Диссертация (792538), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Каждый инерционный элемент обладает собственным числом степеней свободы – минимальным количеством (до 6 для пространственных систем) независимых переменных, однозначно определяющих егоположение в пространстве. Колебательный процесс инерционных элементов описывают обобщенные координаты (переменные, перемещения) – линейные и угловые перемещения по числу степеней свободы.Обобщенные координаты могут быть абсолютными, то есть задавать движение внеподвижной (неинерциальной) системе координат, и относительными – если система координат подвижная (инерциальная). При интегральном сейсмическомвоздействии оси подвижной системы считают «вмороженными» в абсолютнотвердое основание, а само основание совершает переносное движение – поступательное и ротационное24 движение относительно центра приведения вектора сейсмического воздействия (2.1).В теории сейсмостойкости уравнения движения РДМ записывают в относительном движении.
Это связано с тем, что упругие силы и силы вязкого сопротивления совершают работу на относительных перемещениях и скоростях, следова24Ротационное движение – колебательное угловое движение с небольшими углами поворота.129тельно, от них зависят внутренние усилия, напряжения и, в конечном итоге, прочность конструкции.Как известно из курсов теоретической механики и теории колебаний, уравненияотносительного движения содержат переносные инерционные силы. Силы инерции, действующие на тело, равны произведению матрицы инерции на вектор абсолютных ускорений. Определим инерционные силы, действующие на отдельновзятое абсолютно твердое тело РДМ.Введем неподвижную систему координат O123 . Центр тяжести тела с массой mрасположен в точке С с радиус-вектором r = ( x1C , x2C , x3C ) .
Пусть оси O123 явTляются для этого тела главными осями инерции, а параллельные им оси C123 главными центральными. Моменты инерции в осях C123 обозначим 1 , 2 , 3(для сосредоточенной массы 1 = 2 = 3 = 0 ). Движение центра тяжести тела Сбудем описывать 6 обобщенными координатами – тремя линейными вдоль осейO123 и тремя углами поворота относительно этих осей.Подвижная система координат в начальный момент времени (до начала воздействия) совпадает с неподвижной O123 , а затем начинает движение, заданное векторами перемещений, скоростей и ускорений, приведенными к точке O (Рисунок3.1):X0 ( t ) = ( X 10X 20X 30 ) ,α 0 ( t ) = ( 10 2030 )X0 ( t ) = ( X 10X 20X 30 ) ,α 0 ( t ) = ( 10 2030 )X0 ( t ) = ( X 10X 20X 30 ) ,α 0 ( t ) = ( 10 2030 ) ,TTTTT(3.1)Tили в виде шестикомпонентных векторовq 0 ( t ) = ( X0 α 0 ) ,Tq 0 ( t ) = ( X0 α 0 ) ,TВектора (3.2) задают переносное движение системы.q0 ( t ) = ( X0 α 0 ) .
(3.2)T130Введем вектора относительных линейных и угловых перемещений, скоростей иускорений (относительно подвижных осей O123 ):X = ( X1X2X3 ) ,φ = ( 1 23 ) ,X = ( X1X2X3 ) ,φ = ( 1 23 ) ,X = ( X1X2X3 ) ,φ = ( 1 23 ) ,TTTTT(3.3)Tили в виде шестикомпонентных векторовq = ( X φ) ,q = ( X φ) ,TTq = ( X φ) ,T(3.4)а также абсолютных перемещений, скоростей и ускорений (относительно начального положения O123 ):Xabs = ( X 1absX 2 absX 3abs ) ,φabs = ( 1abs2 abs3abs ) .Xabs = ( X 1absX 2 absX 3abs ) ,φabs = ( 1abs2 abs3abs ) .Xabs = ( X 1absX 2 absX 3abs ) ,φabs = ( 1abs2 abs3abs ) .TTTTTРисунок 3.1.
