Диссертация (792538), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Движущаяся волна Лява(на глубине H =20 м от поверхности)Этот метод может применяться и для представления волн Лява в составе обобщенной волновой модели (см.п.2.6), удобной для формирования композиции объемных и поверхностных сейсмических волн, расчета ротаций, выбора наиболееопасной для сооружения расчетной комбинации волн. Обобщенная волновая модель применяется для задания сейсмического воздействия в виде пространственного волнового движения грунта от нескольких типов волн. Волновая модельдолжна формироваться совместно со специалистами-сейсмологами, которые могут дать указания относительно доли объемных или поверхностных волн в общейволновой картине. Однако если такой информации нет, волны Лява могут бытьрассмотрены как самостоятельное проверочное пространственное воздействие,вызывающее повороты конструкции относительно вертикальной оси.962.9.

Состоятельная оценка спектральной плотности сейсмического ускорениягрунтаВ задачах теории сейсмостойкости строительных сооружений, решаемых в частотной области, возникает проблема определения состоятельной оценки спектральной плотности мощности сейсмического ускорения грунта. Эта важная вероятностная характеристика необходима для определения несущих частот сейсмического воздействия, модального коэффициента динамичности в линейноспектральном методе, для оценки изменчивости сейсмических движений грунта спомощью функции когерентности [1, 2, 72, 82].Будем считать акселерограмму x ( t ) реализацией стационарного эргодическогослучайного процесса - сейсмического воздействия X ( t ) 19.

Для таких процессовсостоятельные оценки для математического ожидания, стандарта, дисперсии,корреляционной функции [57, 65], известны и получаются путем простого усреднения по длине реализации. Значительно сложнее получить состоятельную оценку спектральной плотности мощности. Оценка считается состоятельной, еслипри увеличении интервала измерений T оценка будет сходиться по вероятности коцениваемой характеристике [57], то есть()P Fˆ − F   = 1 при T →  ,где F̂ - оценка вероятностной характеристики F , а  - сколь угодно малое положительное число. Для того чтобы оценка была состоятельной, необходимо и до-( )статочно, чтобы она была несмещенной, то есть смещение оценки b Fˆ должнобыть равно нулю( )b Fˆ = Fˆ − F = Fˆ − F = 0,и её дисперсия должна стремиться к нулю при T →  :Конечно, эти предположения не совсем соответствуют реальным сейсмическим процессам.

Сейсмическое движение грунта может приближенно считаться стационарным лишь на отдельных интервалах реализации. Эргодичность процесса вообще доказать невозможно, так как каждое землетрясение уникально, и нет возможности изучитьсвойства ансамбля реализаций. Поэтому понятие спектральной плотности сейсмического воздействия носит несколько условный характер.1997( Fˆ − F )2→0.Существуют два метода оценивания спектральной плотности – периодограммныйи коррелограммный.

В основе первого лежит строгое определение спектральнойплотности в виде:2G ( f ) = limT → T.xT2 x (t ) e− j2 fdt.0Этому определению соответствует оценка, называемая периодограммой или «сырой» спектральной плотностью2T2Gˆ ( f ) =  x ( t ) e − j2 f dt .T 0.xВторой метод - коррелограммный, соответствует определению спектральнойплотности через функцию корреляцииG.x( f ) = 4 K x (  ) cos ( 2f  ) d 0и оценивается по предварительно полученной коррелограмме Kˆ x (  )TT1Gˆ x. ( f ) = 4  Kˆ x (  ) cos ( 2f  ) d  , где Kˆ x (  ) =  x ( t ) x ( t −  ) dt .T00Оба метода эквивалентны, дают несмещенную оценку спектральной плотности сдисперсией порядка квадрата оцениваемой величины, то есть со 100%-ой относительной среднеквадратичной ошибкой:=(Gˆ x ( f ) − Gx ( f )Gx ( f ))2→ 1 при T →  .Однако эти оценки не позволяют достичь желаемой точности при увеличении интервала измерений T и являются несостоятельными.98Для нахождения состоятельной оценки спектральной плотности мощности оценкуусредняют по малому интервалу частот f , в пределах которого Gx ( f ) можносчитать постоянной:1Gˆ xсгл.

( f ) =ff +f 2Gˆ x ( f1 ) df1 ,f −f 2где2T2Gˆ ( f ) =  x ( t ) e − j2 f dtT 0.x(2.49)при периодограммной оценке илиTGˆ x. ( f ) = 4  Kˆ x (  ) cos ( 2f  ) d  ,(2.50)0T1где Kˆ x (  ) =  x ( t ) x ( t −  ) dt при коррелограммной оценке.T0При достаточно большом интервале измерений T эти оценки практически совпадают. Описанная процедура усреднения часто называется сглаживанием по частотному интервалу.Сглаживание периодограммы эквивалентно операции свертывания с прямоугольной весовой функцией g . Действительно,Gˆсгл.x1( f )=ff +f 2f −f 2Gˆ x ( f1 ) df1 =  Gˆ x ( f1 ) g ( f − f1 , f ) df1 ,0где1 f ,g ( f − f1 , f ) = 0,f,2ff − f1 .2f − f1 При этом все спектральные составляющие в интервале f входят в оценку с весом1, а остальные в расчет не принимаются.

