Диссертация (792538), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Матрица переносныхинерционных коэффициентов M s получается из M O , если в ней оставить столбцы, соответствующие поступательному движению X10 , X 20 , и строки, соответствующие обобщенным координатам X 1 , X 2 и  : mM =  0 −mx2C0mmx1C−mx2C  mmx1C  , M s =  0 −mx3O 2C0 m  ,mx1C (3.25)3O = 3 + m ( x12C + x22C ) .Запишем уравнения движения в матричном виде относительно вектора обобщенных координат q = ( X 1X2) :TMq + Kq = −Msq0 ,(3.26)145где K = diag ( K1K2K12 ) - матрица жесткости, q0 = ( X10X 20 ) - вектор сейTсмического воздействия, матрицы M и M s определяются по (3.25).

Уравнениядвижения в развернутом виде:mX 1 − mx2C  + K1 X 1 = −mX 10 ,mX 2 + mx1C  + K 2 X 2 = −mX 20 ,3O  − mx2C X 1 + mx1C X 2 + K12 = −m ( − X 10 x2C + X 20 x1C ) .Правая часть третьего уравнения системы показывает, что при поступательномсейсмическом движении система с эксцентриситетом между центром масс и центром изгиба совершает не только изгибные, но и вынужденные крутильные колебания. Чтобы не нагружать конструкцию дополнительными крутящими моментами, эксцентриситет ( x1C , x2C ) должен быть минимальным.В [44] приведены уравнения движения модели многоэтажного каркасного зданиясо смещенными центрами масс с учетом P −  -эффекта и демпфирования.Пример 5. Модель каркасного здания с двумя перекрытиями под сейсмическимвоздействием, заданным двумя поступательными и ротационным ускорениями(грунта (Рисунок 3.8) q0 ( t ) = X 10X 30 20 ) . Обозначим m1 , 1 и m2 , 2 - массыTи моменты инерции перекрытий в их главных центральных осях, EI , EF - изгибная жесткость и жесткость на растяжение-сжатие каждой стойки, h - высота этажа, B - ширина перекрытия.

Движение каждого перекрытия описывается шестьюобобщенными координатами: относительными линейными горизонтальными перемещениями X 1 , X 2 , вертикальными Y1 , Y2 и угловыми 1 ,  2 (Рисунок 3.9).Введем вектор обобщенных координат:q = (Y1X 1 1 Y2X22 ) .T(3.27)Система включает два твердых тела, поэтому матрица инерции составляется издвух матриц M O (3.8’) так, чтобы соблюдалось соответствие между обобщенной146координатой и строкой M O . Для обоих перекрытий x1C = 0 , для первого перекрытия x2C = h , для второго x2C = 2h . Матрица M (O ) для первого (нижнего) перекры1(тия и воздействия q0 ( t ) = X 10X 30 20 ) имеет вид:T m1 0 m1h M O =  0 m1 0  ,m h 0  1O  1(1)1O = 1 + m1h2 .Для верхнего (второго) перекрытия:( 2)MOМатрицаq = (Y10 m2= 0m2 2m h 0 2инерцииX 1 1 Y2РДМX22m2 h 0  ,2O для2O = 2 + 4m2 h2 .вектораобобщенныхперемещений2 ) :T00 m1 0 0 m mh 011 0 m1h 1O 0M =00 m200000000000 00 00 .00 m22m2 h 2m2 h 2O (3.28)Определим сейсмические силы, действующие на каждое перекрытие.

Составим(матрицу M s для вектора сейсмического воздействия q0 ( t ) = X 10вектора обобщенных перемещений (3.27):m1 0 m0 1 mh0Ms =  1m2 0 m20 2m2 h 00 m1h 1O .0 2m2 h 2O X 30 20 ) иT147Вектор переносных сейсмических сил в направлении каждой обобщенной координаты равен P = −Msq0 , или в развернутом виде: PY 1  0 m PX 1  1 M1  hm1 = − PY 2  0P  m2 X 2 M 2hm2 2m100m2000 hm1 X 1O   10 , X0   30   20 2hm2 2O (3.29)В развернутом видеPX 1 = −m1 ( X10 + h20 ) , PX 2 = −m2 ( X10 + 2h20 ) ,PY 1 = −m1 X 30 , PY 2 = −m2 X 30 ,M1 = − ( hm1 X10 + 1O20 )иM 2 = − ( 2hm2 X10 + 2O20 ) ,На Рисунке 3.9 сейсмические силы и моменты направлены с учетом знаков минусв последних формулах.По принципу Даламбера получим уравнения движения.

