Диссертация (792538), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Моменты инерции в осях C123 обозначим 1 , 2 , 3 . Тело имеет 6степеней свободы – три линейные вдоль осей O123 и три угловые относительноэтих осей. Определим 6-мерный вектор переносного движения q tr как векторобобщенных перемещений, возникающих в конструкции от статических опорныхперемещений q 0 . Относительные обобщенные координаты q r будем отсчитыватьот перемещений q tr . Вектора переносного движения (перемещений, скоростей,ускорений) содержат линейные и угловые перемещения:Xtr ( t ) = ( X 10X 20X 30 ) ,α tr ( t ) = ( 10 2030 )Xtr ( t ) = ( X 10X 20X 30 ) ,α tr ( t ) = ( 10 2030 )Xtr ( t ) = ( X 10X 20X 30 ) ,α tr ( t ) = ( 10 2030 ) ,TTTTTTилиqtr ( t ) = ( Xtr α tr ) ,Tqtr ( t ) = ( Xtr αtr ) ,Tqtr ( t ) = ( Xtr αtr ) .TВведем вектора относительных линейных и угловых перемещений, скоростей иускорений (относительно перемещений q tr ):X = ( X1X2X3 ) ,φ = ( 1 23 ) ,X = ( X1X2X3 ) ,φ = ( 1 23 ) ,TTTT212X = ( X1X2X3 ) ,φ = ( 1 2T3 ) ,Tили в виде шестикомпонентных векторовq = ( X φ) ,q = ( X φ) ,TTq = ( X φ) ,Tа также абсолютных перемещений, скоростей и ускорений (относительно начального положения O123 ):Xabs = ( X 1absX 2 absX 3abs ) ,φabs = ( 1abs2 abs3abs ) .Xabs = ( X 1absX 2 absX 3abs ) ,φabs = ( 1abs2 abs3abs ) .Xabs = ( X 1absX 2 absX 3abs ) ,φabs = ( 1abs2 abs3abs ) .TTTTTTАбсолютная скорость поступательного движения Xabs есть сумма относительнойи переносной скоростей:Xabs = X + φ  r + Xtr + αtr  r ,где φ  r и α tr  r - векторные произведенияkφ  r = 1x1Cl2x2Cm3 ,x3Ckα tr  r = 10x1Cl 20x2Cm30 ,x3Ck , l , m - тройка направляющих ортов радиус-вектора r .Угловая скорость при малых ротациях равна φabs = φ + αtr .Далее выкладки ничем не отличаются от приведенных в п.3.1.

В результате векторинерционных сил разделяется на два слагаемых:I = MOq + MOqtr = MO ( q + qtr ) ,(4.19)здесь M O - матрица инерции твердого тела при относительном движении:213 m 0 0MO =  0 mx3C −mx2C0m000m0−mx3Cmx2Cmx3C0−mx1C−mx3Cmx2C1 + m ( x32C + x22C )−mx1C x2C0−mx1C−mx1C x2C2 + m ( x12C + x32C )mx1C0−mx1C x3C−mx2C x3C−mx2Cmx1C0−mx1C x3C,−mx2C x3C3 + m ( x22C + x12C ) MOqtr - переносные инерционные сейсмические силы.Рисунок 4.1.

Относительное и переносное движение твердого телаРассмотрим относительное движение системы с n степенями свободы под многомерным кинематическим воздействием. Определим n -мерный вектор переносного движения q tr как вектор обобщенных перемещений, возникающих в конструкции от статических опорных перемещений q 0 . Для системы с n степенямисвободы вектор абсолютных обобщенных координат qabs есть сумма векторов отnносительных обобщенных координат q  и переносного движения qtr  :nqabs = q + qtr .n(4.20)214Перепишем уравнение абсолютного движения (4.18), заменив инерционные силыв соответствии с (4.19) и учитывая, что суммарные восстанавливающие силы равны сумме упругих сил при переносном и относительном движениях:Mq + Mqtr + Kq + Kqtr = −K sq0 .(4.21)Вектор упругих усилий в опорных элементах Kqtr уравновешен вектором опорных реакций K sq0 :Kqtr + K sq0 = 0 ,(4.22)qtr = −FK sq0 ,(4.23)откудагде F = K −1 - матрица податливости системы. С учетом (4.22) и (4.23) запишемуравнения движения в относительных координатах:Mq + Kq = −Mqtr ,Mq + Kq = MFK sq0 .(4.23)Отметим, что в случае переносного движения для многомерного пространственного кинематического воздействия сложно представить какую-то определеннуюподвижную систему координат, привычную для динамики твердого тела.

