Диссертация (792538), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Стержневая системасостоит из 6 узлов и 5 элементов, общее количество степеней свободы – 18, включая 9 узловых перемещений ригелей и 9 кинематических краевых условий (опорных перемещений); нумерация узловых перемещений и стержневых конечныхэлементов показана на Рисунке 4.1.Введем вектор абсолютных обобщенных координат, описывающих движениемасс в горизонтальном и вертикальном направленияхq abs = (U1 V1 U 2 V2 U 3 V3 ) ,Tи вектор кинематических краевых условийq0 = (U 4 V4 4 U 5 V55 U 6 V66 ) ,Tкоторый будем считать известным.Сформируем вектор узловых перемещений, разделяя перемещения ригелей и опорf f =  10  ,q гдеf1 = (U1 V1 1 U 2 V2 2 U 3 V33 ) Tабсолютные перемещения ригелей в глобальной системе координат.2191V1Глобальнаясистемакоординат1U1m12U21U43U3EI m3EIEI43V4V3m2EIEI22V2V54U525V65U6Локальная системакоординат для элементов3, 4, 5h16BBРисунок 4.2.

Конечно-элементная схема рамыМатрицы жесткости горизонтальных ригелей длиной B (стержневые конечныеэлементы 1 и 2) в глобальной системе координат представим в блочном виде K11H K12H K = H,H KK 2122 Hгде00  EF BK11H =  012 EI B3 6 EI B 2  , 06 EI B 2 4 EI B 0 − EF BK = 0−12 EI B3 06 EI B 2H2100  − EF BK12H =  0−12 EI B3 6 EI B 2  , 0−6 EI B 2 2 EI B 00 EF B2H−6 EI B  , K 22 =  012 EI B3 02 EI B −6 EI B 202−6 EI B  .4 EI B Для горизонтальных элементов локальная и глобальная системы координат совпадают.Для вертикальных стоек длиной h (элементы 3, 4, 5) матрица жесткости в глобальной системе имеет вид220VV K11K12K = V,V KK 2122 V12 EI h3VK11=0 6 EI h2 −12 EI h3KV21 = 0 6 EI h206 EI h2 EF h0 ,04 EI h  −12 EI h3VK12=0 −6 EI h206 EI h2 − EF h0 ,02 EI h  12 EI h30−6 EI h 2 V0− EF h0 , K 22 =  −6 EI h202 EI h 0−6 EI h 2 EF h0.04 EI h Здесь учтено, что для стоек локальная система координат не совпадает с глобальной, ориентация локальной системы показана на Рисунке 4.2.Глобальная матрица жесткости K all получается путем объединения матриц жесткости отдельных элементов, причем компоненты, соответствующие общим степеням свободы соседних элементов, суммируются [67]:K allздесь 033VV K11H + K11K12H0K12HHVK 22+ K11H + K11K12H0 K 21HHV0K 21K 22+ K110=V00K V22 K 210K V2100V00K 2100VK1200K V2200 0 V K12,0 0 K V22 - нулевая матрица.

Матрица K all имеет размерность [18х18], по числустепеней свободы стержневой системы.Произведение K all f дает вектор активных и реактивных сил в направлении узловых перемещений (то есть внешних сил и опорных реакций).Левый верхний блок матрицы K all размерности [9x9] соответствует матрицежесткости рамы, жестко заделанной в основание221VH K11H + K11K120HHHVHK =  K 21K 22+ K11+ K11K12.HHV0K 21K 22 + K11 (4.28)Правый верхний блок размерности [9x9] представляет собой матрицу жесткостисистемы опорных элементов, преобразующую кинематическое воздействие в сейсмические силыV K12Ks =  0 00VK120Расширенная матрица жесткости K9180 0 .V K12(4.29)состоит из строк, соответствующих пере-мещениям f1 , то есть из блоков K и K s :K = (K Ks ) .Уравнения движения запишем по принципу Даламбера: к уравнениям статического равновесия добавим даламберовы силы инерции.

Заметим, что в данном примере все массы сосредоточенные, не имеют угловых степеней свободы, поэтомувектор обобщенных координат q abs не содержит угловых перемещений и не равенвектору f1 . Для записи уравнений движения из расширенной матрицы жесткостивычеркнем строчки и столбцы с номерами 3, 6 и 9. Это угловые направления, покоторым не действуют инерционные силы, и которым не соответствуют уравнения динамического равновесия.