Рассмотрим равновесиеперекрытий, мысленно «вырезав» их и приложив упругие восстанавливающие силы и моменты, действующие в сечениях стоек (Рисунок 3.9), а также даламберовысилы инерции (обозначены стрелками с серой заливкой).Введем узловые перемещения конечных элементов - стоек Ui ,Vi , i , ( i = 1,...,6)(Рисунок 3.8). Из условия абсолютной жесткости перекрытий и малости углов поворотов следует связь между узловыми перемещениями и обобщенными координатами:U 2 = U 5 = X 1 , U 3 = U 4 = X 2 ,  2 = 5 = 1 , 3 =  4 = 2 ,V2 = Y1 − 1BBBB, V3 = Y2 − 2 , V5 = Y1 + 1 , V4 = Y2 + 2 ,2222(3.30)148V3m2 , 2U33V4Y22 U 4X2EIEIV2m1 , 1U22V5Y11 U 5X15hEIEIX 30V1U14hV6U6X101206BРисунок 3.8.

Обобщенные координаты икоординаты конечных элементов.Граничные условия в относительном движении:U1 = 0, V1 = 0, U6 = 0, V6 = 0, 1 = 6 = 0.(3.31)Матрица жесткости стержневого элемента K эл связывает внутренние усилияNi , Qi , Li (i = 2,3, 4,5) с узловыми перемещениями:0 EF h12 EI h3 0 06 EI h 2K эл = 0 − EF h 0−12 EI h36 EI h 2 006 EI h 24 EI h0− 6 EI h 22 EI h− EF h00−12 EI h30− 6 EI h 2EF h0012 EI h30− 6 EI h 202 6 EI h 2 EI h 02− 6 EI h4 EI h (3.32)149m2Y2Y2PX 2PY 2M222Q3 X 22+ 2hm22 )Q4N4N3(L3(m X2O2 + 2hm2 X 2 )L4PY 1N3L3M1m1Y1Y1X1PX 1Q4Q51Q2L2N2N4L4(1O1 + hm1 X 1 )(m X11+ hm11 )L5N5Рисунок 3.9.

