Диссертация (792538), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Таким образом, если известны коэффициенты Фурье разложения (2.27), расчет соответствующих коэффициентов Фурье для ротаций осуществляется напрямую по формулам (2.28). Формулы (2.28) универсальны, так как применимы для любых сейсмических волн, включая поверхностные. В зависимости от типа волны будет меняться её амплитудная функция Aij = Aij ( x1 , x2 , x3 , t ) .Если предварительные исследования сейсмического движения показали, что модель волнового воздействия является дилатационно-ротационной, то угловыеускорения должны быть включены наряду с ускорениями поступательного дви-72жения в шестикомпонентный вектор сейсмического воздействия. Ротационныекомпоненты вектора сейсмического воздействия могут приводить к заметномуперераспределению внутренних усилий в конструкции, особенно когда длиныдоминирующих сейсмических волн сопоставимы с длиной фундамента.
Так как = сT ( с - фазовая скорость распространения волн в упругой среде, T - доминирующий период воздействия), то наиболее чувствительны к сейсмическим ротациям конструкции на мягких грунтах и при короткопериодическом воздействии.Общий аналитический подход к расчету ротационных акселерограмм, описанныйвыше, реализован в программном обеспечении «Одиссей» для суперпозиции P,SV и SH–волн [14, 15, 89]. В качестве начальных данных для расчета требуетсязадать фазовую скорость поперечной S–волны под подошвой фундамента и определить матрицы волновых процессов С, СРХ1, СРХ2, СРХ3 и СРТ (Рисунок 2.9).Фазовая скорость S–волны с2 – один из важнейших факторов, определяющих ротации грунта. Пусть G – модуль сдвига грунта, – его плотность, тогда фазоваяскорость поперечной волны c2 = G .
Заметим, что низкая фазовая скорость характерна для слабых грунтов, а ротации грунта увеличиваются с уменьшениемскорости с2 .Рисунок 2.9. Входные данные для расчета ротационных акселерограмм,окно ввода данных ПО «Одиссей»Матрица весовых коэффициентов С отвечает за распределение волновых составляющих в общей композиции (2.20). Если матрица С единичная, то волновая модель состоит только из Р–волн, не создающих ротации.
В этом случае ротацион-73ные акселерограммы получаются нулевыми. Матрицы СРХ1, СРХ2, СРХ3 и СРТзадают коэффициенты при перемещениях ui , vi и wi в формулах (2.25). Эти коэффициенты определяют относительное изменение амплитудных функцийAij = Aij ( x1 , x2 , x3 , t ) в зависимости от координаты и времени. Компоненты матрицСРХ1, СРХ2, СРХ3 и СРТ вычисляются по формулам:СРХ1:Aij( ) =1 Aij,Aij x1AСРХ2: Aij( 2) = 1 ij ,СРХ3:Aij( ) =1 Aij,Aij x3СРТ:13Aij x2Aij( ) =t1 Aij.Aij t( i, j = 1,2,3)Если Р, SH и SV–волны имеют плоский фронт и не изменяются по глубине, ихамплитудные функции постоянны(Aij= const ) .
В этом случае матрицы СРХ1,СРХ2, СРХ3 и СРТ – нулевые, а углы поворота рассчитываются по формуламНьюмарка:1 =1 dw2 dv3 1 du3 dw1 1 dv1 du2 −−− , 2 = , 3 =.2c2 dtdt 2c2 dtdt 2c2 dtdt (2.29)Для примера рассмотрим расчет ротационных акселерограмм для записей Спитакского землетрясения 1988 года (длительность 14.8 с, 1024 точек). Будем использовать модель ротаций (2.29).
Волновые матрицы для этого случая показанына Рисунке 2.9, то есть перемещения от P–волн не учитываются, перемещения отS–волн распределены поровну вдоль каждой оси. Матрицы СРХ1, СРХ2, СРХ3 иСРТ нулевые. Фазовая скорость поперечных волн равна 200 м/с. На Рисунках2.10а, 2.10б, 2.10в показаны акселерограммы поступательного движения Спитакского землетрясения 7 декабря 1988 г. и полученные акселерограммы ротационного движения 2.10г, 2.10д, 2.10е.74Поступательное движениеРотационное движениеа) Направление N-SMax: 1.261 м/с2, Min: -1.494 м/с2г) Направление N-SMax: 0.059 рад/с2, Min: -0.037 рад/с2б) Направление E-WMax: 0.756 м/с2, Min: -1.038 м/с2д) Направление E-WMax: 0.062 рад/с2, Min: -0.077 рад/с2в) Направление ZMax: 0.459 м/с2, Min: -0.475 м/с2е) Направление ZMax: 0.066 рад/с2, Min: -0.065 рад/с2Рисунок 2.10.