Матрица жесткости стержневой системы (4.28) вразвернутом видеУравнения движения в абсолютных координатах имеют вид:Mqabs + Kqabs = −K sq0 ,(4.30)где M = diag ( m1, m1, m2 , m2 , m3 , m3 ) . Матрица инерции не содержит недиагональныхэлементов, так как РДМ не имеет угловых степеней свободы.222 EF 12 EI B + h30 − EFBK =000−0EFB0012 EIB3012 EI EF+B3h002 EF 12 EI+ 3Bh012 EIB3024 EI EF+B3h00EF 12 EI+ 3Bh12 EIB30−−00−EFB−0−00,12 EI − 3B012 EI EF +B3h 0EFBматрица жесткости опорных элементов (4.29) 12 EI − h3 0 0Ks =  0 0 06 EIh200000EFh0000000012 EIh306 EIh200000EFh0000000012 EIh30000000−−−−0−EFh0 0 0 .0 6 EI h2 0 Вектор переносного движения – это вектор перемещений qtr = −FK sq0 , возникающих в конструкции от статических опорных перемещений q 0 .

Движение в относительных координатах по формуле (4.23) записывается в виде:Mq + Kq = MK −1K sq0 ,(4.31)через матрицу влияния Fs = −K −1K sMq + Kq = −MFsq0 .(4.32)4.7. Плоская модель каркасного зданияМодель каркасного здания с двумя перекрытиями под сейсмическим воздействием, заданным горизонтальными и вертикальными перемещениями основания в223опорах u А , vА и uВ , vВ , а также ротациями  А ,  В (Рисунок 4.3).

Запишем уравнения абсолютного и относительного движения здания.Введем шесть обобщенных координат: абсолютные линейные перемещенияX1 , Y1 , X 2 , Y2 и угловые 1 , 2 . Обозначим m1 , 1 и m2 , 2 - массы и моментыинерции перекрытий в главных центральных осях, EI , EF - изгибная жесткостьи жесткость на растяжение-сжатие каждой стойки, h - высота этажа, B - ширинаперекрытия.Y2U3X2m2 , 2V332X1АvАY1U2V442Y1V51 U 55X1vВuВOuАV21EIEF2 U 4X2hm1 , 1Y2ВBРисунок 4.3.

Кинематическое воздействиеhV1U6U11V66Рисунок 4.4. Координаты конечныхэлементов и обобщенные координатыУравнения движения получим по принципу Даламбера, рассматривая условияравновесия перекрытий. Введем узловые перемещения конечных элементов - стоек Ui ,Vi , i , ( i = 1,...,6) (Рисунок 4.4). Из условия абсолютной жесткости перекрытий и малости углов поворотов следует связь между узловыми перемещениями иобобщенными координатами:U 2 = U 5 = X 1 , U 3 = U 4 = X 2 ,  2 = 5 = 1 , 3 =  4 = 2 ,V2 = Y1 − 1BBBB, V3 = Y2 − 2 , V5 = Y1 + 1 , V4 = Y2 + 2 ,2222(4.33)224граничные условия:U1 = uA , V1 = vA , 1 =  A , U6 = uB , V6 = vB , 6 = B .(4.34)Матрица жесткости плоского стержневого элемента, работающего на растяжениесжатие и изгиб0 EF h12 EI h3 0 06 EI h 2K el = 0 − EF h 0−12 EI h36 EI h 2 006 EI h 24 EI h0− 6 EI h 22 EI h− EF h00−12 EI h30− 6 EI h 2EF h0012 EI h30− 6 EI h 2связывает внутренние усилия Ni , Qi , Li(i = 2,3,4,5)02 6 EI h 2 EI h 02− 6 EI h4 EI h (4.35)с узловыми перемещениями.Пусть k j - j-тая строка матрицы K el ( j = 1,...,6 ) .

