Диссертация (792538), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В каждой i -той опорной точке с координатами ri = ( x1i , x2i , x3i ) будут свои коэффициенты динамичности:1i ( , ri ) = 1 ( ) 1i ( , ri ) ,4i ( , ri ) = 4 ( ) 4i ( , ri ) ,2i ( , ri ) = 2 ( ) 2i ( , ri ) ,5i ( , ri ) = 5 ( ) 5i ( , ri ) , (4.58)3i ( , ri ) = 3 ( ) 3i ( , ri ) ,6i ( , ri ) = 6 ( ) 6i ( , ri ) ,в векторном видеβi ( , ri ) = Θi ( , ri ) β1 ( ) ,где Θi66(4.59)= diag ( 1i ,..., 6i ) - матрица функций пространственного изменения КДотносительно точки привязки.
Функции пространственного изменения спектравоздействия ji учитывают эффекты рассеяния волн коротковолновой части245спектра и определяется экспериментально путем анализа функции когерентности[82].Совокупность коэффициентов динамичности во всех опорных точках задаетсявектором ββВведемΘ6 p6блочную6 p= β ( ) = ( β1 ... β p ) .Tматрицуфункцийизменения(4.60)спектральногосостава= Θ ( , r ) = ( Θ1 , Θ2 ,..., Θ p ) , где r = ( r1, r2 ,..., rp ) , тогда вектор коэффициенTтов динамичности во всех опорных точках выражается через вектор динамических коэффициентов в точке привязки β1 (4.57):6β = Θβ1 .(4.62)Если спектральный состав воздействия не меняется в зависимости от пространственной координаты, то Θi66- единичные матрицы, i = 1, ..., p - номер опорнойточки.В прикладных сейсмических расчетах за модальный коэффициент динамичностиk в формуле (4.55) договоримся принимать максимальный элемент вектораβ ( k ) :k = max ( β ( k ) ) ,(4.63)где k - собственная частота k -той формы колебаний.4.13.
Модальные усилия и перемещения. Коэффициенты формы и участияВеличины модальных внутренних усилий Sik (модальное усилие по k -той собственной форме, действующее в направлении i -той обобщенной координаты) дляинтегрального воздействия находят по формуле (3.51), применяя стандартныйприем (3.42) - (3.44). Переписав (4.51) для дифференцированного воздействия ипринимая во внимание (4.54) и (4.63), получим246Sik = k I miv k vTk M sTν .M mod ,k(4.64)где k - модальный коэффициент динамичности (4.63), I - интенсивность сейсмического воздействия, m i - i -тая строка матрицы инерции, v k - вектор k -тойсобственной формы, M s - матрица переносных инерционных коэффициентов(4.44), T - матрица пространственного изменения ускорений (4.54), ν - векторнаправлений сейсмического воздействия.Коэффициентом участия k -той собственной формы колебаний по аналогии с(3.52) назовем скалярную величину k = vTk MsTν .(4.65)Тогда внутреннее усилие по k -той собственной форме, действующее в направлении i -той обобщенной координаты равноSik = k Ikmi v k .M mod,kВектор коэффициентов формы колебаний ηk для дифференцированного воздейnствия принимает видηk =v k vTk M skTν =vk ,M mod ,kM mod ,k(4.66)тогдаSik = k Imi ηk .Вектор модальных усилий, соответствующий k -той собственной форме, состоитиз элементов Sik (4.64):Sk = k IMηk .(4.67)Модальные перемещения по k -той собственной форме в исходном базисе равны2471ηk .2kqk = K −1Sk = k IK −1Mηk = k I(4.68)4.14.
Опасные направления сейсмического воздействия и коэффициент динамичности формыСформулируем задачу о поиске опасных направлений сейсмического воздействиядля дифференцированного воздействия: требуется найти такие компоненты объединенного вектора направляющих косинусов поступательного и ротационногодвиженияν k [6 p ] = ( ν k ,1ν k ,2 ... ν k , j ... ν p ) ,Tгдеνk , j ν kX, j == X w ν ( k ,1 j j k, j kX,2 j kX,3 jw j k ,1 jw j k,2 j- вектор направляющих косинусов в j -той опорной точкеw j k,3 j )T( j = 1, ..., p ) , которыебы доставляли максимум динамической реакции по k -той собственной форме колебаний.Будем оценивать динамическую реакцию конструкции по компонентам векторовмодальных откликов.
