Диссертация (792538), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

NcRTконстанты An перед расчетом определяются по формуле (2.36).На Рисунке 2.12 приведены акселерограммыX1 ( x1, x3 , t j ) и X 3 ( x1, x3 , t j ) движе-ния грунта от волн Рэлея, сгенерированные в точке O( x1 = x3 = 0)по акселеро-грамме вертикального движения a3 (Газлийское землетрясение 14 мая 1976 г.,2048 точек, длительность 13.48 c). Полученная акселерограмма X 3 полностьюсовпадает с исходной.На Рисунках 2.13 и 2.14 показаны акселерограммы X1 ( x1, x3 , t j ) и X 3 ( x1, x3 , t j ) наповерхности грунта ( x3 = 0 ) при различных значениях координат x1 . Эти координаты были выбраны таким образом, чтобы показать разные фазы волнового процесса. Вспомним, что при разложении функции a3 ( t ) предполагалась периодич-80ность исходной акселерограммы с периодом 2T , обусловленная периодичностьюволновых функций в формулах (2.30-2.32).

Поэтому акселерограммы при x1 = 0 ипри x1 = 2TcR выглядят идентично, но со сдвигом по времени в 2T . Промежуточные стадии волнового процесса x1 = 0.5TcR , x1 = TcR и x1 = 1.5TcR по виду довольно сильно отличаются друг от друга. Это обусловлено различным запаздываниемсоставляющих с разными частотами.Ускорение грунта вдоль оси x1d2X1/dt2, m/s21050-5-1002468101214101214t, sУскорение грунта вдоль оси x3d2X3/dt2, m/s220100-10-2002468t, sИсходная акселерограмма вертикального движенияa3, m/s220100Рисунок 2.12. Формирование поля ускорений от волн РэлеяАкселерограммы X1 ( x1, x3 , t j ) и X 3 ( x1, x3 , t j ) в точке O-10-20На Рисунке2.15 показанпространственно-временнойпроцессраспространения02468101214t, sволн Рэлея, формирующих акселерограмму.

Предложенный алгоритм может бытьполезен не только для расчета по дифференцированной схеме протяженных вплане сооружений. Этот подход можно применять и для представления волн Рэлея в составе обобщенной волновой модели [15, 72, 75], удобной для формирования композиции объемных и поверхностных сейсмических волн, расчета ротаций,выбора наиболее опасной расчетной комбинации волн.3d2X /dt 2, m/s 23d2X /dt 2, m/s 23d2X /dt 2, m/s 23d2X /dt 2, m/s 23d2X /dt 2, m/s 281x1 = 0 m200-200510150510150510150510150510152025t, sx 1 = 0.5Tc R = 978.8394 m303540203035402030354020303540303540200-2025t, sx 1 = Tc R = 1957.6788 m200-2025t, sx 1 = 1.5Tc R = 2936.5183 m200-2025t, sx 1 = 2Tc R = 3915.3577 m200-202025t, sd2X /dt 2, m/s 2100-10d2X /dt 2, m/s 2100-10d2X /dt 2, m/s 2100-10100-1011111d2X /dt 2, m/s 2100-10d2X /dt 2, m/s 2Рисунок 2.13.

Распространение волны РэлеяcR =145.21 м/с, вертикальное ускорение точек на поверхности грунтадлительность акселерограммы T =13.48 c, время наблюдения 42 cx1 = 0 m0510152025303540303540303540303540303540t, sx 1 = 0.5Tc R = 978.8394 m0510152025t, sx 1 = Tc R = 1957.6788 m0510152025t, sx 1 = 1.5Tc R = 2936.5183 m0510152025t, sx 1 = 2Tc R = 3915.3577 m0510152025t, sРисунок 2.14.

Распространение волны РэлеяcR =145.21 м/с, горизонтальное ускорение точек на поверхности грунта82длительность акселерограммы T =13.48 c, время наблюдения 42 cРисунок 2.15. Пространственно-волновой процесс распространения пакета волнРэлея, сгенерированный по заданной акселерограммеРассчитаем угловые ускорения волн Рэлея, заданных в виде (2.38). Для таких волнугловое движение происходит только относительно оси x2 . По определению угловое перемещение в точке с координатой ( x1, x3 ) равно [116]:1  X X 1  X X 1  X X 2 =  1 − 3  , 2 =  1 − 3  , 2 =  1 − 3 .2  x3 x1 2  x3 x1 2  x3 x1 Найдем производные, входящие в формулу для 2 :X 1 ( x1 , x3 , t j )x3X 3 ( x1 , x3 , t j )x1)(=N1f (x )f (x )An kn Q3e 1( n) 3 − Q1 1 −  2 e 2( n) 3 sin n ( x1 , t j ),Q3 − Q2 n=1=1f (x )f (x )An kn Q3e 1( n) 3 − Q2e 2( n) 3 sin n ( x1 , t j ).Q3 − Q2 n=1N(Тогда угловое ускорение в точке ( x1, x3 ) равно)(2.39)832 =()N1f (x )An kn Q2 − Q1 1 −  2 e 2( n) 3 sin n ( x1 , t j ).2 ( Q3 − Q2 ) n=1(2.40)Моделирование полей волн ЛяваПри решении задач теории сейсмостойкости по дифференцированной схеме [72]необходимы методики моделирования пространственно-временных сейсмическихполей.

