Диссертация (792538), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Обобщенная волновая модель.X1 = u1 + v1 + w1 ,X 2 = u2 + v2 + w2 ,X 3 = u3 + v3 + w3 .(2.18)Введем матрицу весовых коэффициентов С = сij  ( i, j = 1, 2, 3) для формированияпоступательных движений из продольных и поперечных смещений. Как показано на Рисунке 2.8, u1 , v2 , w3 – продольные перемещения от P–волн (они не вызывают ротаций и не так опасны для конструкций17), u2 , v1 , w1 , w2 – поперечные пе-Р-волны могут трансформироваться в S-волны при отражении о земную поверхность, но в обобщенной волновоймодели эти явления не рассматриваются.

Эта модель разработана прежде всего для инженерного подхода (в рамках«малой сейсмологии»).1766ремещения от SH–волн, u3 , v3 – поперечные перемещения от SV–волн. Свяжемперемещения X i и ui , vi , wi следующими соотношениямигдеu1 = c11 X 1u2 = c12 X 2u3 = c13 X 3v1 = c21 X 1v2 = c22 X 2v3 = c23 X 3w1 = c31 X 1w2 = c32 X 2w3 = c33 X 3c11 + c21 + c31 = 1c12 + c22 + c32 = 1(2.19)c13 + c23 + c33 = 1 .Разложим (2.8) в тригонометрический ряд Фурье, и далее будем подразумевать,что X i и ui , vi , wi – простые гармонические волны из спектра Фурье. Выразимui , vi , wi через решения волновых уравнений:X 1 = u1 + v1 + w1 = A11 f1 ( x1 − c1t ) + A121 ( x2 − c2t ) + A131 ( x3 − c2t ) ,X 2 = u2 + v2 + w2 = A21 f 2 ( x1 − c2t ) + A222 ( x2 − c1t ) + A23 2 ( x3 − c2t ) ,(2.20)X 3 = u3 + v3 + w3 = A31 f3 ( x1 − c2t ) + A323 ( x2 − c2t ) + A33 3 ( x3 − c1t ) ,здесь Aij = Aij ( x1 , x2 , x3 , t ) – спектральные амплитуды и fi , i , i – гармоническиеволновые функции, c1 и c2 – фазовые скорости продольных и поперечных волн.Разложение (2.20) можно записать для комбинации любых волн, в том числе поверхностных.АналитическиевыражениядляамплитудныхфункцийAij ( x1 , x2 , x3 , t ) , соответствующих поверхностным волнам Рэлея-Лэмба и Лява,приведены в [72, 75].

Для P и S–волн функции Aij в виде аналитических координатно-временных зависимостей не известны, но могут быть определены эмпирически. При отсутствии экспериментальных данных можно полагать, что вблизиповерхности для P и S–волн Aij = const .2.7. Расчет сейсмических ротаций грунтаИзучение проблемы сейсмических ротаций началось в 1969 году с работы Ньюмарка [19, 99], впервые предложившего соотношения, связывающие компонентывращательного и поступательного движения грунта. За рубежом в настоящее время расчеты с учетом ротационного движения проводятся в основном с использо-67ванием синтезированных акселерограмм ротационных компонент, полученных пометодике В. Ли, Дж.

Луко и М. Трифунака [9-12]. Основные положения этой методики: 1) движение происходит в линейно-упругом, слоистом полупространстве,и 2) движение грунта есть суперпозиция Р, SV и поверхностных волн Рэлея дляповоротов относительно двух горизонтальных осей (rocking) и SH и поверхностных волн Лява для крутильных колебаний относительно вертикальной оси(shaking). Заметим, что повороты относительно вертикальной и горизонтальнойосей моделируются раздельно.В СССР и России развивался более универсальный способ расчета ротационныхкомпонент по акселерограммам поступательного движения, впервые намеченныйв трудах В.Т.

