Диссертация (792538), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Формы колебаний, коэффициенты динамичности иопасные направления сейсмического воздействия (показаны белыми стрелками)3.9. Модальный отклик на отдельные компоненты сейсмического движенияПредставим матрицу M s в блочном виде Msn6Ms ν k = ( Ms, X(= Ms , X n3)Ms ,  так, чтобыn3 νk,X M s , ) ,νk,(3.66)где вектора направляющих косинусов ν k , X и ν k , задаются формулами (3.64, 3.65).Тогда модальный отклик (3.57) по k -той форме колебаний разделяется на два вида внутренних сейсмических усилий SikX и Sik , действующих в направлении i -тойобобщенной координатыv k vTk M s , XS = k I X m iνk ,XM mod,kXikиv k vTk M s ,S = k I X m iν k , .M mod,kik(3.67)182Усилия SikX вызваны поступательным движением грунта, а Sik - ротационным.

Пофизическому смыслу эти усилия могут быть и силами, и моментами, в зависимости от того, какова i -тая координата – линейная или угловая.Найдем модальный отклик на отдельные компоненты сейсмического воздействия.Модальный отклик в направлении i -той обобщенной координаты от поступательного движения грунта вдоль оси O1 (Рисунок 3.1), равенSX1ikv k vTk M s , X= k I X m iν1 ,M mod,kν1 = (1 0 0 ) ,Tгде ν1 - единичный вектор, направленный вдоль оси O1 .

Аналогично модальныеотклики от сейсмических сил, действующих вдоль осей O 2 и O3 :SX2ikv k vTk M s , X= k I X m iν2 ,M mod,kν2 = ( 0 1 0) ,SX3ikv k vTk M s , X= k I X m iν3 ,M mod,kν 3 = ( 0 0 1) .T(3.68)TАналогично получаются модальные усилия Sik от переносных сейсмических моментов, приложенных относительно осей O1 , O 2 и O3 :S1ikv k vTk M s ,= k wI X miν1 ,M mod,kS2ikv k vTk M s ,= k wI X miν2 ,M mod,kS3ikv k vTk M s ,= k wI X miν3 .M mod,k(3.69)3.10. Опорные реакции от сейсмических сил и моментовПроведем расчет модальных опорных реакций в основании.

Эти параметры характеризуют динамическую реакцию конструкции по определенной форме колебаний. Вектор переносных сейсмических сил примем в виде (3.10)183Ps = −Msq0 ,где q 0 - шестимерный вектор сейсмического воздействияq 0 ( t ) = ( X0 α 0 ) ,TX0 ( t ) = ( X 10X 20X 30 ) ,Tα 0 ( t ) = ( 10 2030 ) ,TM s - матрица переносных инерционных коэффициентов, формируется по правилам, описанным в п. 3.2.

Допустим, n X строк матрицы M s соответствует поступательным обобщенным координатам, а n строк – угловым, причем n = nX + n . Если обнулить в матрице M s n строк, соответствующих угловому движению (обозначим эту матрицу MsX ), то в векторе Ps = −MsX q0 останутся только сейсмические силы. Если обнулить n X строк матрицы M s , соответствующих поступательным обобщенным координатам (обозначим эту матрицу Ms ), то в вектореPs = −Msq0 останутся только сейсмические моменты относительно основныхосей.

В силу линейности РДМ действует принцип суперпозиции, то есть динамическая реакция равна сумме реакций на приложенные раздельно сейсмическиесилы и моменты.Определим динамическую реакцию на переносные сейсмические силы. Модальные внутренние усилия рассчитываются по формуле (3.57). Так, усилие (физически представляет собой силу) по k -той собственной форме, действующее внаправлении i -той обобщенной координаты, равноSikQ = k I X miv k vTk MsXνk .M mod,k(3.70)Сумма сил SikQ по каждой обобщенной координате равна опорной реакции SkQ восновании при движении по k -той собственной форме: IS = k XM mod,kQknm v v Mi =1ikTkXsνk .(3.71)184Моменты в основании относительно основных осей РДМ равны сумме переносных сейсмических моментов и моментов от переносных сейсмических сил. Внутренний момент по k -той собственной форме, действующий в направлении i -тойобобщенной координаты, равенv k vTk MsS = k I X m iνk .M mod,kLikДобавим к внутреннему моменту SikL моменты от сил SikQ в виде векторного произведения радиус-вектора ri i -той обобщенной координаты (см.п.3.1) на векторсилы.

Окончательно получим внутренний момент в основании от i -той обобщенной координаты по k -той собственной форме:SikL = ri  ν k , X  k I Xmi v k vTk  M s ν k + M sX   ,rνM mod,k i k ,  (3.72)где вектора направляющих косинусов ν k , X и ν k , задаются формулами (3.64, 3.65).Сумма моментов SikL по каждой обобщенной координате равна опорной реакцииS kL в основании при движении по k -той собственной форме:Sk =k I XM mod,knm v vi =1ikTk r  νk ,X  X  i M s ν k + M s   .rν i k ,  (3.73)Проекции опорных реакций (3.71) и (3.73) на основные оси РДМ получаются призадании соответствующих направляющих косинусов (так же, как в п.3.9).3.11. Эффективные модальные массы, потенциальная энергия формы и учитываемые формы колебанийВнутренняя сила SikQ в направлении i -той обобщенной координаты для k -тойформы колебаний, возникающая в ответ на действие переносных сейсмическихсил и моментов, определяется по формуле (3.70).