Тогда с учетом (4.33) - (4.35)продольные силы равны:N 2 = k 4 (V1 U1 1 V2 U 2 2 ) = ( EF h )(V2 − V1 ) = ( EF h )(Y1 − B1 2 − v A ) ,TN3 = k 4 (V2 U 2 2 V3 U 3 3 ) = ( EF h ) (V3 − V2 ) =N 4 = k 4 (V5 U 55 V4 U 4 4 ) = ( EF h ) (V4 − V5 ) =N5 = k 4 (V6 U 66 V5 U 55 ) = ( EF h ) (V5 − V6 ) = ( EF h )(Y1 + B1 2 − vB ) , поT= ( EF h ) (Y2 − Y1 − B ( 2 − 1 ) 2 ) ,T= ( EF h ) (Y2 − Y1 + B ( 2 − 1 ) 2 ) ,Tперечные силы:Q2 = k 5 (V1 U1 1 V2 U 2 2 ) = (12 EI h3 ) (U 2 − U1 ) − ( 6EI h 2 ) ( 1 +  2 ) =T= (12 EI h3 ) ( X 1 − u A ) − ( 6 EI h 2 ) (  A + 1 ) ,Q3 = k 5 (V2 U 2 2 V3 U 3 3 ) = (12 EI h3 ) (U 3 − U 2 ) − ( 6EI h 2 ) (  2 + 3 ) =T= (12 EI h3 ) ( X 2 − X 1 ) − ( 6 EI h2 ) ( 1 + 2 ) ,Q4 = k 5 (V5 U 5 5 V4 U 44 ) = (12EI h3 ) (U 4 − U 5 ) − ( 6EI h 2 ) (  4 + 5 ) =T= (12 EI h3 ) ( X 2 − X1 ) − ( 6 EI h 2 ) ( 1 + 2 ) ,225Q5 = k 5 (V6 U 6= (12 EI h3)( X16 V5 U 5 5 ) = (12EI h3 ) (U 5 − U 6 ) − ( 6EI h 2 ) ( 5 + 6 ) =T− uB ) − ( 6 EI h2)( +  ),1из-Bгибающие моменты:L2 = k 6 (V1 U1 1 V2 U 2 2 ) = ( 6EI h 2 ) (U1 − U 2 ) + ( 2EI h )( 1 + 2 2 ) =T= ( 6 EI h2 ) ( u A − X 1 ) + ( 2 EI h )(  A + 21 ) ,L3 = k 6 (V2 U 2 2 V3 U 3 3 ) = ( 6EI h 2 ) (U 2 − U 3 ) + ( 2EI h ) (  2 + 23 ) =T= ( 6 EI h2 ) ( X 1 − X 2 ) + ( 2 EI h )( 1 + 22 ) ,L3 = k 3 (V2 U 22 V3 U 3 3 ) = ( 6 EI h2 ) (U 2 − U 3 ) + ( 2EI h ) ( 2 2 + 3 ) =T= ( 6 EI h2 ) ( X 1 − X 2 ) + ( 2EI h )( 21 + 2 ) ,L4 = k 6 (V5 U 5 5 V4 U 44 ) = ( 6EI h 2 ) (U 5 − U 4 ) + ( 2EI h ) ( 5 + 24 ) =T= ( 6 EI h2 ) ( X 1 − X 2 ) + ( 2EI h )( 1 + 22 ) ,L4 = k 3 (V5 U 5 5 V4 U 4 4 ) = ( 6EI h 2 ) (U 5 − U 4 ) + ( 2EI h ) ( 25 +  4 ) =T= ( 6 EI h2 ) ( X 1 − X 2 ) + ( 2 EI h )( 21 + 2 ) ,L5 = k 6 (V6 U 66 V5 U 5 5 ) = ( 6EI h 2 ) (U 6 − U 5 ) + ( 2EI h ) (  B + 25 ) =T= ( 6 EI h2 ) ( uB − X 1 ) + ( 2EI h )( 21 +  B ).Отметим, что внутренние усилия направлены против соответствующих им перемещений, кроме того, внутренние поперечная и продольная силы равны и противоположно направлены на концах элемента (Рисунок 4.5), а изгибающие моментына концах элемента имеют разные значения (например, L3 и L3 ).Условия равновесия первого перекрытия дают три уравнения движения (Рисунок4.5, часть сил инерции, связанных с взаимными перемещениями, не показана, ноучтена в уравнениях равновесия).226m2Y2Y22Q3 X 2N3m2 X 2N4 2 2L3N3L3m1Y1N4L4Q4Q51Q2L2N2L4Y1 m1 X1X1Q3Q411L5N5Рисунок 4.5.

