛЯ„. Заменяя Л5 его значением (82.11), получаем: ЛФ = (ЛЯ соз а. Но 1соза есть не что иное, как величина составляющей вектора ) по направлению нормали п к площадке ЛЯ: 1 =(сози. Следовательно, можно написать, что ЛФ = 1„ЛЯ. (82. 12) Итак, поток энергии через малую площадку ЛЯ равен произведению нормальной составляющей вектора плотности потока энергии иа ЛЯ. Зная 1 в любой точке произвольной поверхности Я, можно вычислить поток энергии Ф через эту поверхность. С этой целью разобьем поверхность ца элементарные участки Л5, столь малые, чтобы каждый из них можно было считать плоским, а вектор 1 в пределах каждого ЛЯ можно было считать постоянным как по величине, так и по направлению. Тогда элементарный поток ЛФ через каждый участок Л5 можно вычислить по грормуле (82.12), беря для каждой ЛЯ свое значение 1„, которое зависит от.величины вектора 1 в том месте, где расположена площадка Л5, и от ориентации этой пло* щадки по отношению к 1.
Полный поток через поверхность 5 будет равен сумме элементарных потоков: Ф= 2~~ЛФ= ~'1,ЛЯ. (82. 13) 279 Полученное нами выражение является приближенным. Чтобы получить точное значение Ф, нужно устремить все Л5 к нулю. При этом сумма (82.13) перейдет в интеграл (82.14) который должен быть взят по всей поверхности 5. Формула (8214) дает связь между плотностью потока энергии в различных точках поверхности и 'потоком энергии через эту поверхность.
Вычислим поток энергии через волновую поверхность сферической волны. Нормальная составляющая вектора плотности потокз энергии во всех точках волновой поверхности одинакова и имеет среднее значение — 1 1 = — ра'в'и » з (а.— амплитуда волны на расстоянии г от источника). Вынося в (82.!4) постоянное значение 1» за знак интеграла, получим: Ф =1 5 = — ра'м-п4лг-, — 1 сг»х»» Если энергия волны не гюглощается средой, средний поток энергии через сферу любого радиуса дочжен иметь одинаковое значение: Ф, 2ярмеоаэгз = сопз1.
р»»» г Отсюда следует, что амплитуда а» сферической волны обратно пропорциональна расстоянию г от источника волны [см. (?8.9)[. В $ ?8 мы отмечали, что амплитуда плоской волны люжет быть постоянной лишь при условии, что энергия волны не поглощается средой. В противном случае интенсивность волны с удалением от источника постепенно уменьшается — наблюдается затухание волны. Как показывает опыт, такое затухание происходит ~о эксповенциальному закону. Это означает, что амплитуда волны убывает с расстоянием х по закону а = аче-т*, так что уравнснне плоской волны имеет вид: а,е-т» саз (а1 — йх).
(82. 15) Величина у называется коэффициентом затух а н н я в о л н ы (или коэффициенТом поглощения ') волны). Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратная у, равна расстояишо, на котором амплитуда волны уменьшается в с раз (ср. с коэффициентом затухания колебаний !), ях 73). В соответствии с (82.!О) интенсивность волны (82.!5) убывает с расстоянием х по закону 1е,=1.,ве "" (82. ! 6) уравнение сферической волны, распространяющейся в тюглощающей среде, имеет виэх — тг / гт $ = — соз вт ! ! — — ). г о) (82.!7) й 83.
Интерференция и дифракцня волн Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна па другую, не возмущая друг друга. Это вытекаю!цее пэ опыта утверждение называется принципом с у и е р п о з и ц й и (наложеиия) волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