Рассмотрим i -тую компоненту вектора S k , то есть модальный отклик по i -той обобщенной координате и k -той форме колебанийSik = k Imiv k vTk M sTν k .M mod,kВыделим множитель, общий для всех компонент вектора S k (не меняющийся взависимости от номера обобщенной координаты):vTk Msk = kTν k .M mod,k248Скалярная функция k отвечает за величину динамической реакции по k -тойформе колебаний и называется коэффициентом динамичности k -той формы колебаний для дифференцированной модели сейсмического воздействия [75]. k линейно зависит от модального коэффициента динамичности k и компонент объединенного вектора направления ν k , связанных двумя нелинейными условияминормировки( ) + ( ) + ( )2Xk ,1 j2Xk ,2 j2Xk ,3 j( ) + ( ) + ( )2k ,1 j=1 и2k ,2 j2k ,3 j= 1.Опасные направления сейсмического воздействия для k -той формы колебанийопределяются вектором ν k , который доставляет условный максимум функции k .Все компоненты вектора S k умножаются на коэффициент динамичности формыk , поэтому реакция по k -той форме будет максимальной.Общее количество неизвестных компонент вектора ν k равно 6 p ( p - общее количество опорных точек).
Они могут быть определены методом неопределенныхмножителей Лагранжа так же, как в [75]. Составим функцию Лагранжа в видеL ( ν k , 11 , 12 , ..., 1 j , 2 j , ..., 1 p , 2 p ) = k +((((() () − 1) + ( ( ) − 1) + ( ( )+11 ( kX,11 ) + ( kX,21 ) + ( kX,31 ) − 1 + 21 ( k ,11 ) + ( k ,21 ) + ( k ,31 ) − 1 + ... ++1 j+1 p22) + ( ) + (2Xk ,1 j2Xk ,2 j22Xk ,3 j) + ( ) + (2Xk ,1 p2Xk ,2 p2Xk ,3 p2j2p222) + ( ) + ( )2k ,1 j2k ,2 j2k ,3 j) + ( ) + ( )2k ,1 p2k ,2 p)− 1 + ...
+2k ,3 p)−1 .Приравняем к нулю частные производные функции Лагранжа по неизвестнымнаправляющим косинусам и множителям Лагранжа. Получим 8 p уравнений относительно такого же количества неизвестных ( j = 1, ..., p ) :L= Xk + 21 j kX,1 j = 0 ,X k ,1 j k ,1 jL= k + 2 2 j k ,1 j = 0 , k ,1 j k ,1 j249LL= Xk + 21 j kX,2 j = 0 ,= k + 2 2 j k ,2 j = 0 ,X k ,2 j k ,2 j k ,2 j k ,2 jLL= Xk + 21 j kX,3 j = 0 ,= k + 2 2 j k ,3 j = 0 ,X k ,3 j k ,3 j k ,3 j k ,3 j222L= ( kX,1 j ) + ( kX,2 j ) + ( kX,3 j ) − 1 = 0 ,1 j222L= ( k ,1 j ) + ( k ,2 j ) + ( k ,3 j ) − 1 = 0 . 2 jТаким образом, приходим к той же системе уравнений (3.60), что и при поискеопасных направлений для интегрального воздействия.Cтруктурируем матрицу Ms = Msn6 pT6 p6 p , выделив в ней p матриц-блоков M sjn6M s = ( M1s ...
M sj... M sp ) .Каждую матрицу Msj представим в виде шести n -мерных столбцовM sj = ( m1s ,jXms2, jXms3,jXm1s ,jms3,j ) .ms2,jДействуя по тому же алгоритму, что и при поиске опасных направлений для интегрального воздействия, получим формулы для направляющих косинусовв j -той опорной точке: для поступательного и ротационного движения грунтаν kX, j = k1 ( vTk m1s,jXvTk ms2, jXvTk m3s,jX ) , где k1 = ν k , j = k2 ( vTk m1s ,jvTk ms2,jvTk m3s ,j ) , где k2 = 1T( vTk m1s,jX ) + ( vTk ms2, jX ) + ( vTk m3s,jX )221(v m ) + (v m ) + (v m )Tks , 21jTks , 22jTks , 23j2;.
