Диссертация (792538), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Так, длительность реализации T складывается из N интервалов длительностью t каждый. Значение времени в начале каждого интервалаобозначим it , номер отсчета i = 0,1, ..., N − 1 . Дискретный случайный процесс102X ( it ) описывается непрерывной случайной функцией дискретного аргументаit . Спектральная плотность дискретного процесса на частоте f получается призамене интегралов Фурье интегральными суммами или рядами Фурье. Тогда периодограммная оценка спектральной плотности (2.49) для дискретного процессаравна (с учетом, что T = N t )2tGˆ x. ( f ) =N=N −1 x ( it ) e2− j2 f it=i =0N −12t  N −1− j2 f it  xitex ( k t ) e j2 f k t  =( )N  i =0  k =02t − j2 f ( i − k )t x ( k t ) x ( it ) e= 2t   ( ht ) e − j2 f ht ,N  i =0 k =0h =− N +1N −1 N −1N −1Здеh = i − k.сь1 − ( ht ) = 1 +h  1 N −1 x ( it ) x ( ( i − h ) t ), h  0,N  ( N − h ) i =hh  1 N −1+ h x ( it ) x ( ( i − h ) t ), h  0,N  ( N + h ) i =0.Для коррелограммного метода получаем дискретный эквивалент оценки (2.50) ввиде рядаN −1Gˆ x ( f ) = 2tK x ( 0 ) + 4t  Kˆ x ( ht ) cos 2fht ,h =1Эти оценки спектральной плотности, так же, как и их непрерывные аналоги (2.49)и (2.50), несостоятельные, то есть при N →  их дисперсии не стремятся к нулю.Состоятельные оценки получают при помощи частотного сглаживания [57]:1Gˆ xсгл.

( f ) =ff +f 2Gˆ x ( f1 ) df1 ,f −f 2где2tGˆ ( f ) =N.xN −1 x (it ) e2− j2 f iti =0при периодограммной оценке илиN −1Gˆ x ( f ) = 2tK x ( 0 ) + 4t  Kˆ x ( ht ) cos 2fhth=1103при коррелограммной оценке.Процедура сглаживания периодограммы по частоте (так же, как и для непрерывных случайных процессов) эквивалентна оконному преобразования Фурье оценкикорреляционной функции:1Gˆ xсгл. ( f ) =ff +f 2f −f 2Gˆ x ( f1 ) df1 =  Gˆ x ( f1 ) g ( f − f1 , f ) df1 ,0где1 f ,g ( f − f1 , f ) = 0,f,2ff − f1 .2f − f1 При этом все спектральные составляющие в интервале f входят в оценку с весом1, а остальные в расчет не принимаются.

Функция g является прямоугольfным спектральным окном.Gˆсгл.x1( f )=ff +f 2f −fsin f Gˆ x ( f1 ) df1 = 4 Kˆ x (  )cos ( 2f  ) d ,f 20Tгде функция корреляционного окна равнаk ( , f ) =sin f .f Обобщая приведенные выше рассуждения, получают семейство состоятельныхоценок спектральной плотности для различных оконных функций - спектральнойg и корреляционной k .Особенность дискретных процессов в том, что оценка корреляции представляютсобой дискретные зависимости, которые можно выразить через  -функции. Известно, что преобразование Фурье импульсной функции дает периодическуюфункцию вида1sin f с периодом повторения.

Она имеет главный максимумtf и боковые максимумы (так называемые боковые лепестки). При наложении этих104лепестков от различных импульсов (из этих импульсов состоит корреляционнаяфункция дискретного процесса) может возникать погрешность многократногоналожения высокочастотных составляющих. Этот эффект будет отсутствоватьпри выборе интервала отсчетов в соответствии с теоремой Котельникова: сигнал,описываемый функцией с ограниченным спектром, полностью определяется своими значениями, отсчитанными через временной интервал, равный t =1, где2 fвf в - самая высокая частота спектра. Если точки отсчета расположить чаще, данные будут избыточными и излишне коррелированными.