Силы и моменты на перекрытияПусть k j - j-тая строка матрицы K ( j = 1,...,6) . Тогда с учетом (3.30) и (3.31) продольные силы равны:N 2 = k 4 (V1 U1 1 V2 U 2 2 ) = ( EF h )(V2 − V1 ) = ( EF h )(Y1 − B1 2 ) ,TN3 = k 4 (V2 U 2 2 V3 U 3 3 ) = ( EF h ) (V3 − V2 ) =N 4 = k 4 (V5 U 55 V4 U 4 4 ) = ( EF h ) (V4 − V5 ) =N5 = k 4 (V6 U 66 V5 U 55 ) = ( EF h ) (V5 − V6 ) = ( EF h )(Y1 + B1 2 ) ,T= ( EF h ) (Y2 − Y1 − B ( 2 − 1 ) 2 ) ,T= ( EF h ) (Y2 − Y1 + B ( 2 − 1 ) 2 ) ,Tречные силы:Q2 = k 5 (V1 U1 1 V2 U 2= (12 EI h3 ) X 1 − ( 6 EI h2 ) 1,2 ) = (12 EI h3 ) (U 2 − U1 ) − ( 6EI h 2 ) 2 =Tпопе-150Q3 = k 5 (V2 U 2 2 V3 U 3 3 ) = (12 EI h3 ) (U 3 − U 2 ) − ( 6EI h 2 ) (  2 + 3 ) =T= (12 EI h3 ) ( X 2 − X 1 ) − ( 6 EI h2 ) ( 1 + 2 ) ,Q4 = k 5 (V5 U 5 5 V4 U 44 ) = (12EI h3 ) (U 4 − U 5 ) − ( 6EI h 2 ) (  4 + 5 ) =T= (12 EI h3 ) ( X 2 − X1 ) − ( 6 EI h 2 ) ( 1 + 2 ) ,Q5 = k 5 (V6 U 66 V5 U 5 5 ) = (12EI h3 ) (U 5 − U 6 ) − ( 6EI h 2 ) ( 5 + 6 ) =T= (12 EI h ) X 1 − ( 6 EI h ) 1,32из-гибающие моменты:L2 = k 6 (V1 U1 1 V2 U 2= − ( 6 EI h2 ) X 1 + ( 4EI h ) 1,L3 = k 6 (V2 U 2 2 ) = ( 6EI h 2 ) (U1 − U 2 ) + ( 2EI h )( 1 + 2 2 ) =T 2 V3 U 3 3 ) = ( 6EI h 2 ) (U 2 − U 3 ) + ( 2EI h ) (  2 + 23 ) =T= ( 6 EI h2 ) ( X 1 − X 2 ) + ( 2 EI h )( 1 + 22 ) ,L3 = k 3 (V2 U 22 V3 U 3 3 ) = ( 6 EI h2 ) (U 2 − U 3 ) + ( 2EI h ) ( 2 2 + 3 ) =T= ( 6 EI h2 ) ( X 1 − X 2 ) + ( 2EI h )( 21 + 2 ) ,L4 = k 6 (V5 U 5 5 V4 U 44 ) = ( 6EI h 2 ) (U 5 − U 4 ) + ( 2EI h ) ( 5 + 24 ) =T= ( 6 EI h2 ) ( X 1 − X 2 ) + ( 2EI h )( 1 + 22 ) ,L4 = k 3 (V5 U 5 5 V4 U 4 4 ) = ( 6EI h 2 ) (U 5 − U 4 ) + ( 2EI h ) ( 25 +  4 ) =T= ( 6 EI h2 ) ( X 1 − X 2 ) + ( 2 EI h )( 21 + 2 ) ,L5 = k 6 (V6 U 66 V5 U 5 5 ) = ( 6EI h 2 ) (U 6 − U 5 ) + ( 2EI h ) ( 6 + 25 ) =T= − X 1 ( 6 EI h2 ) + ( 4 EI h ) 1.Отметим, что внутренние усилия направлены против соответствующих им перемещений, кроме того, внутренние поперечная и продольная силы равны и противоположно направлены на концах элемента (Рисунок 3.9), а изгибающие моментыимеют разные значения на концах.151Условия равновесия первого перекрытия дают три уравнения движения (Рисунок3.29).

Сумма сил по горизонтали равна нулюm1 X1 + m1h1 + Q2 + Q5 − Q3 − Q4 = PX 1 ,сумма всех сил по вертикали равна нулю:m1Y1 + N2 + N5 − N3 − N4 = PY 1 ,сумма моментов всех сил относительно центра перекрытия равна нулю:11 + m1hX 1 + L2 + L5 + L3 + L4 + ( B 2 ) ( N5 − N 2 + N 3 − N 4 ) = M 1.Те же условия для второго перекрытия:m2 X 2 + 2m2h2 + Q3 + Q4 = PX 2 ,m2Y2 + N3 + N 4 = PY 2 ,22 + 2m2 hX 2 + L3 + L4 + ( B 2 ) ( N 4 − N 3 ) = M 2 .Подставляя выражения для внутренних усилий через обобщенные координаты,получим уравнения движения системы в относительном движении:m1Y1 + 4Y1 ( EF h ) − 2Y2 ( EF h ) = −m1Y0 ,m1 X1 + m1h1 + 4 (12EI h3 ) X1 − 2 (12EI h3 ) X 2 + 2 ( 6EI h2 ) 2 = −m1 ( X 0 + h0 ) ,11 + m1hX 1 − 2 ( 6 EI h 2 ) X 2 +  B 2 ( EF h ) + 4 ( 4 EI h )  1 −+ ( 4 EI h ) − ( B 2 2 ) ( EF h )  2 = − ( 1 0 + hm1 X 10 ) ,m2Y2 + 2 ( EF h )Y2 − 2 ( EF h )Y1 = −m2Y0 ,m2 X 2 + 2m2h2 − 2 (12EI h3 ) X 1 + 2 (12EI h3 ) X 2 − 2 ( 6EI h 2 ) 1 − 2 ( 6EI h 2 ) 2 == −m2 ( X 0 + 2h0 ) ,22 + 2hm2 X 2 + 2 ( 6 EI h 2 ) X 1 − 2 ( 6 EI h 2 ) X 2 + ( 4 EI h ) − ( B 2 2 ) ( EF h )  1 ++ ( B 2 2 ) ( EF h ) + 2 ( 4 EI h )  2 = − ( 2 0 + 2hm2 X 10 ) .152Уравнения относительного движения в матричном виде:Mq + Kq = Ps ,где q = (Y1X 1 1 Y2X2(3.33)2 ) - вектор обобщенных координат,TM - матрица инерции (3.28), K - матрица жесткости:0 4 EF h048EI h300K = −2 EF h00−24 EI h3012 EI h 200(16EI + B EF )2h0−12 EI h 2( 4EI − B EF 2 )2h−2 EF h00−24 EI h30−12 EI h 22 EF h0024 EI h30−12 EI h 22( 4EI − B EF 2 ) h ,0−12 EI h 22(8EI + B EF 2 ) h 012 EI h 2Ps - вектор переносных сейсмических сил, выражается через матрицу переносныхинерционных коэффициентов (3.29) P = −Msq0 .3.3.