К условию равновесияперекрытий.Суммы сил, действующих на перекрытия по горизонтали и по вертикали равнынулю; кроме того, равна нулю сумма моментов всех сил относительно центра O:m1 X1 + m1h1 + Q2 + Q5 − Q3 − Q4 = 0,m1Y1 + N2 + N5 − N3 − N4 = 0,1O 1 + m1hX 1 + L2 + L5 + L3 + L4 + ( B 2 ) ( N 5 − N 2 + N 3 − N 4 ) = 0.Те же условия для второго перекрытия:m2 X 2 + 2m2h2 + Q3 + Q4 = 0,m2Y2 + N3 + N 4 = 0,2O 2 + 2m2 hX 2 + L3 + L4 + ( B 2 ) ( N 4 − N 3 ) = 0.Подставляя выражения для внутренних усилий через обобщенные координаты,получимуравнениядвижениясистемыm1Y1 + 4Y1 ( EF h ) − 2Y2 ( EF h ) = ( EF h )( v A + vB ) ,внеподвижныхосях:227m1 X 1 + m1h1 + 4 (12 EI h3 ) X 1 − 2 (12 EI h3 ) X 2 + 2 ( 6EI h 2 ) 2 == (12 EI h3 ) ( u A + uB ) + ( 6 EI h 2 ) (  A +  B ) ,1O 1 + m1hX 1 − 2 ( 6 EI h 2 ) X 2 +  B 2 ( EF h ) + 4 ( 4 EI h )  1 −(4.36)+ ( 4 EI h ) − ( B 2 2 ) ( EF h )  2 = ( BEF 2h )( v A − vB ) −− ( 6 EI h 2 ) ( u A + uB ) − ( 2 EI h )(  A +  B ) ,m2Y2 + 2 ( EF h ) Y2 − 2 ( EF h )Y1 = 0,m2 X 2 + 2m2h2 − 2 (12 EI h3 ) X 1 + 2 (12 EI h3 ) X 2 − 2 ( 6 EI h 2 ) 1 −−2 ( 6 EI h2 ) 2 = 0,2O 2 + 2m2 hX 2 + 2 ( 6 EI h 2 ) X 1 − 2 ( 6 EI h 2 ) X 2 ++ ( 4 EI h ) − ( B 2 2 ) ( EF h )  1 + ( B 2 2 ) ( EF h ) + 2 ( 4 EI h )  2 = 0.Уравнения абсолютного движения в матричном виде запишем в форме (4.19):Mqabs + Kqabs = −K sq0 ,где q abs = (Y1X 1 1 Y2X2(4.37)2 ) - вектор абсолютных обобщенных коордиTнат, M - матрица инерции (3.28)00 m1 0 0 m mh 011 0 m1h 1O 0M =00 m20000000001O = 1 + m1h2 ,00 00 00 ,00 m22m2 h 2m2 h 2O 2O = 2 + 4m2 h2 ,228 4 EF h 0 0K = − 2 EFh 0 0-матрицаq0 = ( vA u A0048EIh30(16EI + B EF )2 EFh0−h0024 EIh312 EIh2(8EI − B 2 EF )12 EIh2vB0−24 EIh30−12 EIh20024 EIh3 EF h 0K s = −  − BEF 2h 0 0 0−02huB02 EFh−K sq 012 EI2h(8EI − B 2 EF ) 2h012 EI− 2h(16EI + B 2 EF ) 2h02жесткости,A−12 EIh2вектор-(4.38)сейсмическихсил, B ) - вектор перемещений опорных точек,T0012 EIh36 EI− 2h0006 EIh22 EI−h000EFh0BEF2h000012 EIh36 EI− 2h0006 EI h2 2 EI −h 0 0 0 0(4.39)- матрица жесткости системы опор, формирующая сейсмическое воздействие наконструкцию.

Матрица K s преобразует вектор сейсмических перемещений в силы, действующие по направлениям ближайших к опорам обобщенных координат.Уравнения относительного движения системы в подвижной системе координат вформе (4.26):Mq + Kq = −MFsq0 ,где Fs = −FK s - матрица влияния, F = K −1 - матрица податливости.2294.8. Упрощение угловых граничных условийВ примере, рассмотренном в п.4.6, каждая опорная точка совершает движениесовместно с примыкающей к ней малой областью основания (Рисунок 4.6а), этоотражено в граничных условиях (4.33).АvАВvВuВuАvАvВuВuАб)а)хордаАvАvВuАВuВв)Рисунок 4.6. Варианты граничных условийРассмотрим два возможных варианта упрощения граничных условий:1) основание в окрестности опорных точек двигается только поступательно безкаких-либо угловых движений (Рисунок 4.6б), граничные условия имеют видU1 = uA , V1 = vA , U6 = uB , V6 = vB ,  A = B = 0.(4.40)2) основание поворачивается как твердое тело (Рисунок 4.6в), хотя и может деформироваться в горизонтальном направлении (модель хордовой ротации), приэтом граничные условия:U1 = u1 , V1 = v1 , U6 = u2 , V6 = v2 ,  A = B = 1 = 6 = ( v2 − v1 ) B .

Характеристики

Список файлов диссертации