Диссертация (792538), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Посколькучаще всего расчет на сейсмостойкость проводят по единственной записи землетрясения, соответствующий процесс считают эргодическим. Решение x ( t ) является реакцией стационарной линейной системы на внешнее случайное воздействие q0 ( t ) , а уравнение (3.47) используется для получения связи спектральныхплотностей случайных процессов на входе и выходе линейной системы.При случайных нагрузках коэффициент динамичности (3.49) представляет собойреализацию случайного процесса. Как любой случайный процесс, он характеризуется своими вероятностными параметрами.

Для эргодического случайного процесса рассеяние коэффициента динамичности описывается его стандартом =x,xcтздесь  x - стандарт перемещения x ( t ) . Стандарт  принимают за коэффициентдинамичности в статистической динамике. Поскольку стандарт – неслучайная величина, его удобно использовать при расчетах. Формула (3.49) для стандартовпринимает вид: = 2x.q0162Для многомерных систем коэффициент динамичности представляет собой функцию собственных частот  k (или периодов Tk =2) [75]:k124G()ka (  k ,  ) =  d . 0 (  2 − 2 )2 +  2  22kkздесь  = 2k- коэффициент рассеяния энергии, Ga ( ) - сглаженная спектральkная плотность входного процесса a ( t ) .Рисунок 3.10.

Три графика КД для поступательного движенияи общая огибающая. Землетрясение в г. Спитак, 1988 г.Рисунок 3.11. Три графика КД для ротационного движенияи общая огибающая. Землетрясение в г. Спитак, 1988 г.163При расчете по акселерограммам каждой записи соответствует своя диаграммакоэффициента динамичности в осях собственных периодов. Для шестикомпонентного воздействия таких диаграмм будет шесть.

В [75] предлагается принимать за модальный КД k ( k ) общую огибающую всех диаграмм коэффициентовдинамичности.3.7. Модальные усилия и перемещения. Коэффициенты формы и участияДинамическая реакция системы включает внутренние усилия и перемещения пообобщенным координатам РДМ. Величину модального внутреннего усилия Sik(модальное усилие по k -той собственной форме, действующее в направлении i той обобщенной координаты) находят, применяя стандартный прием по формулам (3.42) - (3.44).

С учетом (3.46), опуская минус, получимSik = k I X miv k vTk Ms 6ν .M mod,k(3.51)Если переносные инерционные силы представлены в виде (3.11), тоv k vTk M nSik = k I X miν .M mod,kМодальные усилия Sik - это внутренние упругие восстанавливающие силы, действующие в направлениях обобщенных координат; это динамическая реакцияконструкции в ответ на внешние переносные силы инерции (они находятся в правой части уравнений (3.34)). Заметим, что при решении задач сейсмостойкости вквазистатической постановке модальные усилия Sik , рассчитанные по формуле(3.51), прикладывают по направлениям обобщенных координат и находят соответствующие им динамические перемещения конструкции.Коэффициентом участия k -той собственной формы колебаний называют скалярную величину k = vTk Mν  = vTk M s ν  .n6(3.52)164Тогда внутреннее усилие равноSik = k I Xkmi v k .M mod,kУсилие Sik часто записывают в более краткой форме, через вектор коэффициентов формы колебаний ηk nSik = k I X mi ηk ,гдеv k vTk M s ν  v k vTk Mν kηk ===vk .M mod,kM mod,kM mod,k6n(3.53)Коэффициент формы принимает более привычный вид, знакомый по строительным нормам, для плоской консольной модели с диагональной матрицей инерцииM = diag  mi  ( i = 1, ..., n ) при одномерном горизонтальном поступательном сейсмическом воздействии.

В этом случае вектор направлений ν будет иметь однуненулевую единичную компоненту, соответствующую движению по единственному поступательному направлению, произведение M s ν в (3.51) превратится в n мерный вектор-столбец с компонентами mi , коэффициент участия будет равенk = v Ms νTk 6n=  v jk m j . В результате внутренние усилия и коэффициент формыj =1примут видSik = k I X mi ik ,ik =1M mod,knvik  v jk m j .j =1Модальные усилия (3.52), соответствующие k -той собственной форме, можнопредставить в виде вектора с компонентами Sik :S k = k I X Mηk .(3.54)165Модальные перемещения по k -той собственной форме в исходном базисе вычисляются как произведение обращенной матрицы жесткости K на вектор (3.54)qk = K −1Sk = k I X K −1Mηk .В силу свойства собственных форм (3.36) получим вектор модальных перемещений по k -той собственной форме:q k = k I X1ηk .2k(3.55)3.8. Коэффициент динамичности формы и опасные направления сейсмическоговоздействияФормула (3.52) позволяет рассчитать Sik - модальное внутреннее усилие по k -тойсобственной форме, действующее в направлении i -той обобщенной координаты.Величина этого усилия зависит от вектора направления переносных сейсмическихсил в основной системе координат O123 , то есть от компонент вектора направляющих косинусов ν .Напомним, что при расчетах линейно-спектральным методом применяется статический подход, когда переменное во времени сейсмическое воздействие заменяется на статическое с постоянной ориентацией в пространстве.

