Диссертация (792538), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Одномассовый осциллятор под действием поступательного X 0 и ротационного  0 уско-hEIрений грунта (Рисунок 3.2):q0 = ( X 00X01Рисунок 3.2.Система с одной степеньюсвободы0 ) .TСистема имеет одну степень свободы и однуобобщенную координату – перемещение X 1 . Вматрице M s (3.8’) оставим первую строку, соответствующую перемещению X 1 , учитывая, чтоцентр тяжести массы m имеет координату ( 0, h ) :При расчетах с помощью конечно-элементных программных комплексов эти нагрузки (например, Р-Δ-эффект,при котором появляются дополнительные силы и моменты от смещений верхней части конструкции) учитываютсяв матрице жесткости пространственной РДМ автоматически.25137Ms = ( m mh ) 26.

Переносная сейсмическая сила, действующая на массу m в от-()носительном движении, в силу (3.10) равна P1 = −m X 0 + h0 , на Рисунке 3.2направление P1 показано с учетом знака минус.Уравнение движения получим по принципу Даламбера. Для этого просуммируемсилы, действующие на массу по горизонтали, включая силу инерции, упругую силу и переносную сейсмическую силу:mX1 + cX1 = P1 ,здесь c =3EI- жесткость стержня. Уравнение вынужденных колебаний в станhX1 + 02 X1 = − X 0 − h0 ,дартном видегде 02 =2X1 3m, C3EI- квадрат собственной частотыmhсистемы.M2P1Пример 2. Тело массой m и моментоминерции в главных центральных осях Chнаходится под сейсмическим воздействием,EIзаданным поступательным X 0 и ротационным  0 ускорениями грунта (Рисунок 3.3):O0X01Рисунок 3.3. Система с двумястепенями свободыq0 = ( X 00 ) .TСистема имеет две степени свободы и двеобобщенные координаты: X 1 и  .

Координата центра тяжести массы m ( 0, h ) , тогдаматрица M s (3.8’) равнаВ этом примере не получится задать сейсмические силы в виде (2.11), так как количество степеней свободыменьше размерности вектора воздействия.26138 m mh Ms = , mh O где O = C + mh2 - момент инерции тела относительно точки O . Сейсмическиесилу и момент найдем по формуле (3.10):P1 = −m ( X 0 + h0 ) ,M 2 = − ( O0 + mhX 0 ) .(3.13)И момент, и сила прикладываются к телу как внешние нагрузки.

На Рисунке 3.3P1 и M 2 направлены с учетом знаков минус в формулах (3.13).В этом примере матрица инерции M совпадает с M s . Упругие восстанавливающие сила и момент линейно выражаются через обобщенные перемещения27: Q  EI  12 −6h  X 1  L  = 3  −6h 4h 2    .  h  Уравнения движения (3.12) в матричной форме (демпфирование не учитываем):Mq + Kq = −Msq0 ,гдеK=q = ( X1 )-вектор(3.14)относительныхобобщенныхкоординат,EI  12 −6h  - матрица жесткости, M, Ms - матрицы инерции и переносh3  −6h 4h 2 (ных инерционных коэффициентов, q0 = X 00 ) .TСистема уравнений (3.14) в развернутом виде:mX 1 + mh + Q = −m ( X 0 + h 0 ) ,O  + mhX 1 + L = − ( O 0 + mhX 0 ) .Пример 3. Консольный стержень с двумя телами под двухкомпонентным сейсми-(ческим воздействием q0 = X 00 ) , движение каждого тела описывается линейTВнутренние усилия в стержневом элементе определяются как произведение матрицы жесткости на вектор узловых перемещений, см.

литературу по методу конечных элементов, например, [67], [110].27139ными и угловыми обобщенными координатами q = ( X 11X22 ) (РисуTнок 3.4). Пусть m1 , 1 и m2 , 2 - массы и моменты тел в главных центральных осях,EI - суммарная изгибная жесткость стоек, h - высота этажа.Матрицы инерции M и переносных инерционных коэффициентов M s :00  m1 m1hm h 00 11O,M= 00m22m2 h 0 2m2 h 2O  01O = 1 + mh2 ,m1h  m1 mh1O 1,Ms = m22m2 h  2m2 h 2O (3.15)2O = 2 + 4mh2 .Так же, как в примерах 1 и 2, определяем сейсмические силы, действующие накаждое тело:P1 = −m1 ( X 0 + h0 )иP2 = −m2 ( X 0 + 2h0 ) ,и сейсмические моменты относительно центров тел:M1 = − ( 1O0 + m1hX 0 )иM 2 = − ( 2O0 + 2hm2 X 0 ) .На Рисунке 3.4 сейсмические силы и моменты направлены с учетом знаков минусв четырех последних формулах (действуют против обобщенных перемещений).На перекрытия действуют внутренние силы и моменты, они связаны с обобщенными перемещениями линейными соотношениями: Q0  EI  12 −6h   X 1 L = 3 ,2  0  h  −6h 4h  1 6h −12 6h   X 1  Q1  12L  6h 4h 2 −6h 2h 2     1  = EI  1  .3 Q2  h  −12 −6h 12 −6h   X 2  22  6h 2h −6h 4h   2  L2 На Рисунке 3.5 все усилия показаны так, как будто они действуют в одномнаправлении - против обобщенных перемещений.