Если точки расположитьреже, часть информации пропадет и появится эффект наложения высокочастотных составляющих.Статистическая точность спектральной оценки равна  1, где f э - эквиваT f элентная ширина полосы частот, по которой осуществляется сглаживание периодограммы (интервал сглаживания), f э также характеризует разрешающую способность спектрального анализа.Пусть f в - верхняя граничная частота спектра исследуемого сигнала, для частотыотсчетов выполняется соотношение f 0 =1= 2 f в , длительность сигнала T = N t ,tm - количество интервалов усреднения ( N  m ) , длительность интервала усреднения m = mt , шаг дискретизации по частоте f =1.

Для частоты f = nfN tнесглаженные («сырые») периодограммная и коррелограммная оценки спектральной плотности имеют вид:2tGˆ x ( nf ) =NN −1 x (it ) e− j2 in 2N,i =0N −1 hn ˆˆGx ( nf ) = 2tK x ( 0 ) + 4t  Kˆ x ( ht ) cos  2 , Nh =1105fв N1N= , f =, f = nf , n = 0,1,2,..., .f2N t2гдеСоответствующие сглаженные оценки определяют по формуламGˆ xсгл. ( nf ) =  Gˆ x ( k f ) g ( k f − nf ) f ,k =0N −1 hn сгл.ˆˆGx ( nf ) = 2tK x ( 0 ) + 4t  Kˆ x ( ht ) k ( ht ) cos  2 , Nh=1Метод сглаживания периодограмм, предложенный Уэлчем [7], заключается в разделении исходных данных на перекрывающиеся сегменты. Перекрытие сегментовувеличивает количество усредняемых интервалов при заданной длине реализации.

Так уменьшается дисперсия оценки спектральной плотности. До вычисленияпериодограммы данные каждого сегмента умножаются на оконную функцию. Этаоперация дает возможность избежать эффекта появления боковых лепестков иуменьшить смещение оценки. Затем вычисляется преобразование Фурье каждогосегмента. Результат суммируется по сегментам и делится на так называемый коэффициент коррекции энергии окна (дисперсия окна, умноженная на количествосегментов). Обычно применяют окно Хэмминга с 50% перекрытием. Разрешениеметода определяется шириной окна, или, что то же, количеством точек сегмента.Результаты применения метода сглаживания Уэлча проиллюстрируем на тестовомпримере - записи сейсмического ускорения грунта во время Бухарестского землетрясения 1977 г.

в направлении N-S (2048 отсчетов) (Рисунок 2.24). Применяетсяметод Уэлча с 50% перекрытием окнами Хэмминга. С уменьшением ширины окнасреднеквадратичное отклонение ошибки оценивания увеличивается (Рисунки2.25-2.27). Расчеты были выполнены с использованием функции pwelch математического пакета MATLAB Signal ToolBox:[Pxx,f] = pwelch(x,window,noverlap,nfft,fs)Здесьx - вектор данных размерности N;window - сглаживающее окно с заданным количеством точек, например,hamming(128) – 128-точечное окно Хэмминга;106noverlap - число точек, общих для двух соседних сегментов вектора x, если noverlap равно длине окна, деленной на 2, то это окно с 50% перекрытием. Если noverlap не задано (то есть в списке аргументов вместо noverlap записано [ ]), то сглаживание автоматически проводится с 50% перекрытием, например, для hamming (128) noverlap =128/2=64;nfft - число точек для процедуры быстрого преобразования Фурье, можетбыть равно N, если N - степень двойки;fs - частотный диапазон, Гц.Рисунок 2.24.

Акселерограмма Бухарестского землетрясения 1977 г. в направлении N-S. Окно ПО «Еврософт Одиссей».Gˆ , Gˆ сгл , м 2 с32.521.510.50012345f , Гц6Рисунок 2.25. Периодограмма и сглаженная спектральная плотность мощности(1024 точки, 50% перекрытие)107Gˆ , Gˆ сгл , м 2 с32.521.510.50012345f , Гц6Рисунок 2.26. Периодограмма и сглаженная спектральная плотность мощности(512 точек, 50% перекрытие)Gˆ , Gˆ сгл , м 2 с32.521.510.50012345f , Гц6Рисунок 2.27.

Периодограмма и сглаженная спектральная плотность мощности(256 точек, 50% перекрытие)Итак, значения спектральной плотности мощности зависят от способа сглаживания и разрешения спектральной оконной функции. Чем шире используемое корреляционное окно, тем уже соответствующее спектральное, то есть тем выше разрешение. В этом случае на графиках спектральной плотности точнее проявляются108экстремумы. Чем уже корреляционное окно, тем более размыт график спектральной плотности. Для анализа акселерограмм достаточно подбирать такие параметры оценивания, чтобы в оценке спектральной плотности оставались 5-10 основных максимумов периодограммы. Особо отметим, что при оценке акселерограммописанным выше способом неизбежны ошибки, связанные с предположениемстационарности и эргодичности случайного процесса.

