Диссертация (792538), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Гипотеза внешнего трения: матрица демпфирования пропорциональна матрицеинерции: B = 2M ,  - скалярный коэффициент.2. Гипотеза внутреннего трения: матрица демпфирования пропорциональна матрице жесткости: B = 2K ,  - скалярный коэффициент.3. Случай малой диссипации.Далее будем предполагать, что демпфирование в системе мало. При малой дисси1VT BV может считаться диагональнойпации матрица демпфирования 2ε = M −modε = diag k  , где k - модальный коэффициент демпфирования по k-той собственной форме.155Выполним подстановку q = Vu в (3.34) и умножим все уравнение сначала слева1на VT , а затем – слева на M−mod. С учетом (3.36), (3.37) система уравнений (3.34)принимает вид:u + 2εu + Ω2u = Q ,где un(3.38)1V T M sq 0 - вектор переносных- вектор главных координат, Q  = −M −modnсейсмических сил, приведенный к главным координатам или вектор модальныхсейсмических нагрузок.

Уравнение (3.38) в покомпонентном виде:uk + 2k uk + k2uk = Qk ,где Qk = −1M mod,k(3.39)vTk Msq0 . Решение уравнения (3.39) найдем с помощью интегралаДюамеля для случая малого демпфирования:t1uk =Qk exp  − k ( t −  )  sin  k ( t −  ) d  . k 0Множитель в выражении для модальной силы, не зависящий от времени, вынесемза знак интеграла:tvT Muk = − k s  q 0 (  ) exp  − k ( t −  )  sin  k ( t −  ) d  . k M mod,k 0(3.40)Обозначим w k  - шестимерный вектор, зависящий от вектора ускорения основа6ния q 0  , определенный для каждой k-той собственной формы6tw k ( t , q 0 ) = − k  q 0 (  ) exp  − k ( t −  )  sin  k ( t −  ) d  ,0тогда решение в главных координатах можно записать более компактно:vTk M s w kuk = 2.k M mod,k(3.41)156Напомним, что в формуле (3.41) v k  - вектор k-той собственной формы, M sn6n-матрица переносных инерционных коэффициентов, вектор w k имеет смысл ускорения, приведенного к k-той форме колебаний.Решение в исходном базисе определяют, используя разложение перемещений qпо собственным формам (3.35).

Найденным перемещениям q соответствуютобобщенные внутренние усилия S = Kq .Принимая во внимание, что KV = MVΩ2 , получим вектор отклика системы насейсмическое воздействиеS = Kq = KVu = MVΩ2u .(3.42)Формулу (3.42) представим в виде суммы, каждое слагаемое в которой соответствует реакции конструкции по конкретной форме колебаний. Вектор обобщенных координат q разложим по собственным формам v k :nq = Vu =  uk v k .k =1Вектор внутренних усилий S с учетом последней формулы так же равен суммевекторов модальных откликов S knnnS = Kq =  uk Kv k =  uk  Mv k =  Sk ,k =1k =12k(3.43)k =1здесь Sk = uk k2Mv k - вектор модальных усилий по k -той форме, uk - модальноеперемещение в главных координатах по этой форме.Представим i -тую строку матрицы инерции M (матрица M не обязательно диагональная) в виде вектора-строки m i  , i = 1,..., n . Такое представление даёт возnможность записать вектор S k в покомпонентной формеSik = k2mi v k uk ,157здесь Sik - модальное внутреннее усилие по k -той собственной форме, действующее в направлении i -той обобщенной координаты.

С учетом (3.41) получимформулу для расчета величины модального внутреннего усилияmi v k vTk M sSik =wk .M mod,k(3.44)3.5. Статическое решениеВ нормах по сейсмическим расчетам применен статический подход, при котороминтенсивность сейсмического воздействия задается константой. Внешние сейсмические силы прикладываются к конструкции статически, следовательно, внутренние усилия не зависят от времени, что значительно упрощает дальнейшие конструктивные расчеты.В статической постановке вектор сейсмического воздействия q0  ( t ) = I X  ν66(t )превращается в вектор с постоянными коэффициентами q0 = I X ν = const .

Смыслпостоянных во времени направляющих косинусов пока оставим неопределенным;он прояснится ниже, когда вектор ν будет трактоваться либо как вектор опасныхнаправлений сейсмического воздействия, либо как известное заданное направление.Рассмотрим уравнения движения в главных координатахuk + 2k uk + k2uk = Qk ,где Qk = −IXI6nvTk M s ν  или, что то же, Qk = − X vTk Mν  - модальные сейM mod,kM mod,kсмические силы. Сейсмические силы образуют вектор1Q = − I X M −modV T M s ν  .6(3.45)Эти силы постоянны во времени и прикладываются к системе статически.Модальное перемещение от статической нагрузки равно158ukст = −IXM mod,k vTk M s ν  .62kМинус показывает, что перемещение направлено против направления движениягрунта.Динамические перемещения получим, умножив статические ukст на модальныйкоэффициент динамичностиuk = k ukст = −k I X6vTk M s ν  .2M mod,k k(3.46)Если переносные инерционные силы представлены в виде (3.11), то модальныеперемещения в главных координатах (3.46) равныuk = −k I XnvTk Mν  .2M mod,k k(3.46’)Перемещения в исходных обобщенных координатах определяются по формулеq = Vu , где вектор-столбец u составлен из элементов uk .