Ротационные акселерограммы, рассчитанные по записямСпитакского землетрясения 7 декабря 1988 г.2.8. Моделирование волновых полей по заданным акселерограммамМоделирование полей волн РэлеяПри решении задач теории сейсмостойкости по дифференцированной схеме необходимы методики моделирования пространственно-временных сейсмических полей. Как распространяется в пространстве одна монохроматическая волна Рэлея,75известно [72, 98]. Однако более реалистично выглядит случай, когда волны Рэлеядвижутся в составе волнового пакета, причем имеется запись этого движения водной из точек пространства. Покажем, каким может быть алгоритм моделирования движения волн Рэлея по поверхности упругого полупространства, если вначале координат задана акселерограмма вертикального движения грунта.Волновое движение в однородном упругом полупространстве будем описывать восях Ox1 x2 x3 .
Упругие свойства среды зададим с помощью параметров Ламе и или модуля упругости E и коэффициента Пуассона (см.п.2.1):=E,(1 + )(1 − 2 )=G=E,2 (1 + )где G - модуль сдвига. Напомним, что фазовые скорости объемных P- и S-волн вупругом пространстве равны соответственно + 2, с2 =,с1 =где - плотность грунта.Допустим, поверхностная волна Рэлея распространяется в направлении оси Ox1 сугловой частотой и фазовой скоростью cR . Период, длина и волновое число такой волны равны T =22cR2, =и k=.
Волна Рэлея плоская, поэтому частицы грунта совершают движение только в направлении осей Ox1 и Ox3 с перемещениями u1 и u3 соответственно, u2 = 0 .Задача распространения волны Рэлея в упругом полупространстве имеет известное решение [72, 98], полученное с точностью до константы C :( ) − Q e ( ) ) sin ( x , t ) ,u ( x , x , t ) = −C ( Q e ( ) − Q e ( ) ) cos ( x , t ) ,u1 ( x1 , x3 , t ) = −C e 1(f x3f 2 x311f1 x3313где введены обозначения3f 2 x321(2.30)761 − 2 1 − L2 21 − L2 2Q1 = 2, Q2 = 2, Q3 = 1 − L2 2 ,222−2−)(f1 ( x3 ) = kQ3 x3 ,f 2 ( x3 ) = k x3 1 − 2 ,L=c2c, = R,c1c2 ( x1 , t ) = k ( cRt − x1 ) = t − kx1.Фазовая скорость волны Рэлея cR = c2 , где есть решение нелинейного уравнения [72, 98],(2 − )2 2− 4 1 − 2 1 − L2 2 = 0, 0,1 .Поля скоростей и ускорений частиц грунта, инициированные прохождением волны Рэлея, задаются выражениями:(u1 ( x1 , x3 , t ) = −C e 1((f x3 )u3 ( x1 , x3 , t ) = C Q3e− Q1ef1 ( x3 )) cos ( x ,t ) ,( )) sin ( x , t ) ,f 2 ( x3 )1− Q2ef 2 x31( ) − Q e ( ) ) sin ( x ,t ) ,u ( x , x , t ) = C ( Q e ( ) − Q e ( ) ) cos ( x , t ) .u1 ( x1 , x3 , t ) = C2 e 1(f x3313f 2 x311f1 x323(2.31)f 2 x32(2.32)1На Рисунке 2.11 показан пространственно-временной процесс распространениямонохроматической волны Рэлея ( =1 рад/с,C =1) по поверхности грунта внаправлении оси x1 .
Параметры грунта: E =100 МПа, G =40 МПа, =0.25, кинематические параметры: =0.9184, c1 =273.86 м/с, c2 =158.11 м/с, cR =145.21 м/с, =912.40 м.Покажем, как на основе акселерограммы вертикального движения можно смоделировать пространственно-временное векторное поле сейсмического движения отволн Рэлея.
