Диссертация (792538), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Начальноеприближение cL(n +1)k ( cL ) H =к( n + 1)( ( ) )корню при условии, что cos k cL H = 0 , равно+ n , 0  n  nr , откуда2cL(n +1)=c2H2 H 2 − c22  + n 22.(2.47)88Это приближение будет тем точнее, чем ближе корень к c2 . Примерное количе-( )ство корней уравнения (2.44) можно определить из условия k c2* H =+ nr .2Максимально возможное количество корней дисперсионного уравнения равно2*Hc12nr =  *   − 1 −  +1, c2  c2 2(2.48)D ( k H )151050-5-10-15-200k H2468101214Рисунок 2.17.

Корни дисперсионного уравнения(5 корней)  =15 рад/с, H =100 мгде  n  - округление в большую сторону числа n . Значение nr равно числу полуволн косинуса, входящего в D ( kH ) . Так как в конце интервала возрастает рольвторого слагаемого в уравнении (2.44), корней может быть больше, чем получается по выражению в скобках в (2.48). Анализ функции D ( kH ) для приведенныхвыше данных, показал, что может появиться один дополнительный корень, близ-( )кий к k с2* H , поэтому в (2.48) добавлена единица. Таким образом, формула(2.48) дает оценку сверху для количества корней (см. Таблицу 2.3).89D ( cL )151050-5-10-15cL-2090100110120130140150Рисунок 2.18.

Корни дисперсионного уравнения (5 корней)  =100рад/с, H =20 мВ таблице 2.3 приведены корни уравнения (2.44) для  = 15 рад/с( f = 2.4 c )−1при варьируемой толщине слоя H ; в скобках указаны соответствующие найденным скоростям длины волн  = cL f . Во втором столбце Таблицы 2.3 даны значения nr , рассчитанные по формуле (2.48). Допустим,  =15 рад/с, H =100 м,c2 =92.87 м/с, тогда по формуле (2.48) nr =5; начальные приближения для пятикорней дисперсионного уравнения по формуле (2.47) равны: cL ( ) =93.31 м/с1( n = 0) ,cL ( ) =97.09 м/с ( n = 1) , cL ( ) =106.28 м/с ( n = 2 ) , cL ( ) =126.78 м/с ( n = 3) ,234cL ( ) =192.03 м/с ( n = 4 ) . Эти значения особенно близки к своим корням в начале5интервала (Таблица 2.3) и могут быть приняты за исходные значения для их уточнения.

Для последнего корня в качестве начального приближения лучше взять c2* .По результатам расчета корней дисперсионного уравнения в Таблицах 2.2 и 2.3видно, что с увеличением частоты и с ростом толщины слоя увеличивается количество корней уравнения (2.44), Рисунки 2.18, 2.19.Интересно, что, если толщина слоя H очень велика, в композиции волн Лява преобладают волны со скоростью, близкой к c2 (Рисунок 2.19). На скорость волн в90тонком слое, очевидно, в большей степени влияют свойства упругого полупространства; это особенно заметно для низких частот (см. расчет для H =20 м в Таблице 2.2 для 15 и 100 рад/с).

Отметим, что при описанных условиях в слое толщиной менее 20 м дисперсионное уравнение не имеет корней, и волны Лява не возникают.Таблица 2.3Скорости и длины волн Лява при толщинах H ,  =15 рад/с, f =2.4 ГцcL1 , м/с,cL 2 , м/сcL 3 , м/сcL 4 , м/сcL 5 , м/сnrH,м( 1 , м)(  2 , м)(  3 , м)(  4 , м)(  5 , м)2030405060708090100223334455121.43(50.6)99.73 (41.5)96.28 (40.1)94.93 (39.5)94.25 (39.3)93.87 (39.1)93.61 (39.0)93.45(38.9)93.34 (39.0)133.11(21.17)121.89(50.8)108.70(45.3)103.35(43.1)100.40(41.8)98.62 (41.1)97.4 (40.6)121.9 (50.8)112.55(46.9)107.56(44.8)136.45(57.0)146.02(60.8)При решении прикладных задач для сокращения времени вычислений желательноотфильтровать компоненты воздействия, не несущие большой опасности для сооружений. Короткие волны не так опасны для конструкций, как воздействие сдлинами волн, сравнимыми с типичным размером фундамента.