Характеристики демпфирования и связь между нимиРассмотрим вынужденные колебания системы с одной степенью свободыmx + bx + kx = P ( t ) ,где m - масса системы, b - коэффициент вязкого сопротивления, c - жесткость,P ( t ) - приложенная внешняя сила. В стандартной форме это уравнение имеет видx + 2x +  2 x =где  =1P (t ) ,mbk- коэффициент демпфирования, имеет размерность c −1 , 2 =- соб2mmственная частота системы.За безразмерные характеристики демпфирования принимают:• =- коэффициент затухания (или относительное демпфирование),153•  = lnAk- логарифмический декремент колебаний, равный натуральномуAk +1логарифму отношения двух последовательных максимальных амплитуд колебаний Ak и Ak +1 .• =- коэффициент рассеяния энергии (или коэффициент потерь, или коэффициент неупругого сопротивления).Ниже даны формулы связи характеристик демпфирования: = 2= 2 ,= = ,2 2== ,22 = 2 ==2 .Например, для коэффициента затухания бетона  = 0.05 коэффициент рассеяния = 2 = 0.1 .3.4.

Уравнения относительного движения диссипативной системы и решение впространстве главных координатУравнение движения диссипативной системы с n степенями свободы имеет видMq + Bq + Kq = Ps(3.34)nxnnnздесь q[ n ] - вектор обобщенных перемещений, M  - матрица инерции, B  n6nnматрица демпфирования, K  - матрица жесткости Ps[ n ] = −Ms q[6]0 - вектор пе-реносных сейсмических сил при шестикомпонентном векторе ускорений q 0 .Матрица переносных инерционных коэффициентов M s формируется для каждойстепени свободы (или обобщенной координаты) по правилам, изложенным вп.3.2.Будем считать известными матрицу собственных векторов Vnnсистемы (3.34) идиагональную матрицу квадратов собственных частот Ω 2 . Переход к главным координатам осуществим при помощи ортогонального преобразованияq = Vu .(3.35)154В пространстве главных координат система уравнений (3.34) превращается внабор не связанных между собой дифференциальных уравнений второго порядка,каждое из которых соответствует движению одномассового осциллятора.

Процедура разделения возможна благодаря свойствам матрицы собственных форм, ипри принятии одной из трех гипотез, связанных с демпфированием:свойства матрицы собственных форм:1) выполняется соотношениеKV = MVΩ2 ,(3.36)2) преобразование матрицы инерции дает диагональную матрицу модальных массVT MV = Mmod ,(3.37)здесь Mmod = diag  M mod,k  , где M mod,k = vTk Mv k - модальная масса по k-той форме, 1 1= diag v k - собственный вектор k-той формы, M −mod.Mmod,kГипотезы о демпфировании [46]:1.

Характеристики

Список файлов диссертации