При расчетах понормам нормативная интенсивность сейсмического воздействия известна, а вектор направляющих косинусов ν никак не определен. При расчете по акселерограммам есть возможность рассчитать функции направляющих косинусов поформулам (2.5), (2.6). Но опыт показывает, что направляющие косинусы векторасейсмического воздействия, рассчитанные по природным записям, отличаютсярезко выраженным случайным характером (Рисунок 2.5), имеют близкое к нулюматематическое ожидание и большую дисперсию, то есть обладают высокой изменчивостью. По этим графикам довольно сложно предположить какое-то однопреимущественное направление статического вектора воздействия.166Поскольку в этом вопросе существует неопределённость, применяют метод, отражающий один из принципов инженерного подхода: расчетные нагрузки задаются так, чтобы конструкция находилась в наиболее неблагоприятных условиях;этот принцип воплотился в методе поиска опасных направлений сейсмическоговоздействия.

Для каждой формы колебаний с номером k вводится своё индивидуальное опасное направление ν k , обеспечивающее максимум динамической реакции при движении этой форме.Заметим, что для однокомпонентного сейсмического воздействия опасноенаправление для всех форм колебаний одно – по направлению движения грунта(Рисунок 3.12). Так, если сейсмическое ускорение действует только вдоль оси O1 ,тоопасноенаправлениеν k , X ( t ) = (1 0 0 )Tопределяетсянаправляющимикосинусамидля каждой формы колебаний. При этом в пределах однойформы усилия могут иметь противоположные направления (как на Рисунке3.12в), за это отвечают коэффициенты формы.aв)б)а)Рисунок 3.12. Опасные направления сейсмических сил при одномерном воздействии167Сформулируем задачу о поиске опасных направлений сейсмического воздействия: требуется найти такие компоненты векторов направляющих косинусов поступательного и ротационного движенияν k , X ( t ) = ( k ,1Xk ,2 Xk ,3 X ) ,ν k , ( t ) = ( k ,1 k ,2 k ,3 ) ,TTили в виде общего вектора νk,X νk (t ) =  = (  k ,1 Xwνk, k ,2 X k ,3 Xw k ,1w k ,2w k ,3 ) ,T(3.56)чтобы модальная динамическая реакция конструкции по k -той форме колебанийбыла максимальной.

Напомним, что эта задача имеет смысл только при статическом расчете линейно-спектральным методом28, когда известна постоянная интенсивность воздействия, определяющая величины сейсмических сил, а их направления остаются неопределенными или обладают высокой изменчивостью.Будем оценивать динамическую реакцию конструкции по компонентам векторовмодальных откликов S k (3.54), k - номер формы колебаний. Рассмотрим i -туюкомпоненту вектора S k , то есть модальный отклик по i -той обобщенной координате и k -той форме колебанийv k vTk MsSik = k I X miνk .M mod,k(3.57)Выделим в (3.57) множитель, общий для всех компонент вектора S k (не меняющийся в зависимости от номера обобщенной координаты):vTk M sk =  kνk .M mod,k(3.58)Если переносные инерционные силы представлены в виде (3.11),Если расчет проводится во временной области по акселерограммам, направления сейсмического воздействияопределяются самими записями.28168k =  kvTk M nk,ν k = kM mod,kM mod,k(3.58’)где ν k  составляется из компонент вектора νk  (3.56) так же, как ν   из компоn6nнент ν  в п.3.2,  k - коэффициент участия (3.52).

В новых обозначениях внут6ренние усилия можно переписать так:Sik = k I X mi v k .(3.59)Скалярная функция k отвечает за величину динамической реакции по k -тойформе колебаний и, по определению Ю.П. Назарова [75], называется коэффициентом динамичности k -той формы колебаний. Отметим, что k линейно зависитот модального коэффициента динамичности k и компонент вектора направленияν k (3.56), связанных двумя нелинейными ограничениями - условиями нормировки 2k ,1 X +  k2 ,2 X +  2k ,3 X = 1 и 2k ,1 +  2k ,2  +  2k ,3 = 1 .Итак, опасные направления сейсмического воздействия для k -той формы колебаний определяются вектором ν k , который доставляет условный максимум функции k . Так как все компоненты вектора S k умножаются на коэффициент динамичности формы k , то реакция по k -той форме будет максимальной.Шесть неизвестных компонент вектора ν k получим методом неопределенныхмножителей Лагранжа, как в [75].

