Диссертация (792538), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Значения функции когерентности в значительной мере зависят от выбора разрешения оценки спектральной плотности. Без сглаживания модуль функции когерентности тождественно равен единице ( f , km ) 1.Для независимых случайных процессов модуль когерентности ( f , km ) = 0 , длялинейно связанных ( f , km ) = 1, в остальных случаях 0 ( f , km ) 1 .Аргумент функции когерентности ( f , km ) называется функцией разности фаз ипредставляет собой сдвиг по фазе между спектральными составляющими реализаций a ( t , rk ) и a ( t , rm ) на частоте f .Волновые процессы в точках k и m происходят с запаздыванием по времени(time lag) km , в этом состоит эффект продвижения волны (wave passage effect). Запаздывание по времени km связано со сдвигом по фазе ( f , km ) .
Эту связь легкоустановить на примере отдельной гармоники сейсмического воздействия - плоской монохроматической волны с круговой частотой = 2f , фазовой скоростью111c и волновым числом . Пусть ak = a ( rk , t ) и am = a ( rm , t ) - ускорения от этойволны в точках k и m . Если обе точки лежат на луче волны, тоak = A cos ( t − rk ) ,am = A cos ( t − rm ) ,=,crk = rk.cАкселерограмма Бухарестского землетрясения 1977 г., м/с26420-2-4-605101520Время, с2530Сглаженная спектральная плотность (СП), (м2/с4)Гц3.532.521.510.50024681012141618Частота, ГцРисунок 2.28.
Акселерограмма Бухарестского землетрясения (направление N-S) исоответствующая сглаженная спектральная плотность (метод Уэлча с 50% перекрытием окнами Хэмминга).Если km =km- промежуток времени, за который волна проходит расстояниеcr r −rkm = rk − rm , то rm = k + m kccrk rk km = + = + km = rk + km .c ccОбозначая = km = km,cполучимam = A cos ( t − rk − ) ,(2.55)112то есть волна подошла к точке m с отставанием по фазе через время km .Таким образом, множитель exp j ( f , km ) в (2.51) фактически отвечает толькоза эффект продвижения волны.
Его считают детерминированным из формальныхсоображений: так как по формуле (2.55) сдвиг по фазе зависит только от частотыволны, её скорости и расстояния между точками, следовательно, - величина неслучайная.Модуль функции когерентности ( f , km ) тоже несет информацию о сдвиге пофазе или запаздывании между спектральными составляющими, поскольку так же,как и ( f , km ) , зависит от взаимной спектральной плотности S km . Поэтому в зарубежных источниках для обозначения модуля функции когерентности ( f , km )применяют термин lagged coherency, что переводится как когерентность с учетом запаздывания. С функцией ( f , km ) связывают все случайные измененияамплитуды и фазы, происходящие с волной при движении от одной точки к другой.Используются и две производные формы от функции ( f , km ) : когерентностьбез запаздывания и плоско-волновая когерентность.Когерентностью без запаздывания (unlagged coherency) называют ( f , km )=0 ,если предполагается, что ( f , km ) 0 .
Если ( f , km ) 0 , то Im Skm ( f , km ) = 0 ,тогда из (2.51) и (2.52) ( f , km )=0 = ( f , km ) =0 =Re SkmSk ( f ) Sm ( f )= Re ( f , km ) .Таким образом, когерентность без запаздывания равна действительной частифункции когерентности Re ( f , km ) .113Если принять одинаковое запаздывание по времени km = const для всех спектральных составляющих, то есть рассматривать сейсмическую волну как пакетплоских монохроматических волн, движущихся с постоянной фазовой скоростью,тотакоедвижениехарактеризуютплоско-волновойкогерентностью ( f , km ) =const (plane-wave coherency).
Так как по определению (2.54)Re ( f , km ) = ( f , km ) cos ( f , km ) ,то плоско-волновая когерентность ( f , km )может быть выражена через ко=constгерентность без запаздывания ( f , km ) =const =Re ( f , km ) ( f , km ) =0.=cos ( f , km )cos 2f kmВ отечественной практике, говоря о функции когерентности, чаще всего подразумевают ее модуль ( f , km ) .vkvkmmkkmmРассеиваниеРаспространение фронта волны от разлома сфазовой скоростью сРазломФронт волныа)РазломФронт волныб)Рисунок 2.29.