Кроме того, самаконструкция является «фильтром», усиливающим те спектральные компонентывоздействия (особенно на низких частотах), которые близки или совпадают с еёсобственными частотами. Поэтому высокочастотные составляющие из спектравоздействия можно удалить, проведя их фильтрацию.

Можно отфильтровать и тенизкочастотные компоненты воздействия, при которых волны Лява не возникают.Из формулы (2.47) следует, что для существования волны Лява по меньшей меренеобходимо, чтобы   c2  H ; для c2 =92.87 м/с и H =20 м эта граничная частотаравна 7.29 рад/с. На Рисунке 2.19 показаны исходная и отфильтрованная акселерограммы Газлийского землетрясения (14 мая 1976 г., направление E-W), в которой оставлены составляющие с частотами 7.29    15 (рад/с).

Характеристики91исходной записи: длительность 13.4815 с, 2048 точек, время отсчета 0.006586 с,частотный диапазон 0.233    477 рад/с.D ( cL )403020100-10-20-30cL-4090100110120130140150Рисунок 2.19. Корни дисперсионного уравнения (40 корней)для  =15 рад/с, H =1000 мСейсмическое воздействие представляет собой спектр гармонических волн.

Каждая отдельно выделенная волна из этого спектра может рассматриваться как граничное условие для формирования пространственно-временного поля волн Лява сопределенной частотой. Сложность заключается в том, что на этой частоте, возможно, существует не одна волна, а целая композиция волн Лява, по числу корней дисперсионного уравнения. Все волны композиции удовлетворяют волновомууравнению, граничным условиям и могут существовать одновременно и вноситьсвой вклад в общее волновое движение.

Они имеют одинаковую частоту и различные фазовые скорости.В условиях, когда известна только одна спектральная амплитуда воздействия, отвечающая конкретной частоте, определить вклад каждой волны в композиции, повидимому, невозможно. Другими словами, амплитуда каждой такой волны остается неопределенной, известна лишь суммарная спектральная амплитуда всейкомпозиции.92Исходная акселерограмма M = 0.2714, S a = 1.4995, Max = 5.96, Min = -5.543a(t), m/s250-508101214t, sОтфильтрованная акселерограмма M = 1.199e-005, S a = 1.2645, Max = 5.4971, Min = -5.5144d2X2/dt2, m/s 224624650-508101214t, sРисунок 2.20.

Акселерограмма до и после фильтрации частот(над графиками указаны среднее значение, стандарт, максимальноеи минимальное значения)По одному граничному условию найти амплитуды всех волн, составляющих композицию, невозможно; очевидно, необходимо несколько граничных условий вразных точках грунта (по числу корней дисперсионного уравнения), чтобы «зацепить» составляющие волны Лява с одной частотой, но с разными скоростями инайти их амплитуды. Однако обычно расчетные сейсмологические данные включают запись землетрясения в одной точке. Поэтому в прикладных задачах целесообразно рассматривать только одну, самую «медленную» волну Лява первого порядка, которая имеет ту же спектральную амплитуду, что и воздействие на заданной частоте.Зависимость скорости волн Лява первого порядка для частот отфильтрованногоспектра воздействия землетрясения в Газли (Рисунок 2.20) показана на Рисунке2.21.

Видно, что для самых низких частот воздействия фазовая скорость волн Лява первого порядка близка к c2* , для более высоких частот – к c2 .93150cL , м/с14013012011010090050100150200250300350400450500, рад/сРисунок 2.21. Скорости волн Лява первого порядка в зависимости отчастоты  , H =20 мАлгоритм формирования пространственно-временного поля волн Лява первогопорядка не отличается от алгоритма, предложенного и подробно описанного в[81], кроме, конечно, предварительного определения фазовой скорости волны Лява для каждой частоты.