Действительные знаки внутренних усилий учтены в последних формулах, так, например, Q1 = −Q2 .140M2m2 , 22m1 , 12P2X2EIM11EI 2 2hP1L1Q1X1h0 , X 0111X1L0Q0Рисунок 3.4. Консольныйстержень с двумя телами поддействием переносных сейсмических силm2 X 2X2Q2L2m1 X1Рисунок 3.5. Восстанавливающие и даламберовы силы и моментыПо принципу Даламбера получим уравнения движения. Рассмотрим равновесиетел, мысленно «вырезав» их и приложив суммарные упругие восстанавливающиесилы Qi и моменты Li( i = 0,1,2) ,действующие в сечениях стержней (Рисунок3.5).Два уравнения движения получим, приравняв к нулю сумму всех сил по горизонтали для каждого тела.

В сумму включаем силы инерции, упругие восстанавливающие и переносные сейсмические силы:m1 X1 + m1h1 + Q0 + Q1 = −m1 ( X 0 + h0 ) ,m2 X 2 + 2m2h2 + Q2 = −m2 ( X 0 + 2h0 ) .Сумма моментов, действующих на каждое тело, так же должна быть равна нулю,это условие дает еще два уравнения:11 + m1hX1 + L0 + L1 = − ( 1O0 + m1hX 0 ) ,14122 + 2m2hX 2 + L2 = − ( 2O0 + 2m2hX 0 ) .Система уравнений относительного движения в матричном виде:Mq + Kq = −Msq0 ,где матрицы M и M s заданы в виде (3.15), K - матрица жесткости0−12 6h  248h 2 −6h 2h 2 EI  0.K= 3h  −12 −6h 12 −6h 22  6h 2h −6h 4h Пример 4.Рассмотрим движение абсолютно жесткой плиты на N стойках различной жесткости (Рисунок 3.7) ki1 , ki 2 ( i = 1,..., N ) под действием двух горизонтальных поступа-(тельных компонент сейсмического ускорения: q0 = X10X 20 ) .

Масса плиты иTмомент инерции относительно главной центральной оси C 3 равны m и 3С .3322k12 , k22X2Оx1CX1Сx2C11k1i , k2iX 20k11 , k21X10k1N , k2 NРисунок 3.6. Пространственная модельс несовпадающими центрами масс и жесткости.Особенность этой модели в том, что центр масс плиты С и центр жесткости О несовпадают. Напомним, что в расчетных схемах каркасных зданий с жесткими142плитами перекрытий центром жесткости (или центром изгиба) называют точкуперекрытия, в которой момент от равнодействующей всех поперечных сил равеннулю (внутренние поперечные силы возникают в вертикальных стойках и другихсвязях в ответ на внешнее воздействие).

Это означает, что:1) при приложении к центру жесткости внешней горизонтальной силы движениеперекрытия происходит строго поступательно в направлении действия этой силы,при приложении к центру жесткости внешнего момента перекрытие поворачивается в горизонтальной плоскости относительно этого центра без каких-либо линейных перемещений;2) если горизонтальная внешняя сила или момент приложены в любой другойточке, перекрытие будет совершать поступательное движение и поворот в горизонтальной плоскости относительно центра жесткости.Координаты центра жесткости O( x1Cx2C ) определяются относительно цен-тральных осей C123 из уравнения равновесия: равнодействующая поперечныхсил не создает момент относительно точки O . Допустим, произвольная внешняясила P приложена в центре жесткости O в направлении оси O1 (Рисунок 3.8).Перекрытие смещается на величину X 1 вдоль этого направления без поворотов, ав N стойках возникают упругие восстанавливающие силы Q1i и Q2i с равнодейNNi =1i =1ствующей Q1 =  k1i X1 = X1  k1i , i - номер стойки, k1i - изгибная жесткость понаправлению O1 .Главный момент этих сил относительно точки O равен нулю(сила P момента не создает)NL3 = X1  k1i ( x1i − x2C ) = 0 ,i =1где x1i - координата i -той стойки в центральных осях C123 в направлении 1.143Q1222ОX1Q1iС1Px2C1Q11Q1Nx1CРисунок 3.7.

К определению координатцентра жесткости.Из последней формулы следует выражение для координаты центра жесткости x2Cв осях, связанных с центром масс (аналогичное выражение можно получить длякоординаты x1C )Nx1C =ki =1NNki =1x2 i 1i,x2C =ki =1Nx1i 2 ik2ii =1,(3.24)1iздесь x1i , x2i - координаты i -той стойки в центральных осях CXYZ .Введем обобщенные координаты (Рисунок 3.7), описывающие движение центражесткости плиты O : линейные перемещения X 1 , X 2 вдоль осей O1 , O 2 и угловое  в горизонтальной плоскости относительно точки O .

Фактически движениеплиты можно рассматривать как колебания физического маятника относительноточки подвеса – точки O , которая, в свою очередь, движется только поступательно.Суммарные поперечные силы равныNNi =1i =1Q1 =  Q1i =  k1i X1 = K1 X1 ,NNi =1i =1Q2 =  Q2i =  k2i X 2 = K 2 X 2 ,144NNi =1i =1здесь K1 =  k1i , K 2 =  k2i - общие жесткости перекрытия в направлениях O1 иO2 .Момент от поперечных сил равенNNNi =1i =1i =1L3 =  ( −Q2i x1i + Q1i x2i ) = − k2i x1i X 2i +  k1i x2i X 1i .Перемещения i - той стойки при повороте на малый угол  равны X1i = −x2i иX 2i = x1i .

После подстановки перемещений в формулу для L3 получимN N2L3 = −   k2i x1i +  k1i x22i   = − K12 ,i =1 i =1NNi =1i =1где K12 =  k2i x12i +  k1i x22i - общая угловая жесткость перекрытия.Матрицы M и M s формируются на основе матрицы M O . Матрица инерции системы получается из матрицы M O (3.8), если в ней оставить строки и столбцы,соответствующие обобщенным координатам X 1 , X 2 и  .

Характеристики

Список файлов диссертации