Вектор q состоит из перемещений qi = vTi u , перемещение qi соответствует i -той обобщенной координате.3.6. Модальные коэффициенты динамичности и спектры ускоренийКоэффициент динамичности по определению равен отношению максимальногозначения динамического перемещения к перемещению от статической нагрузки.Рассмотрим вынужденные колебания системы с одной степенью свободыmx + bx + kx = P ( t ) ,здесь m - масса осциллятора, b - коэффициент вязкого сопротивления, k - коэффициент жесткости, P ( t ) - сейсмическая сила.

В стандартной форме это уравнение имеет видx + 2x +  2 x =1P (t ) ,m(3.47)159где  =bk- коэффициент демпфирования, 2 =- квадрат собственной часто2mmты осциллятора.При статическом методе расчета к системе (3.47) прикладываются статическиесейсмические нагрузки. Для статических нагрузок решение x = xст не зависит отвремени, что равносильно отбрасыванию двух первых слагаемых в левой части(3.43)x + 2x +  2 x =P =const1P (t )m→ 2 xст =1P.mРешая последнее уравнение, определяем перемещение от статически приложенной силы (статическое перемещение)xcт =P.m 2(3.48)Динамические перемещения определим с помощью коэффициента динамичности,который по определению равен=xдин,xcт(3.49)то есть максимальное динамическое перемещение xдин = xcт . Для линейных задачэто эквивалентно умножению сейсмических сил P на коэффициент динамичностиxдин = xcт =Pm 2(3.50)Сейсмические силы – это инерционные силы конструкции при кинематическомвозбуждении фундамента, то есть P ( t ) = −m  q0 ( t ) .

Если расчет проводится по акселерограммам, то за интенсивность воздействия q0 принимают либо максимальное значение модуля вектора ускорения грунта, либо его стандарт (, см. п.2.3. Врасчете по нормам интенсивность q0 равна нормативному значению ускорения160грунта. Во всех случаях постоянному значению ускорения q0 соответствует статическая сейсмическая сила P . С учетом (3.50) и последней формулы получаемальтернативный вариант формулы (3.49): = 2xдин.q0Коэффициент динамичности связан со спектром ускорений.

По формуле (3.50),для учета динамических эффектов статическую сейсмическую силу (фактически –ускорение q0 ) надо умножить на коэффициент динамичности  . Произведение q0 называется спектральным ускорением – это максимальное ускорение одномассового осциллятора с собственной частотой  (или собственным периодомT ). Для множества осцилляторов с разными собственными периодами T коэффициент динамичности  будет функцией  (T ) . Совокупность спектральных ускорений составляет спектр ускорений q0   (T ) .

Таким образом, коэффициент динамичности – это нормированный на величину интенсивности спектр ускорений.Алгоритм расчета функции  (T ) по заданной акселерограмме может быть следующим: правую часть уравнения (3.47) представляют в виде акселерограммыq0 ( t ) . Перемещение x ( t ) определяют численным интегрированием интегралаДюамеля, затем результат дважды дифференцируют и находят максимальное помодулю ускорение. Заметим, что акселерограмма q0 ( t ) - функция с высокочастотными составляющими, поэтому процедура двойного численного дифференцирования функции x ( t ) может быть крайне неустойчивой в вычислительномсмысле.

Для случая малого демпфирования можно воспользоваться приближен2ной формулой x ( t )   x ( t ) . Проведя эту процедуру для каждого собственногопериода T или частоты  , получают спектр ускорений. Далее этот спектр нормируют на величину максимального ускорения.161Описанный алгоритм основан на детерминированном подходе, при котором акселерограмма представляется в виде неслучайной функции от времени. Существуети альтернативная методика расчета КД, разработанная благодаря трудам замечательных отечественных ученых-механиков В.В. Болотина и М.Ф. Барштейна. Онапредполагает вероятностный подход к описанию сейсмического воздействия сприменением методов статистической динамики [40, 43, 35, 75]. Акселерограммаq0 ( t ) представляется как одна из реализаций случайного процесса и описываетсяс помощью его вероятностных характеристик, таких как математическое ожидание, дисперсия, спектральная плотность и корреляционная функция.

Характеристики

Список файлов диссертации