Алгоритм моделирования пространственно-временного поля волн Рэлея,соответствующего граничным условиям в виде акселерограммы, заданной в одной точке, был описан в работе [81]; в настоящей работе этот же алгоритм применяется для моделирования процесса распространения поверхностных волн Лява.Причины возникновения и механизм распространения волн Лява изучены для монохроматических волн [72, 98, 121].

Однако алгоритм построения полей волн Лява по акселерограмме, заданной в одной точке поля пока, по-видимому, не былизвестен. Ниже приведено решение этой задачи.Рассмотрим двухслойное полупространство, состоящее из жесткого подстилающего полупространства и более мягкого верхнего слоя высотой H . ОбозначимE * , G * , * , * - модули упругости и сдвига, коэффициент Пуассона и плотностьнижнего полупространства; E , G ,  ,  - модули упругости и сдвига, коэффициент Пуассона и плотность верхнего слоя, H - высота слоя.

Фазовая скорость с2объемных S-волн, распространяющихся в упругой среде, равна с2 = G  .А.Е. Ляв [98] показал, что, если поверхностный слой имеет меньшую жесткостьпо сравнению с подстилающим полупространством, в нем могут возникать поверхностные волны (волны Лява) с конфигурацией, изображенной на Рисунке2.16.Волновое движение будем описывать в осях Ox1 x2 x3 (Рисунок 2.16). Допустим,одиночная гармоническая волна Лява распространяется в направлении оси Ox1 сугловой частотой  и фазовой скоростью cL . Период, длина и волновое число84волны равны T =22cL2, =и k=. Под действием волны Лява происходятгоризонтальные смещения частиц грунта u2 (Рисунок 2.16) в направлении Ox2 .x3HОx1x2Рисунок 2.16.

Поверхностная волна Лява (справа рисунок из [45])Волновое уравнение такой волны имеет вид [98, 121]: 2 X 2 ( x1 , x3 , t )  2 X 2 ( x1 , x3 , t ) 1  2 X 2 ( x1 , x3 , t ).+=x12x32c2t 2Задача распространения волн Лява имеет известное решение. Для одиночной гармонической волны Лява [72, 98, 121] в верхнем слое ( 0  x3  H )()X 2 ( x1, x3 , t ) = ( Asin ( kx3 ) + B cos ( kx3 ) ) exp −ik ( cLt − x1 ) ,(2.41)в подстилающем полупространстве ( −  x3  0 )()X 2* ( x1, x3 , t ) = C exp ( k* x3 ) exp −ik ( cLt − x1 ) ,где cL - фазовая скорость волны Лява, k =2c  =  L  − 1, c2 2( )* 2(2.42)- волновое число,cL2c = 1 −  L*  . c2 (2.43)85Так как  и * действительные числа, фазовая скорость cL лежит в пределах c2  cL  c2* . Функции (2.41) и (2.42) должны удовлетворять следующим граничным условиям:1) X 2 = X 2* при x3 = 0 , откуда следует, что B = C ;(2) 23 = *23 при x3 = 0 , откуда A C = G**) (G) ;3) 23 = 0 при x3 = H , откуда A cos ( kH ) − B sin ( kH ) = 0 .Условие 3) с учетом 1) и 2) дает дисперсионное уравнение, корни которого определяют скорость волны Лява:(G  ) (G) cos ( kH ) − sin ( kH ) = 0 .* *(2.44)Из граничных условий следует, что функции (2.41), (2.42) зависят от одной постоянной С :X 2 ( x1 , x3 , t ) = С ( cos ( kx3 ) + tan ( kx3 ) sin ( kx3 ) ) exp ( −ik ( cLt − x1 ) ) ,X 2* ( x1, x3 , t ) = C exp ( k* x3 ) exp ( −ik ( cLt − x1 ) ) ,Ускорения частиц грунта найдем, дважды продифференцировав по временифункции X 2 и X 2* : для верхнего слоя ( 0  x3  H ) получимX 2 ( x1 , x3 , t ) = Сk 2cL 2 ( cos ( kx3 ) + tan ( kx3 ) sin ( kx3 ) ) exp ( −ik ( cLt − x1 ) ) , (2.45)для подстилающего полупространства ( −  x3  0 )X 2* ( x1, x3 , t ) = Ck 2cL 2 exp ( k* x3 ) exp ( −ik ( cLt − x1 ) ) .(2.46)Константа С определяется из дополнительных граничных условий.