Допустим, направление сейсми-185ческого воздействия задано вектором направляющих косинусов ν  , одинаковым6для всех форм колебаний, тогдаv k vTk MsXS = k I X m iν.M mod,kQik(3.74)SikQ можно трактовать как силу, под действием которой масса ik = miv k vTk MsXνM mod,kдвижется поступательно в направлении i -той обобщенной координаты с ускорением k I X .SikQ = k I X ik .Суммируя массы  ik , движущиеся в составе k -той формы, получим:n k =  ik =i =11M mod,knm v v Mi =1ikTkXsν.(3.75) k - физическая масса конструкции, вовлекаемая в движение по k -той форме.Масса  k называется эффективной модальной массой по k -той форме колебаний[61].В случае плоской консольной модели с диагональной матрицей инерцииM = diag  mi  ( i = 1, ..., n ) при одномерном поступательном сейсмическом движении вектор ν будет иметь одну ненулевую единичную компоненту, MsX = Ms ,произведение MsX ν превратится в n -мерный вектор-столбец m с компонентамиnmi ,  k = v m =  v jk m j , mi v k vTk MsX ν = mi v k vTk m = mi v k k , тогда в (3.75)Tkj =1nm v v Mi =1ikTknXsν = k  mi v k = k2 ,i =1следовательно, эффективная модальная масса по k -той форме колебаний будетравна186k = 2k.M mod,kЕсли отсутствуют угловые обобщенные координаты и ротационное движение,сумма модальных масс по всем формам колебаний равна общей массе конструкции (доказательство см.

в [61]).nnnM tot =  k =  ik .k =1k =1 i =1В некоторых нормах и руководствах (например, для атомных станций NS-G-1.6,ASCE4-98) встречается другое определение эффективной модальной массы. Онаприобретает смысл коэффициента, характеризующего инерционные параметрыконструкции по k -той форме колебаний, но при наличии угловых степеней свободы и учете ротаций это уже не физическая масса и не доля от общей массы конструкции. Если собственные формы ортонормированы с весом M (то естьvTk Mv k = 1 и vTj Mv k = 0 при j  k ), тоnν Mν =  2k ,T(3.73)k =1где  k = vTk Mν  - коэффициент участия k -той формы; доказательство (3.73) можnно найти в [100].

Принимая во внимание (3.73), под эффективной модальной массой30 понимают отношение 2kk = T,ν Mνnпричемk =1k= 1.(3.74)Величина νT Mν представляет собой скалярное значение (это не общая масса конструкции), в долях которого рассчитывают  k . Формулировка (3.74) применяетсяв модальном анализе для нахождения значимых собственных форм, то есть тех,которые определяют основную динамическую реакцию конструкции [92, 124].Чем больше масса сооружения, увлекаемая формой, тем больше динамическая ре30Иногда слово «эффективная» опускают.187акция по этой форме колебаний.

Поэтому в расчетах оставляют формы с максимальными эффективными модальными массами, так, чтобы суммарно обеспечитьне менее 90-95% от общей массы РДМ (критерий отбора значимых форм по эффективной модальной массе). Удобство применения этого критерия заключается впростоте отбора необходимого количества собственных форм для выполненияусловияnk =1k 1 . Однако есть и свои недостатки.

Во-первых,  k не учитываютблизость спектрального состава воздействия к спектру конструкции. Иными словами, правильно было бы обращать внимание и на значение модального коэффициента динамичности – чем он выше, тем ближе конструкция к резонансному режиму, тем значительнее динамическая реакция. Во-вторых, для расчета эффективной модальной массы (3.74) необходимо задать направление сейсмическоговоздействия ν , единое для всех собственных форм.

Если конструкция имеет двеоси симметрии в плане, можно задать два или три ортогональных направлениявдоль основных осей. С несимметричными пространственными РДМ дело обстоит сложнее [124] – приходится либо рассматривать целый ряд векторов направлений и отбирать те из них, которым соответствуют максимальные параметры динамической реакции, либо рассчитывать направления сейсмического воздействияпо формулам (3.64), (3.65), выбирая несколько векторов ν , задающих наиболееопасные направления для низших форм.Недостатки отбора значимых форм по эффективной модальной массе исключаются в работе [72], в которой предлагается определять существенные формы колебаний по величине скалярного коэффициента динамичности собственной формы k(3.58):vTk M sk =  kν k илиM mod,kk = kk.M mod,k(3.76)Каждый коэффициент k одновременно учитывает и коэффициент динамичностиk , и присущее k -той форме опасное направление.

Для конструкции из примера,188приведенного в п.3.8, КД формы равны31 1 = 409.85 , 2 = 400.88 , 3 = 43.27 . Таким образом, вклад в общую динамическую реакцию от движения по третьейформе составляет примерно 10% по сравнению с первой формой. С ростом эксцентриситета( x0 , y0 )влияние углового движения растет. Так, при уменьшениижесткости первой колонны с 0.8EI до 0.5EI , положение центра жесткости сместится из точки ( −0.16 − 0.16 ) в точку ( −0.43 − 0.43) , при этом КД форм колебаний принимают значения 1 = 409.86 , 2 = 338.81 , 3 = 119.00 . Вклад третьейформы колебаний составляет уже 29%.Приведем основные шаги алгоритма отбора значимых форм колебаний, предложенного Ю.П.

Характеристики

Список файлов диссертации