Твердое тело в основных осяхT131Учитывая повороты относительно центра O , определим скорость поступательного движения Xabs как сумму относительной X + φ r и переносной скоростейX0 + α 0 r :Xabs = X + φ r + X0 + α 0 r ,(3.5)где φ r и α 0 r - векторные произведенияkφ r = 1x1Cl2x2Cm3 ,x3Ckα 0 r = 10x1Cl 20x2Cm30 ,x3Ck , l , m - тройка направляющих ортов радиус-вектора r .Угловая скорость при малых ротациях равнаφabs = φ + α 0 .В покомпонентном виде:X1abs = X1 + X10 + 2 x3C − 3 x2C + 20 x3C − 30 x2C ,1abs = 1 + 10 ,X 2abs = X 2 + X 20 − 1x3C + 3 x1C − 10 x3C + 30 x1C ,2 abs = 2 + 20 , (3.6)X 3abs = X 3 + X 30 + 1x2C − 2 x1C + 10 x2C − 20 x1C ,3abs = 3 + 30 .Запишем выражение для кинетической энергии:1111T = m ( X 12abs + X 22abs + X 32abs ) + 112abs + 222 abs + 332abs .2222Чтобы получить силы инерции в уравнениях относительного движения, необходимо взять частные производные от T по относительным скоростям X i , i , учитывая (3.6), и продифференцировать по времени:T= m ( X1 + X10 + 2 x3C − 3 x2C + 20 x3C − 30 x2C ) ,X1132T= m ( X 2 + X 20 − 1x3C + 3 x1C − 10 x3C + 30 x1C ) ,X 2T= m ( X 3 + X 30 + 1x2C − 2 x1C + 10 x2C − 20 x1C ) ,X 3T= m ( − x3C ) ( X 2 + X 20 − 1 x3C + 3 x1C − 10 x3C + 30 x1C ) +1+ mx2C ( X 3 + X 30 + 1 x2C − 2 x1C + 10 x2C − 20 x1C ) + 1 ( 1 + 10 ) ,T= mx3C ( X 1 + X 10 + 2 x3C − 3 x2C + 20 x3C − 30 x2C ) +2+ m ( − x1C ) ( X 3 + X 30 + 1 x2C − 2 x1C + 10 x2C − 20 x1C ) + 2 ( 2 + 20 ) ,T= m ( − x2C ) ( X 1 + X 10 + 2 x3C − 3 x2C + 20 x3C − 30 x2C ) +3+ mx1C ( X 2 + X 20 − 1x3C + 3 x1C − 10 x3C + 30 x1C ) + 3 ( 3 + 30 ) ,Дифференцируем по времени и получаем инерционные силы:()()()()()()по X 1 : I X 1 = m X1 + 2 x3C − 3 x2C + m X10 + 20 x3C − 30 x2C ,по X 2 : I X 2 = m X 2 − 1x3C + 3 x1C + m X 20 − 10 x3C + 30 x1C ,по X 3 : I X 3 = m X 3 + 1x2C − 2 x1C + m X 30 + 10 x2C − 20 x1C ,по 1 :I 1 = m ( − x3C ) ( X 2 − 1x3C + 3 x1C ) + mx2C ( X 3 + 1x2C − 2 x1C ) + 11 ++m ( − x3C ) ( X 20 − 10 x3C + 30 x1C ) + mx2C ( X 30 + 10 x2C − 20 x1C ) + 110 ,по 2 :I 2 = mx3C ( X 1 + 2 x3C − 3 x2C ) + mx3C ( X 10 + 20 x3C − 30 x2C ) ++ m ( − x1C ) ( X 3 + 1 x2C − 2 x1C ) + m ( − x1C ) ( X 30 + 10 x2C − 20 x1C ) ++22 + 2 20 ,133по 3 :I 3 = m ( − x2C ) ( X 1 + 2 x3C − 3 x2C ) + m ( − x2C ) ( X 10 + 20 x3C − 30 x2C ) ++ mx1C ( X 2 − 1 x3C + 3 x1C ) + mx1C ( X 20 − 10 x3C + 30 x1C ) ++33 + 330 ,Как видно из последних формул, вектор инерционных сил разделяется на два слагаемых:I = M Oq + M Oq 0 = M O ( q + q 0 ) ,(3.7)здесь M O - матрица инерции твердого тела при относительном движении m 0 0MO = 0 mx3C −mx2C0−mx3Cmx2C−mx2Cmx1C00m000mmx3C0−mx1C−mx3Cmx2C1 + m ( x32C + x22C )−mx1C x2C0−mx1C−mx1C x2C2 + m ( x12C + x32C )mx1C0−mx1C x3C−mx2C x3C−mx1C x3C,−mx2C x3C3 + m ( x22C + x12C ) а MOq0 - переносные инерционные сейсмические силы.(Для случая плоского переносного движения q0 ( t ) = X 10(3.8)X 200 ) тела массойm , моментом инерции и радиус-вектором центра тяжести r = ( x1CTx2C ) матри-ца M O имеет вид mMO = 0 mx2C0m−mx1C. + m ( x12C + x22C ) mx2C−mx1C(3.8’)3.2.