Согласованное (а) и несогласованное (б) волновое движениеСогласованное и несогласованное сейсмическое движение грунта. Функция когерентности Н. Абрахамсона114Если предполагается, что в заданную точку поверхности каждая гармоника с частотой f доходит без случайного изменения амплитуды и с фазовым сдвигом,равным = km , (как на Рисунке 2.29а), то такое движение поверхности грунтаназывают согласованным или когерентным. Согласованное волновое движениеможет быть получено и исследовано аналитически при решении волнового уравнения.Инструментально зарегистрированное волновое сейсмическое движение не в полной мере является согласованным из-за явления пространственной изменчивости.Под пространственной изменчивостью (spatial variation) сейсмического движенияпонимают случайные изменения в амплитуде и фазе сейсмических волн при распространении их по поверхности земли.
Причины возникновения пространственной изменчивости наземных сейсмических движений состоят в рассеянии волн (взарубежной литературе - scattering effect) из-за наличия в грунте локальных неоднородностей, таких как вкрапления более твердых или мягких грунтов, пустоты,разжижения. Учет пространственной изменчивости может быть важен для протяженных конструкций (мостов, дамб, плотин, трубопроводов, протяженных зданий, не разделенных деформационными швами), особенно при наличии податливых фундаментов.Как было показано выше, комплексная функция когерентности ( f , ) несет в себе информацию одновременно и о согласованном, и о несогласованном волновомдвижении.
Модуль этой функции ( f , ) применяют для оценки пространственнойизменчивостисейсмическогодвижения,аэкспоненциальнаячастьexp j ( f , ) является характеристикой согласованного движения, или эффектапродвижения волны.По результатам регрессионного анализа данных регистрации, собранных на полигоне LSST (The Lotung Large Scale Seismic Test, г.
Лотунг, Тайвань) Н. Абрахамсон в 1991 году получил одну из самых известных и, по-видимому, наиболее115обоснованную эмпирическую аппроксимацию для модуля функции пространственной когерентности [1, 2, 32]:f −0.878 ( f , ) = tanh ( 2.54 − 0.012 ) exp( −0.115 − 0.00084 ) f + + 0.35 ,3 здесь - расстояние между точками (до 100 м), f - частота (в Гц). Полигон LSSTвключает 15 датчиков, расположенных на расстояниях от 3 до 85 м, грунт – аллювий, функция получена после обработки акселерограмм 15 землетрясений магнитудой от 3 до 7.8.
Есть и другие эмпирические и полуэмпирические модели когерентности (см. [32]) для разных расстояний и грунтовых условий. Они не так широко используются, прежде всего потому, что почти все построены по даннымединственного землетрясения.1Функциякогерентности10 м30 м50 м80 м0.90.80.70.60.50.405Частота, Гц1015Рисунок 2.30. Функция когерентности Н.
АбрахамсонаПо графику на Рисунке 2.30 видно, что для расстояний до 100 м на мягком грунтеспектральные составляющие до 10 Гц хорошо согласованы. Это означает, что116пространственную изменчивость грунта можно не учитывать, когда одновременно выполняются условия:1) землетрясение имеет доминирующие частоты до 10 Гц (как, например, наРисунке 2.28);2) фундамент c максимальными размерами в плане до 100 м;3) свойства грунта совпадают с грунтовыми условиями на полигоне LSST.Учет пространственной изменчивости грунта влечет за собой вероятностную постановку задачи и решение методами статистической динамики.
Поскольку некогерентность характерна для высоких частот (см. Рисунок 2.30), пространственнуюизменчивость грунта моделируют высокочастотными шумами [65].Стоит обсудить вопрос о том, правомерно ли применять данные, полученные вТайване, к другим местностям. Сравнительный анализ с данными с других полигонов в Японии и Калифорнии показал [2], что при сходных грунтовых условияхфункции когерентности отличаются мало, а для более жестких грунтов согласованное движение выражено сильнее.Функция когерентности Н.
Абрахамсона получена для аллювия – смеси гальки,песка, суглинка и глины – то есть для довольно рыхлого грунта. Чем плотнее итверже грунт, тем более согласованным будет сейсмическое движение. Этот факт,установленный экспериментально и описанный в [2], позволяет переформулировать третье условие так: «свойства грунта не хуже, чем на полигоне LSST».Другим важным фактором, влияющим на величину когерентности, является скорость сейсмических волн на поверхности грунта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