Как видно из(2.45) и (2.46), волны Лява не меняют свою амплитуду по высоте поверхностногослоя, а в полупространстве затухают, так как k* x3  0 .86Фазовая скорость волны Лява cL равна решению дисперсионного уравнения(2.43) и зависит не только от свойств упругих сред, но и от волнового числаk =  cL . Таким образом, волны Лява обладают дисперсией 18. Решение дисперсионного уравнения достаточно полно аналитически исследовано в [72, 98]. Показано, что дисперсионное уравнение может иметь несколько действительных корнейв зависимости от толщины верхнего слоя H , частоты  , механических характеристик слоев грунта.

Таким образом, на одной частоте может существовать несколько монохроматических волн (по числу корней уравнения (2.44)) с различными скоростями распространения. Первому корню соответствует волна первогопорядка (или номера), второму – второго порядка, и т.д. Часто волной Лява считают только волну первого порядка.Рассмотрим пример решения уравнения для конкретных грунтовых условий:верхний слой толщиной H =20 м – песок, E =37 МПа, G =14 МПа,  =0.3,  =1650кг/м3, c2 =92.87 м/с; подстилающее полупространство – крупнообломочный грунт,E * =100 МПа, G * =38 МПа, * =0.3, * =1800 кг/м3, c2* =146.18 м/с.

Решения дисперсионного уравнения при изменении частоты от 15 до 100 рад/с для слоя H =20м приведены в Таблице 2.2; там же показаны соответствующие длины волн. Начастотах примерно до 15 рад/с уравнение (2.44) корней не имеет, и волны Лява невозникают. С увеличением частоты возрастает количество корней: в диапазоне40-50 рад/с их два, при 60-70 рад/с – три, при 80-90 рад/с – четыре, при 100 рад/с –уже пять.Таблица 2.2Скорости и длины волн Лява при различных частотах, H =20 мcL1 , м/сcL 2 , м/сcL 3 , м/сcL 4 , м/сcL 5 , м/с , рад/с( f , Гц)( 1 , м)(  2 , м)(  3 , м)(  4 , м)(  5 , м)15 (2.4)20 (3.2)30 (4.8)40 (6.4)50 (8.0)18121.43 (50.6)102.28 (32.0)96.28 (20.0)94.65 (14.8)93.98 (11.7)133.11(21.17)115.60 (18.1)104.75 (13.1)---Для волн без дисперсии фазовая скорость не зависит от волнового числа (частоты) и является константой.8760 (9.6)70 (11.1)80 (12.7)90 (14.3)100 (15.9)93.62 (9.7)93.42 (8.4)93.28 (7.3)93.19 (6.5)93.13 (5.9)100.40 (10.5)98.15 (8.8)96.78 (7.6)95.90 (6.7)95.27 (6.0)121.90 (12.7)110.70 (10.0)105.32 (8.3)102.20 (7.14)100.13 (6.3)125.36 (9.9)114.85 (8.0)109.14 (6.9)127.50 (8.0)Рассмотрим подробнее уравнение (2.44); корни которого показаны на Рисунке2.17 в осях k H и D ( kH ) , гдеD ( kH ) = ( G** ) ( G) cos ( kH ) − sin ( kH ) .Свойствауравнения(2.44)наотрезкеc2  cL  c2*(чтосоответствуетk ( c2 ) H  k ( cL ) H  k ( c2* ) H ):1) имеется одна особая точка при cL = c2 k ( c2 ) H =0, здесь k*H достигаетсвоего максимального значения;2) при cL = c2* k*H = 0 ;( )3) D ( kH ) - убывающая функция, поскольку при kH → k c2* H функ-(ция G**) (G) убывает в силу свойств 1) и 2);4) при c2*  c2 решение вблизи c2 в основном определяется первым членом урав-(нения (2.44), так как G**) (G) >>1; вблизи c*2решение определяют оба членауравнения (2.44).На основании свойства 4) можно найти начальные приближения к корням и максимально возможное количество корней дисперсионного уравнения.

Характеристики

Список файлов диссертации