Вертикальное движение грунта в начале координат O в направленииоси Ox3 зададим в виде акселерограммы a3 ( t ) .77Рисунок 2.11 - Волна Рэлея, вертикальные перемещенияРазложим функцию a3 ( t ) в ряд Фурье по косинусам. Для этого представим её какчетную с периодом 2T (зеркально отразим график функции относительно оси ординат, а затем сместим результат по горизонтали на расстояния, кратные 2T - получится четная функция с периодом 2T , совпадающая с исходной на промежутке0, T ).
В этом случае функция a3 (t )может быть разложена в ряд Фурье по коси-нусам [120]:a3 ( t ) = An cosn =12 ( n − 1)t,2T(2.33)гдеT2 ( n − 1) 1An = a3 ( ) cosd ,T −T2Tn = 1, 2, 3, ...(2.34)Гармоника в сумме (2.33) с номером n имеет угловую частоту n =длину волны n =( n − 1) ,T22, n = 1, 2, 3, ... .cR , волновое число kn =nnПредставим имеющуюся акселерограмму как функцию дискретного аргумента.Допустим, акселерограмма a3 содержит N точек с шагом t , длительность реализации T = ( N − 1) t .
Значение времени в начале каждого интервала обозначим78t j = ( j − 1) t , j - номер отсчета, j = 1, ..., N . В моменты времени t j функция при-нимает дискретные значенияa3 ( t j ) . Тогдаn =( n − 1) =( n − 1) ,T( N − 1) tn = 1, ..., N . Сумма (2.33) из бесконечной превращается в финитнуюa3 ( t j ) = An cos nt j ,Nj = 1, ..., N .(2.35)n=1Коэффициенты An , учитывая заранее оговоренную четность функции a3 и четность функции косинуса, можно найти по финитному варианту формулы (2.34)N ( n − 1)( j − 1)2,An =a3 ( t j ) cos( N − 1) j =1( N − 1)n = 1, 2, ..., N .(2.36)Набор постоянных An , соответствующих a3 ( t j ) можно определить по формуле(2.36) в любой математической программе.Допустим, что вертикальное движение грунта является результатом прохожденияпакета волн Рэлея – ограниченной во времени совокупности монохроматическихволн, движущихся с единой фазовой скоростью cR .
Тогда в начале отсчета Oускорение вертикального движения грунта (2.32) от пакета волн Рэлея совпадает сзаданной акселерограммой X 3 ( t j ) по каждой гармонике из суммы (2.35). В точкеO x1 = x3 = 0, f1 ( x3 ) = 0, f 2 ( x3 ) = 0, n ( t j ) = kncRt j = nt j , тогдаu3( n) (t j ) = Cnn2 ( Q3 − Q2 ) cos nt j = An cos nt j .Таким образом, постоянные Cn могут быть определены из начальных условий:Cn =An. ( Q3 − Q2 )2n(2.37)Заметим, что при n = 1 1 = 0 .
В формулах (2.32) квадрат угловой частоты – множитель при гармонических функциях. При подстановке найденной постоянной в79(2.32) квадрат частоты сократится и неопределенности, возникающей при делениина нуль, не будет.В результате формулы для пространственно-временного векторного поля ускорений от пакета монохроматических волн Рэлея (2.32), формирующих заданную акселерограмму a3 ( t j ) вертикального движения в начале координат, имеют вид:(1X ( x , x ,t ) = A (Q eQ −QX 1 ( x1 , x3 , t j ) =N313)N1f (x )f (x )An e 1( n) 3 − Q1e 2( n) 3 sin n ( x1 , t j ),Q3 − Q2 n=1j32 n =1n3f1( n ) ( x3 )− Q2ef 2( n ) ( x3 )) cos ( x ,t ),n1(2.38)jгде1 − 2 1 − L2 21 − L2 2ccQ1 = 2, Q2 = 2, Q3 = 1 − L2 2 , L = 2 , = R ,222−2−c1c2f1( n) ( x3 ) = knQ3 x3 ,f 2( n) ( x3 ) = kn x3 1 − 2 , n ( x1, t ) = kn ( cRt − x1 ) = nt − kn x1 ,n =( n − 1) , kn = n , n = 1, 2, 3, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