Составим функцию Лагранжа в видеL ( ν k , 1, 2 ) = k ( ν k ) + 1 ( k2,1X + k2,2 X + k2,3 X − 1) +  2 (  k2,1 +  k2,2 +  k2,3 − 1) .Приравняем к нулю частные производные функции Лагранжа по неизвестнымнаправляющим косинусам и множителям Лагранжа. Получим восемь уравненийотносительно восьми неизвестных: ( ν )L= k k + 21 k ,1 X = 0 , k ,1 X k ,1 X ( ν )L= k k + 2 2 k ,1 = 0 , k ,1 k ,1169 ( ν )L= k k + 21 k ,2 X = 0 , k ,2 X k ,2 XLk=+ 2 2 k ,2 = 0 , k ,2  k ,2 ( ν )L= k k + 21 k ,3 X = 0 , k ,3 X k ,3 X ( ν )L= k k + 2 2 k ,3 = 0 , k ,3 k ,3L=  2k ,1 X +  k2 ,2 X +  k2 ,3 X − 1 = 0 ,1L=  2k ,1 +  2k ,2 +  2k ,3 − 1 = 0 2(3.60)Рассмотрим частную производнуюk ( ν k )vTk  ( M s ν k )= k. k ,1 XM mod,k  k ,1 XПредставим матрицу M sn6Msn6(= ms ,1Xnв виде шести n -мерных столбцовms ,2 Xnms ,3 Xnms ,1nms ,2 n)ms ,3 .n(3.61)Так какMs ν k = k ,1X ms,1X + k ,2 X ms,2 X + k ,3 X ms,3 X + w( k ,1ms,1 + k ,2ms,2 + k ,3ms,3 ) ,тоn ( Ms ν k )= ms ,1 X . k ,1 XАналогично вычисляются все частные производные в (3.60), эта система уравнений может быть записана в виде:kkvTk ms,1 X + 21 k ,1 X = 0 ,vTk ms ,1 + 2 2 k ,1 = 0 ,M mod,kM mod,kkkvTk ms ,2 X + 21 k ,2 X = 0 ,vTk ms,2 + 2 2 k ,2 = 0 ,M mod,kM mod,kkkvTk ms ,3 X + 21 k ,3 X = 0 ,vTk ms ,3 + 2 2 k ,3 = 0 ,M mod,kM mod,k 2k ,1 X +  k2 ,2 X +  2k ,3 X = 1 , 2k ,1 +  2k ,2  +  2k ,3 = 1 .170Выразим направляющие косинусы через множители 1 и  2 : k ,1 X = −1 kvTk ms,1 X ,21 M mod,k k ,1 = −1kvTk ms,1 ,2 2 M mod,k k ,2 X = −1 kvTk ms,2 X ,21 M mod,k k ,2 = −1kvTk ms,2 ,2 2 M mod,k k ,3 X = −1 kvTk ms,3 X ,21 M mod,k k ,3 = −1kvTk ms ,3 ,2 2 M mod,k(3.62)множители 1 и  2 найдем из условий нормировки: k = 2Mmod,k21 k 22 =  2Mmod,k2  T222TT ( v k ms ,1 X ) + ( v k ms ,2 X ) + ( v k ms ,3 X )  , 2  T222TT ( v k ms ,1 ) + ( v k ms ,2  ) + ( v k ms ,3 )  . (3.63)Из формул (3.62) и (3.63) следует, что опасные направления определяются векторами:для поступательного движенияν k , X = k1 ( vTk ms,1 Xгдеk1 = vTk ms,2 XvTk ms,3 X ) ,T(3.64)1(v m ) + (v m ) + (v m )Tk2s ,1 X2Tks ,2 XTk;2s ,3 Xдля ротационного движенияν k , = k2 ( vTk ms,1гдеk2 = vTk ms,2vTk ms,3 ) ,(3.65)1(v m ) + (v m ) + (v m )Tk2s ,1Tk2s ,2 Tk2.s ,3Формулы (3.64-3.65) задают опасные направления сейсмического движения.171Добавим, что, если имеются сейсмологические данные о наиболее вероятномнаправлении сейсмического движения, проводят дополнительный расчет и на этинаправления.Пример 1.

Характеристики

Список файлов диссертации