(4.69)Здесь m1s ,jX , m s2, jX , m s3,jX - 1, 2 или 3 столбец матрицы Msj ; m1s ,j , m s2,j , m s3,j - 4, 5 или 6столбец матрицы Msj .Для каждой опасной ориентации воздействия необходимо определить свое количество учитываемых собственных форм. При этом можно применять универсаль-250ный алгоритм Ю.П. Назарова (см. п.3.11), подходящий как для интегрального, таки для дифференцированного воздействия.4.15. Модальный отклик на отдельные компоненты сейсмического движения иопорные реакцииМодальный отклик на отдельные компоненты сейсмического воздействия и модальные опорные реакции в основании определяются так же, как в п. 3.9, 3.10,следует только принять во внимание способ задания дифференцированного воздействия (4.54).
Модальный отклик в направлении i -той обобщенной координатыот поступательного движения грунта вдоль оси O1 (Рисунок 3.1), равенSν X 1[6 p ] = ( ν kX,11X1ikv k vTk M s X 1= k ImiTν ,M mod,kν kX,21 ... ν kX,1j ... ν Xp 1 ) ,ν kX,1j = (1 0 0 0 0 0) , j = 1, ..., p ,TTздесь ν X 1 - объединенный вектор направлений, при котором в каждой опорнойточке сейсмическое воздействие направлено вдоль оси O1 .
Аналогично модальные отклики от сейсмических сил, действующих вдоль осей O 2 и O3 :X2ikSv k vTk Ms X 2= k ImiTν ,M mod,kX2ikSv k vTk Ms X 2= k ImiTνM mod,k(4.70)ν X 2 = ( ν kX,12ν kX,22 ... ν kX, 2j ... ν Xp 2 ) ,ν kX, 2j = ( 0 1 0 0 0 0 )ν X 3 = ( ν kX,13ν kX,23 ... ν kX, 3j ... ν Xp 3 ) ,ν kX, 3j = ( 0 0 1 0 0 0 )TTTTАналогично получаются модальные усилия Sik от переносных сейсмических моментов, приложенных относительно осей O1 , O 2 и O3 :Sik1 = k Imiv k vTk M s 1v vT Mv vT MTν , Sik 2 = k Imi k k s Tν 2 , Sik 3 = k Imi k k s Tν 3 ,M mod,kM mod,kM mod,k(4.71)251ν 1[6 p ] = ( ν k ,11ν k ,21 ...
ν k ,1j ... ν p1 ) ,Tνk ,1j = ( 0 0 0 wi0 0) ,Tν 2 = ( ν k ,12ν k ,22 ... ν k ,2j ... ν p 2 ) ,νk ,2j = ( 0 0 0 0 wiν 3 = ( ν k ,13ν k ,23 ... ν k ,3j ... ν p3 ) ,νk ,3j = ( 0 0 0 0 0 wi ) ,TT0) ,TTj = 1, ..., p .Расчет модальных опорных реакций в основании описан в п. 3.10. Запишем соответствующие формулы для дифференцированного сейсмического воздействия(матрицы MsX и Ms формируются так же, как это описано в п. 3.10):SikQ = k Imiv k vTk M sXTν k .M mod,k(4.72)Oпорная реакция SkQ при движении по k -той собственной форме равна сумме силSikQ по каждой обобщенной координате:SkQ =k I n T Xmvik v k M s Tν k .M mod,k i =1(4.73)Моменты в основании относительно основных осей РДМ равны сумме переносных сейсмических моментов и моментов от переносных сейсмических сил. Внутренний момент по k -той собственной форме, действующий в направлении i -тойобобщенной координаты, равенv k vTk MsS = k ImiTν k .M mod,kLikДобавим к внутреннему моменту SikL моменты от сил SikQ в виде векторного произведения радиус-вектора ri i -той обобщенной координаты (см.
п. 3.1) на векторсилы. Окончательно получим внутренний момент в основании от i -той обобщенной координаты по k -той собственной форме:252SikL =k Imi v k vTk ( M sTν k + M sX Tψ k ) ,M mod,k(4.74)гдеψk6 pνk , j= ( ri ν k ,1 ri ν k ,2 ... ri ν k , j ... ri ν p ) ,T ν kX, j == X w ν ( k ,1 j j k, j kX,2 jw j k ,1 j kX,3 jw j k,2 jw j k,3 j ) .Tгде вектора направляющих косинусов ν kX, j и ν k , j задаются формулами (4.69).Сумма моментов SikL по каждой обобщенной координате равна опорной реакцииS kL в основании при движении по k -той собственной форме:S kL =k IM mod,k m v v ( M Tνni =1ikTksk+ M sX Tψ k ) .(4.75)Проекции опорных реакций (4.73) и (4.75) на основные оси РДМ получаются призадании соответствующих направляющих косинусов, как в формулах (4.70),(4.71).4.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