Рассказовского [119], и развитый и обобщенный в работах Э.Е. Хачияна [138], Н.А. Николаенко и Ю.П. Назарова [96]. Преимущества этого подходаперед методом В. Ли, Дж. Луко и М. Трифунака заключаются в следующем:1) Использование обобщенной волновой модели как способа представления сейсмического воздействия в виде пространственной композиции из любых объемных и поверхностных волн.2) Известны точные аналитические соотношения, полученные Ю.П. Назаровым[72, 75], по которым спектры ротаций определяются по спектрам поступательныхдвижений. Эти соотношения дают возможность провести одновременный расчетвсех трех ротационных компонент, внутренне взаимосвязанных и между собой, ис исходными записями.Полученная тройка ротационных акселерограмм используется в качестве трех дополнительных компонент вектора сейсмического воздействия.

Ротационные компоненты сейсмического движения – углы поворота 1 ,  2 , 3 некоторого объемагрунта, а также его угловые скорости 1 ,  2 , 3 и ускорения 1 ,  2 , 3 относительно локальных ортогональных осей, выбранных для поступательного движения и обычно связанных со сторонами света, i = d i dt , i = d 2i dt 2 .68В дифференцированной модели функции поступательных перемещений грунтаX i = X i ( x1 , x2 , x3 , t ) задают переменное во времени пространственное векторноеполе X . В каждой точке ( x1 , x2 , x3 ) поля X определен вектор ротораj1rotX =x1j2x2j3,x3X1X2X3где j1 , j2 , j3 - орты соответствующих осей. Вычисляя вектор ротора в каждой точке, получаем новое векторное поле – роторное.Из последней формулы следует вид координатной формы ротора X X X  XX X rotX =  3 − 2  j1 +  1 − 3  j2 +  2 − 1  j3 . x1 x2  x2 x3  x3 x1 Известно, что углы поворота элементарного объема связаны с вектором ротора1соотношением α = rotX , тогда21  XX 1  X X 1 =  3 − 2  ,  2 =  1 − 3  ,2  x2 x3 2  x3 x1 1  XX  3 =  2 − 1  .

(2.21)2  x1 x2 После дифференцирования по времени получим угловые скорости 1 ,  2 , 3 иускорения 1 ,  2 , 3 в точке ( x1 , x2 , x3 ) :1  XX 1  X X 1 =  3 − 2  ,  2 =  1 − 3  ,2  x2 x3 2  x3 x1 1  XX  3 =  2 − 1  . (2.22)2  x1 x2 1  XX 1  X X 1 =  3 − 2  ,  2 =  1 − 3  ,2  x2 x3 2  x3 x1 1  XX  3 =  2 − 1  .

(2.23)2  x1 x2 Эти формулы задают ротации малой области в окрестности точки пространства,то есть соответствуют дифференцированному описанию поля угловых движенийгрунта. При переходе к интегральной модели векторное поле ротационных дви-69жений (так же, как и поле поступательных движений) осредняется по некоторомуобъему грунта и характеризуется единым вектором, приложенным в геометрическом центре объема осреднения. Осреднение пространственного поля перемещений по объему грунта под фундаментом аналогично процедуре фильтрации коротких волн поступательного движения, таких что  k  B .Из формул (2.20), (2.22) и (2.23) следуют соотношения, связывающие параметрыпоступательного и ротационного движения во временной области (подробныйвывод см.

в [72]): 2 1 t 23321 = A31( )u3 − A21( )u2 +  A32( ) + A32( )  v3 + A22( )v2 +c2 3 1 t 1  dw dv 2+ A33( ) w3 −  A23( ) + A32( )  w2 +  2 − 3  ,c2c2  dtdt  1 1 t 3312 2 = A11( )u1 −  A31( ) + A31( )  u3 + A12( )v1 − A32( )v3 +c2 3 1 t 1  du dw 1+  A13( ) + A13( )  w1 − A33( ) w3 +  3 − 1  ,c2c2  dtdt (2.24) 1 1 t  2 1 t 2123 =  A21( ) + A21( )  u2 − A11( )u1 + A22( )v2 −  A12( ) + A12( )  v1 +c2c21  dv du 12+ A23( ) w2 − A13( ) w3 +  1 − 2  ,c2  dtdt гдеAij( ) =11 Aij1 Aij1 Aij( 3)2,, Aij( ) =, Aij =Aij x3Aij x1Aij x2Aij( ) =t1 Aij.Aij tФормулы для 1 ,  2 , 3 и 1 ,  2 , 3 представлены в [15, 72].Рассмотрим поступательную компоненту сейсмического движения X i ( t ) в точке( x1, x2 , x3 ) .