Уравнения относительного движенияБудем считать, что обобщенные перемещения РДМ и вектор сейсмического воздействия заданы в одной системе координат; для определенности примем, что этоосновные оси здания. Если сейсмическое воздействие имеет ротационные компо-134ненты, или РДМ допускает угловые перемещения, координаты масс в подвижныхосях определяют значения элементов матрицы инерции и связанных с ними переносных сейсмических сил (см.
(3.8)). Выбирая в качестве подвижных осей основные оси конструкции, мы получаем соответствующие друг другу матрицу инерции РДМ и переносные сейсмические силы. Если движение грунта поступательное при наличии только линейных степеней свободы РДМ, матрица инерции независит от координат масс, и в этом случае начало подвижных осей можно выбирать произвольно.При учете ротаций и (или) наличии угловых степеней свободы РДМ матрицаинерции M для системы с n степенями свободы формируется по обычным правилам (например, как согласованная или несогласованная матрица по методу конечных элементов), с учетом недиагональных «добавок» (3.8) по обобщенным координатам всех инерционных элементов: узловых, сосредоточенных масс и абсолютно твердых тел.
Кроме того, в матрице M изменятся (при наличии в РДМ угловых степеней свободы) диагональные моменты инерции. Для n -мерных системвектор инерционных сил представляет собой произведение матрицы инерции навектор сейсмического воздействия Mq0 , но вектор q 0 будет n -мерным, сформированным в соответствии со степенями свободы РДМ. Так, если i -тое уравнениедвижения соответствует поступательному движению вдоль одной из осей, то в i той строке вектора q 0 должно стоять ускорение грунта вдоль этой оси; если этоуравнение описывает угловое движение относительно одной из осей, в i -тойстроке вектора q 0 должно стоять ротационное ускорение относительно этой оси.Заметим, что пространственную ориентацию n -мерного вектора q 0 будет задавать n -мерный вектор направляющих косинусов ν . Он формируется по тем жеnправилам, что и q0 .
Учитывая (2.17)), получимnq0 ( t ) = I x νnn(t ) .(3.9)135Таким образом, в i -той строке вектора ν располагается направляющий косинусnпоступательного или углового движения, в зависимости от того, какая компонента вектора q 0 соответствует i -тому уравнению движения.Второй вариант представления переносных сейсмических сил предусматривает врасчете шестимерный вектор q 0 , заданный в виде (3.2). Для систем с n степенямисвободы введем матрицу переносных инерционных коэффициентов M s так, чтобы произведение Msn6q0 давало вектор инерционных сейсмических сил для всей6системы.
Матрица M s такова, что в её i -той строке располагается вектор mO ,i ,6который зависит от движения по этой степени свободы. Если обобщенная координата поступательная вдоль осей 1, 2 или 3, то mO,i есть 1, 2 или 3 строка матрицы инерции M O (см. (3.8)). Если степени свободы соответствует угловое движение относительно осей 1, 2, 3, то вектор mO,i соответственно равен 4, 5 или 6строке матрицы M O .Далее для представления переносных сейсмических сил чаще будет применятьсявторой вариант, он более удобен для систем с малым количеством степеней свободы.
Чтобы не возникло путаницы относительности размерностей векторов q 0 иν , будем либо оговаривать это отдельно, либо указывать размерность в верхнеминдексе, например, q0 для вектора ускорений (3.2) или q0 . Переносные инерци6nонные силы в обоих случаях будут одинаковыми:Ps = −M sq0 ,(3.10)Ps = −Mq0 .(3.11)6nЗапишем уравнения относительного движения для системы с n степенями свободы. Применим принцип Даламбера, для чего просуммируем инерционные, восстанавливающие упругие силы и силы вязкого сопротивления и приравняем этусумму к нулю:136Mq + Mq0 + Bq + Kq = 0 или Mq + M sq0 + Bq + Kq = 0 .n6ОкончательноMq + Bq + Kq = Ps ,(3.12)здесь q - вектор относительных обобщенных координат, M nnn , Knnи Bnn -матрицы инерции, жесткости и демпфирования РДМ.
Будем считать, что матрицажесткости получена с учетом сил и моментов от продольных нагрузок25. В правой части формулы (3.12) записаны переносные инерционные сейсмические силыи моменты в виде (3.10) или (3.11).Их прикладывают к массам системы как обычные внешние вынуждающие силы.Таким образом, кинематическое воздействие на систему представляется в относи-3тельном движении как силовое. Покажем это наX1простых примерах.P1mПример 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