Для повышения точностиоценки следует вычленить активную фазу землетрясения, которую можно приближенно считать стационарной.2.10. Пространственная изменчивость сейсмического движенияПонимание характера движения поверхности грунта под фундаментом при расчете на сейсмостойкость, особенно при расчете на максимальные расчетные землетрясения для протяженных конструкций с высокой степенью ответственности, первая проблема, с которой приходится сталкиваться проектировщику. Невозможно точно предсказать сейсмическое воздействие в пространстве, то есть однозначно задать направление распространения фронта волны, определить вид волны, вид сейсмического источника, его динамику и ориентацию в пространстве ит.д.

Поэтому при инженерных расчетах применяется универсальное правило –нагрузки соответствуют наиболее неблагоприятному сценарию с максимальнойдинамической реакцией здания. В сейсмических расчетах применяется упрощенный инженерный подход [47, 75, 125, 126], то есть обычно принимают, что подфундаментом проходит плоская S-волна с горизонтальным вектором, распространяющаяся с фазовой скоростью. Такой случай соответствует максимальной динамической реакции сооружения. Для условий плотной городской застройки с развитой подземной инфраструктурой, с непредсказуемой картиной распространениясейсмических волн, этот подход является наиболее оправданным.

В последниегоды появились новые данные о пространственном характере сейсмических движений в малых масштабах. В 80-х годах прошлого века началось создание специальных полигонов – полей (или массивов) с плотным размещением сейсмодатчи-109ков (dense instrument arrays), разделенных между собой достаточно малыми расстояниями, порядка десятка метров. Сегодня во многих сейсмически активныхзонах мира (США, Тайвань, Япония, Италия, Греция, Финляндия) работают десятки таких полигонов [1, 2, 32].

Их основная цель - сбор, накопление и анализсейсмологических данных для изучения сейсмических движений в малых масштабах. Результаты обработки данных представляются чаще всего в виде функциикогерентности - меры согласованности спектрального состава сейсмическоговоздействия в различных точках поверхности грунта. Основной вопрос, решаемый в настоящее время –практическое применение эмпирической функции когерентности для инженерных методов расчета.Определение функции пространственной когерентностиПримем за начало координат точку, в которой заданы инструментальные или синтезированные акселерограммы, а также определим три взаимно ортогональныхнаправления (обычно совпадающих со сторонами света).

Пусть в этой системекоординат радиус-векторы rk ( xk , yk ) и rm ( xm , ym ) задают положение k -той и m той точек на поверхности грунта, km = rk − rm - расстояние между ними, a ( t , rk ) иa ( t , rm ) - реализации сейсмического ускорения грунта в этих точках в одном изтрех фиксированных направлений, S km , S k , Sm - сглаженные взаимная спектральная плотность и спектральные плотности мощности реализаций a ( t , rk ) и a ( t , rm ) ,тогда функция пространственной когерентности определяется как ( f , km ) =Skm ( f , km )Sk ( f ) Sm ( f ).Из-за комплексной взаимной спектральной плотностиSkm = Skm exp  j ( f , km )функция  ( f , km ) также является комплексной110 ( f , km ) =  ( f , km ) exp  j ( f , km )( Re Skm ) + ( Im Skm )Sk ( f ) Sm ( f )2 ( f , km ) =с модулеми аргументом ( f , km ) = −arctg(2.51)2,Im Skm ( f , km ).Re Skm ( f )(2.52)(2.53)В тригонометрической форме функция когерентности имеет вид ( f , km ) =  ( f , km ) ( cos  ( f , km ) + j sin  ( f , km ) ) .(2.54)Важно отметить, что спектральные плотности S km , S k , Sm входящие в (2.51),должны быть сглаженными с помощью оконного преобразования Фурье (применяется, например, метод Уэлча с окнами Хэмминга (Рисунок 2.28), Хана и др.).Процедура оконного сглаживания дает состоятельную оценку спектральной плотности [57].

Характеристики

Список файлов диссертации