Если частоте n воздействия соответствует спектральнаяамплитуда An , то постоянная в (2.45) и (2.46) будет равнаCn =(Ankn2cL2( n ) cos ( kn n H ) + tan ( kn n H ) sin ( kn n H )),где cL( n ) - фазовая скорость волны Лява первого порядка для частоты n ,( )kn = n cL( n) - волновое число, n = n cL( n ) . Заметим, что хорошее приближениепервого корня уравнения (2.44) дает формула (2.47). Суммируя составляющие длячастот воздействия, получим решение в любой точке пространства, подробно см.выше. На Рисунках 2.22 и 2.23 показаны процессы распространения волны Лява вразличных точках поверхности слоя и в полупространстве, над графиками указаны координата точки, среднее значение, стандарт, максимальное и минимальноезначения акселерограммы.94222d2X /dt 2, m/s 2x = 0 m, M = 0.00010287 m/s , S = 1.1716 m/s , Max = 5.0843 m/s , Min = -5.2968 m/s221100-10051015202530354045t, s222d2X /dt 2, m/s 2x = 0.5Tc = 626.0107 m, M = 0.0018429 m/s , S = 1.1619 m/s , Max = 5.8013 m/s , Min = -4.7144 m/s21100-10220510152025303540452d2X /dt 2, m/s 22d2X /dt 2, m/s 22d2X /dt 2, m/s 2t, s222x = Tc = 1252.0215 m, M = -0.003274 m/s , S = 1.1445 m/s , Max = 4.3925 m/s , Min = -4.4733 m/s150-502251015202530354045t, s222x = 1.5Tc = 1878.0322 m, M = -0.0019837 m/s , S = 1.1341 m/s , Max = 4.5468 m/s , Min = -4.9778 m/s150-522051015202530354045t, s222x = 2Tc = 2504.043 m, M = 0.00031043 m/s , S = 1.1084 m/s , Max = 4.4019 m/s , Min = -4.8915 m/s150-502251015202530354045t, sРисунок 2.22.

Движущаяся волна Лява (на поверхности).Интенсивность воздействия снижается по мере движения волны, что соответствует дисперсионному характеру волн Лява. На Рисунке 2.23 видно заметное затухание волны Лява с глубиной.Предложенный алгоритм может быть полезен для проверочных расчетов по дифференцированной схеме протяженных в плане сооружений. Отметим, что описанный метод имеет некоторые ограничения: при сильных землетрясениях можетпроизойти пластическое деформирование грунта, так что грунтовое основаниепри таких условиях нельзя считать упругой средой.

Кроме того, в классическойзадаче распространения волн в слоистых средах предполагается идеальная горизонтальная граница разделения двух сред. Если это не так, то можно предложитьтакой подход: область пространства разбивается на зоны, где границу можно приблизительно считать горизонтальной. В каждой такой зоне строится свое решениес учетом условий стыковки по границам.952d2X /dt 2, m/s 2222x = 0 m, M = -0.00017959 m/s , S = 0.3372 m/s , Max = 0.63917 m/s , Min = -0.72254 m/s10-10510152025302d2X /dt 2, m/s 212d2X /dt 2, m/s 22452210-122051015202530354045t, s22x = Tc = 1252.0215 m, M = 0.0045259 m/s , S = 0.23809 m/s , Max = 0.56767 m/s , Min = -0.54346 m/s110-102251015202530354045t, s2d2X /dt 2, m/s 240x = 0.5Tc = 626.0107 m, M = -0.0026562 m/s , S = 0.27725 m/s , Max = 0.62765 m/s , Min = -0.65371 m/s222x = 1.5Tc = 1878.0322 m, M = -0.0028281 m/s , S = 0.26566 m/s , Max = 0.62598 m/s , Min = -0.61991 m/s110-122051015202530354045t, s2235t, s2d2X /dt 2, m/s 22122x = 2Tc = 2504.043 m, M = 0.0024208 m/s , S = 0.18657 m/s , Max = 0.55244 m/s , Min = -0.56226 m/s110-102251015202530354045t, sРисунок 2.23.

Характеристики

Список файлов диссертации