Разложение в тригонометрический ряд Фурье функции2Т на интервале  −T , T  имеет вид [57]:X i с периодом70X i (t ) =1t tA0 +  Ak cos k +  Bk sin k ,2T k =1Tk =1(2.25)где Ak и Bk – коэффициенты Фурье1X i (  ) cos k d ,T −TTTAk =1X i (  ) sin k d .T −TTTBk =Каждая спектральная составляющая в (2.25) имеет угловую частоту k = k  T .Аналогично могут быть представлены углы ротаций (i = 1, 2, 3)i ( t ) =1 i  it tA0 +  Ak cos k +  Bki sin k2T k =1Tk =1(2.26)и волновые компоненты из формулы (2.20)ui ( t ) =1 ui  uit tA0 +  Ak cos k +  Bkui sin k ,2T k =1Tk =1vi ( t ) =1 vi  vit tA0 +  Ak cos k +  Bkvi sin k ,2T k =1Tk =1wi ( t ) =1 wi  wit tA0 +  Ak cos k +  Bkwi sin k .2T k =1Tk =1(2.27)Рассмотрим движение, соответствующее k-тому слагаемому рядов (2.25), (2.26) и(2.27).

Подставим (2.26) и (2.27) в (2.24) и приравняем коэффициенты при cos kи sin ktTt. В результате получим полный набор коэффициентов Фурье для заданияTротационного движения в форме (2.26):12 Ak1 = A31( 2) Aku3 − A21(3) Aku2 +  A32( 2) + A32(t )  Akv3 − A22(3) Akv2 +c21+ A33( 2) Akw3 −  A23(3) + A23( t )  Akw2 + k Bkw2 − Bkv3c2c2()7112 Bk1 = A31( 2) Bku3 − A21(3) Bku2 +  A32( 2) + A32(t )  Bkv3 − A22(3) Bkv2 +c21+ A33( 2) Bkw3 −  A23(3) + A23( t )  Bkw2 − k Akw2 − Akv3 ,c2c2()12 Ak2 = A11(1) Aku1 −  A31(1) + A31( t )  Aku3 + A12(3) Akv1 − A32(1) Akv3 +c21+  A13( 3) + A13(t )  Akw1 − A33(1) Akw3 + k Bku3 − Bkw1 ,c2c2()(2.28)12 Bk2 = A11(1) Bku1 −  A31(1) + A31( t )  Bku3 + A12(3) Bkv1 − A32(1) Bkv3 +c21+  A13( 3) + A13(t )  Bkw1 − A33(1) Bkw3 − k Aku3 − Akw1 ,c2c2()12 Ak3 =  A21(1) + A21(t )  Aku2 − A11( 2) Aku1 + A22(1) Akv2 −c21−  A12( 2) + A12( t )  Akv1 + A23(1) Akw3 − A13( 2 ) Akw1 + k ( Bkv1 − Bku2 ) ,c2c212 Bk3 =  A21(1) + A21( t )  Bku2 − A11( 2) Bku1 + A22(1) Bkv2 −c21−  A12( 2) + A12( t )  Bkv1 + A23(1) Bkw3 − A13( 2) Bkw1 − k ( Akv1 − Aku2 ) .c2c2Аналогично могут быть получены формулы для угловых скоростей (2.22) и ускорений (2.23) через спектры скоростей ui , vi , wi и ускорений ui , vi , wi [72].

Характеристики

Список файлов диссертации