Приведенное выше формальное определение переносного движения дает возможностьавтоматически получить в правой части уравнений относительного движения(4.23) переносные инерционные силы, зависящие только от вектора ускорений q 0 .Очевидно, что расчет правой части формулы (4.23) сопряжен с вычислительнымитрудностями, возрастающими с ростом числа степеней свободы динамической системы. Несколько упростить задание правой части уравнения движения можно спомощью матрицы влияния Fsn6 p (для плоской системы Fsn3 p ), связывающейперемещения вдоль обобщенных координат с перемещениями опорных точек[72]. Матрицу влияния Fs введем как взятое со знаком минус произведение мат-215рицы податливости системы F = K −1 на матрицу жесткости системы опор K s (см.(4.21)):Fs = −FK s .(4.24)Тогда вектор переносного движения равенqtr = Fsq0 ,(4.25)а уравнение движения будет иметь видMq + Kq = −MFsq0 .(4.26)Для вычисления матрицы влияния Fs решают 6 p статических задач, в ходе которых определяется вектор перемещений системы на единичное смещение (осадку)каждой из опор.

Таким образом, i -тый столбец матрицы влияния Fs в (4.25) —это n обобщенных перемещений системы от единичного i -того компонента вектора q 0 .4.5. Оценка внутренних усилий от переносного движенияКогда уравнения динамического равновесия записываются в относительном движении, решение уравнения (4.26) соответствует относительному отклонению системы от подвижной системы координат. Обобщенные координаты подвижнойсистемы q tr также зависят от времени. При мгновенном изменении осадок опорq 0 РДМ получает перемещения qtr = Fsq0 , другими словами, занимает положениемгновенного равновесия, относительно которого решается динамическая задача.Для описания такого состояния системы применяют термин «деформированная»расчетная схема.

Следует отметить, что колебания системы относительно деформированного состояния рассматривают во всех случаях, когда решение динамической задачи привязано к подвижной системе координат, в которой из-за переносного движения появляются дополнительные силы и моменты (от изменения эксцентриситетов статических нагрузок, от неравномерных осадок опор, и т.д.). РДМ216«подстраивается» под них, деформируясь и приходя в состояние мгновенногоравновесия с соответствующими внутренними усилиями:Str = Kqtr = KFsq0 = −K sq0 .(4.27)Полные расчетные усилия S  вычисляют как сумму усилий, возникающих припереносном и относительном движениях: S = Str + S .Проведем оценку вклада усилий от переносного движения S tr и от относительного движения S в общую сумму.

Усилия S tr пропорциональны вектору перемещений грунта по формуле (4.27). Для оценки усилий от относительного движениярассмотрим статическое решение уравнения (4.26) q st = −K −1MFsq 0 = K −1MFK sq 0 .0−10Статическому решению соответствуют усилия S st = Kq st = −MFsq = MK K sq .В силу свойства матрицы собственных форм V и диагональной матрицы соб-( )ственных частот Ω 2 KV=MVΩ2 , откуда MK −1 = V Ω 2−1V −1 . ТогдаS st = V ( Ω 2 ) V −1K sq 0 .−1Рассмотрим разложение вектора сейсмических перемещений q 0 в тригонометрический ряд Фурье:q ( t ) =  ak cos ( k t + k ),0k = k  T ,k =0где 2T - период функции q 0 ( t ) , T - длительность реализации, ak - вектор коэффициентов Фурье, k - фаза k -той спектральной составляющей.

Вектор ускорений определим дифференцированием q 0 ( t ) по времени:q0 ( t ) = − ak k2 cos ( k t + k ) .k =0Проведем оценку максимальных по модулю значений векторов q 0 и q 0 :217akmax q 0max q 0k =0a k =0k2k,и максимальных статических усилий от переносных и от относительных сил:StrK s ak ,k =0S stV (Ω)2 −1V K s  a k k2 .−1k =0Возможны следующие случаи:1) Низкочастотное воздействие и очень жесткая конструкция ( k: k   k ) , тогда S st  S tr , а так как вне резонансной зоны коэффициенты динамичности будутневелики, то и динамические усилия от относительных перемещений будут малыпо сравнению с усилиями от переносных сил: S  Str .2) Высокочастотное воздействие и нежесткая конструкция ( k:  k  k ) , тогдаS tr  S st , при небольших коэффициентах динамичности вне зоны резонансаS tr  S .3) Резонансный случай ( k:  kk ) , тогда S trS st , но резонансные коэффици-енты динамичности велики, так что S tr  S .В особых случаях, например, в эпицентральных зонах при сильных землетрясениях (более 9 баллов) перемещения грунта и соответствующие им деформации РДМмогут быть настолько велики, что потребуется учет усилий в деформированнойсхеме.

Такие расчеты должны опираться на результаты детального сейсмическогорайонирования, чтобы максимально правдоподобно задать величины и направления вектора q 0 .Далее при вычислении полных расчетных усилий S  не будем принимать во внимание усилия S tr . При статической постановке задачи усилия S tr определяютсяпростым статическим расчетом.218Ниже приведены примеры составления уравнений движения в абсолютных и относительных координатах при дифференцированном сейсмическом воздействии.4.6. Плоская рама под дифференцированным сейсмическим воздействиемСейсмическое воздействие на плоскую раму задано поступательными и угловымиперемещениями основания в опорах (Рисунок 4.1). Запишем уравнения движенияпри условии, что массы ригелей m1 , m2 , m3 сосредоточены в узлах рамы.Обозначим EI , EF - изгибная жесткость и жесткость на растяжение-сжатие каждой стойки и ригеля, h - высота рамы, B - ширина пролета.

Характеристики

Список файлов диссертации