Функцию g ( f ) называют спекfтральным окном.99Можно показать, что оценка спектральной функции усреднением по частоте прикоррелограммном подходе эквивалентна умножению оценки корреляционнойфункции на весовую функцию k :1Gˆ xсгл. ( f ) =ff +f 2f +f 2f −ff −f1Gˆ x ( f1 ) df1 =f2 T ˆ4Kcos2fd()()  x df1 =2 0sin f = 4 Kˆ x (  )cos ( 2f  ) d  =4  Kˆ x (  ) k ( , f ) cos ( 2f  ) d ,f00TTгде весовая функция, называемая также корреляционным окном, равнаk ( , f ) =sin f f и связана со спектральным окном преобразованием Фурье.Весовые (или оконные) функции g и k связаны преобразованием Фурье:g( f ) = k (  ) cos ( 2f  ) d  .−Таким образом, сглаживание по частоте эквивалентно оконному преобразованиюФурье.

Обобщая приведенные выше рассуждения, можно получить семейство состоятельных оценок спектральной плотности для оконных функций - спектральной g и корреляционной k :T00Gˆ xсгл. ( f ) =  Gˆ x ( f1 ) g ( f − f1 ) df1 , Gˆ xсгл. ( f ) = 4 Kˆ x (  ) k (  ) cos ( 2f  ) d ,где g и k - четные функции, связанные преобразованием Фурье:−0k ( ) = g ( f ) cos ( 2f  ) df = 2 g ( f ) cos ( 2f  ) df ,−0g( f ) = k (  ) cos ( 2f  ) d  = 2 k (  ) cos ( 2f  ) d  .В [57] приведены оконные функции для усеченной оценки, оценок Бартлета, Пугачева-Даниэля, Хэмминга, Хэннинга. Чаще всего для сглаживания оценки спектральной плотности акселерограмм применяют оконные функции Хэмминга(оценка Хэмминга):1000.54 + 0.46cos  ,k ( ) = m0,g ( f ) = 1.08m  m ,  m ,sin ( 2f m +  )sin ( 2f m −  )sin 2f m+ 0.46m+ 0.46m,2f m2f m + 2f m − периодограммная оценка Хэмминга:T2Gˆ xХэм.

( f ) =  Gˆ x ( f1 ) g ( f − f1 ) df1 , где Gˆ x. ( f ) =  x ( t ) e − j2 f dtT 002коррелограммная оценка Хэмминга:GˆmХэм.x( f ) = 4  Kˆ x (  )  0.54 + 0.46cos0  cos ( 2f  ) d ,m T1где Kˆ x (  ) =  x ( t ) x ( t −  ) dt .T0Преимущества этой оценки заключаются в отсутствии у спектрального окнаg ( f ) значительных боковых максимумов.

Относительная среднеквадратичнаяошибка приближенно вычисляется по формуле (в предположении, что смещениемало)()D Gˆ xХэм. ( f )114 m2 =  g ( f ) df =  k 2 (  ) d  =.T −T −5TGˆ x ( f )2Параметр  m , определяющий ширину корреляционного окна, выбирают так, чтобы и смещение, и дисперсия оценки были минимальными (с уменьшением  mсмещение возрастает, с увеличением – растет дисперсия). Например, оптимальноезначение этого параметра можно найти из условия минимума среднеквадратичнойошибки()()D Gˆ xсгл.

( f ) + b2 Gˆ xсгл. ( f ) .Процедура сглаживания основана на выборе частотного интервала f , на котором определено спектральное окно. Периодограммная спектральная оценка наполосе частот f получается при вычислении среднего значения множества неза-101висимых спектральных составляющих, попадающих в интервал f . Под разрешением спектрального окна понимают ширину полосы частот f , по которойпроводится сглаживание.Интервалу наблюдения T = N t соответствует частотный диапазон с верхней частотой f верхн. =1, независимые спектральные составляющие отличаются по чаtстоте на величину порядкаf верхн.N=1.

Выделим в интервале T сегмент, содержаTщий n точек отсчета по времени, это и будет область задания n -точечного корреляционногоf = nf верхн.Nокна.=Выделенномусегментусоответствуетполосачастотnспектрального окна, содержащая n = T f спектральных составTляющих. Оценка напрямую зависит от выбора ширины полосы частот f .

Присглаживании периодограмм удобно работать с алгоритмами (например, методУэлча), в которых задается ширина корреляционного окна (допустим, n точек).Чем больше точек содержит корреляционное окно, тем шире соответствующееспектральное окно (больше f =n), тем больше спектральных составляющих оноTзахватывает и тем выше его разрешение. В [72] при анализе акселерограмм рекомендуется оставлять в оценке 5-10 основных максимумов периодограммы. Этосвязано с тем, что чаще всего основной динамический отклик сооружения формируется композицией из 5-10 собственных форм; таким образом, количество точеккорреляционного окна будем подбирать так, чтобы в оценке осталось 5-10 основных максимумов.Акселерограммы, записанные на сейсмостанциях, представляют собой реализации дискретных случайных процессов, заданные через определенные промежуткивремени - отсчеты.

Характеристики

Список файлов диссертации